Ungleichung mit n-ter potenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] -1^n/n\le1/2-\varepsilon [/mm] |
Hallo,
ich wollte die Gleichung nach n umstellen,aber ich weiß nicht wie das geht.
[mm] -1^n/n\le1/2-\varepsilon [/mm] |*n
[mm] -1^n\le1/2n-\varepsilon*n
[/mm]
[mm] -1^n\le n(1/2-\varepsilon)
[/mm]
[mm] -1^n [/mm] muss ich doch irgendwie umformen können,die nte Wurzel hier zu ziehen nützt mir glaube nicht viel.
Kann mir jemand sagen, wie ich das umformen kann.
Wenn ich die Wurzel nehmen würde:
[mm] -1\le\wurzel[n]{n(1/2-\varepsilon)}
[/mm]
kann mir da jemand vielleicht tipps geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Ameise |
Hi!
du kannst das n und die Klammer auseinander ziehen und über beides die n-te Wurzel setzen. (n-te Wurzel aus a ist gleich a hoch 1/n.) Jetzt kannst du den Term nach Wurzel aus n umformen. Wenn du jetzt die n-te Wurzel auflöst bekommst du auf der linken Seite eine (-1) hoch n, jeztt musst du eine Fallunterscheidung machen für grade und ungerade n. Für gerade n erhälst du 1, für ungerade -1 jetzt hast du n>1/(0,5-e) da stehen für gerade n, und n>-1/(0,5-e) für ungerade n.
Viel Erfolg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:04 Di 03.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]-1^n/n\le1/2-\varepsilon[/mm]
> Hallo,
>
> ich wollte die Gleichung nach n umstellen,aber ich weiß
> nicht wie das geht.
>
> [mm]-1^n/n\le1/2-\varepsilon[/mm] |*n
> [mm]-1^n\le1/2n-\varepsilon*n[/mm]
> [mm]-1^n\le n(1/2-\varepsilon)[/mm]
>
> [mm]-1^n[/mm] muss ich doch irgendwie umformen können,die nte Wurzel
> hier zu ziehen nützt mir glaube nicht viel.
>
> Kann mir jemand sagen, wie ich das umformen kann.
> Wenn ich die Wurzel nehmen würde:
> [mm]-1\le\wurzel[n]{n(1/2-\varepsilon)}[/mm]
>
> kann mir da jemand vielleicht tipps geben?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Fragen: 1. bedeutet [mm] 1^n [/mm] das da: [mm] (-1)^n [/mm] ??
2. Was ist [mm] \varepsilon [/mm] ? .
3. Ist [mm] \varepsilon [/mm] < 1/2 ?
Falls die Antwort auf die 1. und 3. Frage jeweils "ja" ist, kann ich Dir folgendes sagen:
(*) $ [mm] (-1)^n/n\le1/2-\varepsilon [/mm] $
Ist n ungerade, so gilt (*) für jedes n
Ist n gerade, so gilt: (*) [mm] \gdw [/mm] $ [mm] 1/n\le1/2-\varepsilon [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] n [mm] \ge \bruch{2}{1-2 \varepsilon}
[/mm]
FRED
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also ist n ungerade so wird es negativ, und ist n gerade, so wird es positiv,oder?
zu deiner ersten Frage, ja das soll eigentlich [mm] (-1)^n [/mm] sein,habe die Klammer vergessen.
genau, das epsilion soll kleiner als 1/2 sein.
Das epsilon soll eine obere Schranke darstellen,die kleiner als 1/2 ist.
und ich wollte nach n umstellen,um zu beweisen dass 1/2 das supremum ist.
Mir ging es jetzt nur um die Hilfe wegen der Potenz [mm] (-1)^n,
[/mm]
mit Ungleichungen auflösen habe ich sehr starke Schwierigkeiten.
Vielleicht kennt jemand eine Arbeitsweise mit dieser Art von Potenzen,die ich dann auch in anderen Situationen anwenden kann.
Aber erstmal vielen Dank für die Tipps,den von Ameise muss ich mir aber noch genauer anschauen, habe es noch nicht geschafft.
Viele Grüße
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> also ist n ungerade so wird es negativ, und ist n gerade,
> so wird es positiv,oder?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Falls Du mit "es" den Ausdruck [mm] (-1)^n [/mm] meinst, hast Du recht.
> Mir ging es jetzt nur um die Hilfe wegen der Potenz
> [mm](-1)^n,[/mm]
> mit Ungleichungen auflösen habe ich sehr starke
> Schwierigkeiten.
>
> Vielleicht kennt jemand eine Arbeitsweise mit dieser Art
> von Potenzen,die ich dann auch in anderen Situationen
> anwenden kann.
Wenn Du ganzzahlige Potenzen von negativen Zahlen hast, ist es oft ganz sinnig, wenn man sich die Sache erstmal für gerade und ungerade Hochzahlen getrennt überlegt.
>
> Aber erstmal vielen Dank für die Tipps,den von Ameise muss
> ich mir aber noch genauer anschauen,
Ich würde das nicht unbedingt empfehlen.
Schau Dir an, was Fred Dir vorgerechnet hat.
Gruß v. Angela
habe es noch nicht
> geschafft.
>
> Viele Grüße
>
>
>
>
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also wenn n ungerade ist, dann gilt:
[mm] (-1)/n\ge(-1)+\varepsilon \gdw n\le\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] *n
[mm] -1\ge n*((-1)+\varepsilon)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] :(-1)
[mm] 1\ge n*((-1)+\varepsilon)/(-1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] *n
[mm] n\le \bruch{(-1)+\varepsilon}{(-1)}
[/mm]
Ich hoffe es ist richtig, dass sich hier das Ungleichheitszeichen dreht?
[mm] \Rightarrow [/mm] (-1) kürzen
[mm] n\le\varepsilon
[/mm]
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> also wenn n ungerade ist, dann gilt:
Hallo,
vielleicht sagst Du mal, worum es gerade geht.
ist das jetzt eine neue Aufgabe, oder was?
Gruß v. Angela
>
> [mm](-1)/n\ge(-1)+\varepsilon \gdw n\le\varepsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> *n
>
> [mm]-1\ge n*((-1)+\varepsilon)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] :(-1)
>
> [mm]1\ge n*((-1)+\varepsilon)/(-1)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] *n
>
> [mm]n\le \bruch{(-1)+\varepsilon}{(-1)}[/mm]
> Ich hoffe es ist
> richtig, dass sich hier das Ungleichheitszeichen dreht?
> [mm]\Rightarrow[/mm] (-1) kürzen
>
> [mm]n\le\varepsilon[/mm]
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> also wenn n ungerade ist, dann gilt:
>
> [mm](-1)/n\ge(-1)+\varepsilon \gdw n\le\varepsilon[/mm]
Hallo,
ich kann mir auf diese Äquivalenz keinen Reim machen.
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> *n
>
> [mm]-1\ge n*((-1)+\varepsilon)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] :(-1)
>
> [mm]1\ge n*((-1)+\varepsilon)/(-1)[/mm]
Nein, wenn man durch eine negative zahl dividiert, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
> [mm]\Rightarrow[/mm] *n
>
> [mm]n\le \bruch{(-1)+\varepsilon}{(-1)}[/mm]
Nein. Wenn Du die Gleichung von zuvor mit n multiplizierst, also [mm] 1\ge n*((-1)+\varepsilon)/(-1) [/mm] auf beiden Seiten mit n multiplizierst, bekommst Du [mm] n\ge n^2*((-1)+\varepsilon)/(-1)
[/mm]
Du solltest nochmal von vorne beginnen.
Nicht ganz klar ist mir, wie Du das erhaltene bzw. zu erhaltende n dann interpretierst. Welche Schlüsse ziehst Du im Hinblick auf Sup/Inf. ?
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | A:= [mm] \bruch{(-1)^n}{n} \in \IN
[/mm]
Gesucht: supA,InfA,MinA,MaxA |
Ok, ich hätte wohl gleich die ganze Aufgabe hier einstellen sollen.
das SupA= 1/2 weil [mm] (-1)^2/2=1/2
[/mm]
das InfA= (-1)
Den Beweis wollte ich durch diese Ungleichungen machen:
sup:
Behauptung:
[mm] \exists\varepsilon>0 \Rightarrow [/mm] SupA= 1/2 - [mm] \varepsilon
[/mm]
Dann gilt: [mm] \bruch{(-1)^n}{n}\le 1/2-\varepsilon
[/mm]
inf:
Behauptung:
[mm] \exists\varepsilon>0 \Rightarrow [/mm] InfA= (-1) + [mm] \varepsilon
[/mm]
Dann gilt: [mm] \bruch{(-1)^n}{n}\ \ge(-1)+\varepsilon
[/mm]
und diese Beiden dann umformen.
Wusste nur nicht wie das mit dem [mm] (-1)^n [/mm] ist, aber das habe ich verstanden,glaube ich zumindest.
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> A:= [mm]\bruch{(-1)^n}{n} \in \IN[/mm]
Hallo,
Du meinst sicher [mm] A:=\{\bruch{(-1)^n}{n} |n\in \IN\}.
[/mm]
>
> Gesucht: supA,InfA,MinA,MaxA
> Ok, ich hätte wohl gleich die ganze Aufgabe hier
> einstellen sollen.
>
> das SupA= 1/2 weil [mm](-1)^2/2=1/2[/mm]
> das InfA= (-1)
Das möchtest Du also beweisen.
Dafür müßtest Du erstmal zeigne, daß das eine obere bzw. untere Schranke ist.
>
> Den Beweis wollte ich durch diese Ungleichungen machen:
>
> sup:
> Behauptung:
> [mm]\exists\varepsilon>0 \Rightarrow[/mm] SupA= 1/2 - [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Dann gilt: [mm]\bruch{(-1)^n}{n}\le 1/2-\varepsilon[/mm]
Was bezweckst Du damit? Du hast ja nun nach n aufgelöst, bzw. fred hat das für Dich getan mit dem Ergebnis n $ [mm] \ge \bruch{2}{1-2 \varepsilon} [/mm] $.
Und nun? Wie interpretierst Du das? Was sagt denn das im Hinblick darauf, daß Du zeigen möchtest, daß 1/2 eine obere Schranke ist.
Das müßtest Du noch überlegen.
Wenn Dir klargeworden ist, was Du mit dieser Rechnung bezweckst, wäre es zu überlegen, ob Du sie überhaupt benötigst, denn Du weißt ja schon, daß [mm] (-1)^2/2=1/2 [/mm] ist.
Eine kleinere obere Schranke wird#s dann ja wohl kaum geben.
Gruß v. Angela
>
> inf:
> Behauptung:
> [mm]\exists\varepsilon>0 \Rightarrow[/mm] InfA= (-1) + [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Dann gilt: [mm]\bruch{(-1)^n}{n}\ \ge(-1)+\varepsilon[/mm]
>
> und diese Beiden dann umformen.
>
> Wusste nur nicht wie das mit dem [mm](-1)^n[/mm] ist, aber das habe
> ich verstanden,glaube ich zumindest.
>
>
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Danke für Informationen Angela
ich werde wirklich nochmal von vorne anfangen.
[mm] A:={\bruch{-1^n}{n} | n\in \IN}
[/mm]
[mm] A_{-}:= [/mm] { [mm] -\bruch{1}{n}| n\in 2\IN-1 [/mm] }
also ungerade n
[mm] A_{+}:= [/mm] { [mm] \bruch{1}{n}| n\in 2\IN [/mm] }
also gerade n
[mm] A_{-}
infA ist in [mm] A_{-} [/mm] und supA in [mm] A_{+}.
[/mm]
für alle [mm] n\in [/mm] A gilt [mm] n\le [/mm] 1/2
für n=2 [mm] \Rightarrow 1/n\le1/2
[/mm]
damit wäre 1/2 eine obere Schranke.
Behauptung:
Zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] n\inA [/mm] derart, dass [mm] 1/2-\varepsilon<1/n\le1/2
[/mm]
also, dass es eine kleinere obere Schranke gibt, die [mm] 1/2-\varepsilon [/mm] ist.
Formal:
[mm] \exists \varepsilon>0 \Rightarrow [/mm] supA= [mm] 1/2-\varepsilon
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \bruch{1}{n}\le \bruch{1}{2}-\varepsilon \Rightarrow*n
[/mm]
[mm] 1\le n*\bruch{1}{2}-\varepsilon*n \Rightarrow+(\varepsilon*n) [/mm]
[mm] \varepsilon*n +1\le n*\bruch{1}{2} \Rightarrow:n
[/mm]
[mm] \varepsilon+1/n \ge \bruch{1}{2n} \Rightarrow-1/n
[/mm]
[mm] \varepsilon \ge \bruch{1}{n} [/mm] Widerspruch, dass [mm] 1/2-\varepsilon [/mm] eine obere Schranke von A ist
Meine Fragen erstmal:
habe ich am Anfang richtig gezeigt, dass 1/2 eine obere Schranke ist?Wenn nich ein Tipp vielleicht?
Je öfter ich meinen Beweis anschaue, desto unsicherer werde ich mit diesen. Für mich zeigt dieser eigentlich dass [mm] \varepsilon [/mm] nur supA sein kann, wenn es =1/2 ist. wäre am Ende der Ungleichungsumformungen [mm] 1/2-\varepsilon [/mm] rausgekommen wäre es was anderes,oder?(korrekte mathematisches Formulieren ist nicht meine Stärke, arbeite aber daran)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Di 03.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für Informationen Angela
>
> ich werde wirklich nochmal von vorne anfangen.
>
> [mm] A:={\bruch{-1^n}{n} | n\in \IN}
[/mm]
>
> [mm] A_{-}:=\{-\bruch{1}{n}| n\in 2\IN-1 \} [/mm]
> also ungerade n
>
> [mm] A_{+}:=\{\bruch{1}{n}| n\in 2\IN\} [/mm]
> also gerade n
>
> [mm] A_{-}
>
> infA ist in [mm] A_{-}und [/mm] supA in [mm] A_{+}.
[/mm]
>
> für alle [mm] n\inA [/mm] gilt [mm] n\le [/mm] 1/2
>
> für [mm] n=2\Rightarrow 1/n\le1/2
[/mm]
>
> damit wäre 1/2 eine obere Schranke.
und da 1/2 [mm] \in [/mm] A, ist supA = maxA = 1/2
(aber das hat Angela ja Dir schon gesagt)
>
> Behauptung:
>
> Zu jedem [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]n\inA[/mm] derart, dass
> [mm]1/2-\varepsilon<1/n\le1/2[/mm]
Ja, zum Beispiel n = 2. Du walzt Trivialitäten platt !!
>
> also, dass es eine kleinere obere Schranke gibt, die
> [mm]1/2-\varepsilon[/mm] ist.
>
Völliger Unsinn
> Formal:
> [mm]\exists \varepsilon>0 \Rightarrow[/mm] supA= [mm]1/2-\varepsilon[/mm]
Noch mehr Unsinn
>
> Dann gilt:
>
> [mm]\bruch{1}{n}\le \bruch{1}{2}-\varepsilon \Rightarrow*n[/mm]
>
>
> [mm]1\le n*\bruch{1}{2}-\varepsilon*n \Rightarrow+(\varepsilon*n)[/mm]
>
>
>
> [mm]\varepsilon*n +1\le n*\bruch{1}{2} \Rightarrow:n[/mm]
>
>
> [mm]\varepsilon+1/n \ge \bruch{1}{2n} \Rightarrow-1/n[/mm]
>
>
> [mm]\varepsilon \ge \bruch{1}{n}[/mm] Widerspruch, dass
> [mm]1/2-\varepsilon[/mm] eine obere Schranke von A ist
>
Das verstehe wer will ??
>
> Meine Fragen erstmal:
>
> habe ich am Anfang richtig gezeigt, dass 1/2 eine obere
> Schranke ist?Wenn nich ein Tipp vielleicht?
Ja, wenn Du endlich beherzigst, dass 1/2 das größte Element von A ist
>
> Je öfter ich meinen Beweis anschaue, desto unsicherer werde
> ich mit diesen. Für mich zeigt dieser eigentlich dass
> [mm]\varepsilon[/mm] nur supA sein kann, wenn es =1/2 ist. wäre am
> Ende der Ungleichungsumformungen [mm]1/2-\varepsilon[/mm]
> rausgekommen wäre es was anderes,oder?(korrekte
> mathematisches Formulieren ist nicht meine Stärke, arbeite
> aber daran)
Tu das
FRED
>
>
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Di 03.02.2009 | | Autor: | Hopeless33 |
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Di 03.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hopeless!
1.) Dein Artikel wurde in keinster Weise zerstückelt.
2.) Die Zerstückelung in Fred's Antwort geschah durch die foreninterne Software.
3.) Wenn Du hier den Ton anderer kritisierst (ob nun zu Recht oder nicht, sei außen vor), musst Du nicht in dieselbe Kerbe schlagen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Di 03.02.2009 | | Autor: | Hopeless33 |
Also erstens Fred, oder wie auch immer.
Du zerstümmelst meinen Beitrag und schreibst nur dumme Kommentare dazu, gehts noch?!
Das 1/2 supA ist und maxA weiß ich auch, aber das muss man ja beweisen, und es war ein Versuch von mir! Wenn ich es perfekt könnte, würde ich hier nicht reinschreiben!
Ich habe mich bemüht und dann sowas, bei allen Respekt aber du merkst wohl echt nichts mehr!
Was soll den das für eine Hilfe sein? So einen wie dich brauche ich sicher nicht um mich hier runtermachen zu lassen!
So ein arrogantes Gehabe.
Es waren eigene Lösungsvorschläge von mir, die ich nicht nur mal eben in 10 minuten erarbeitet habe,einen ordentlichen Ton kann man da doch zumindest erwarten!
Aber für manche, trotz hoher Qualifikationen, ist das scheinbar nicht trivial!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Di 03.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Bitte keine Doppelposts hier fabrizieren.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Di 03.02.2009 | | Autor: | Hopeless33 |
Ja das ist ja super,
weil man die Wahrheit sagt bekommt man eine auf den Deckel,oder wie?
Wie kann es sein, dass man solches Verhalten duldet? Natürlich lasse ich mir das nicht gefallen von den Fred da, was erwartet man denn?
Meine Frage war ganz normal gewesen und wenn man nicht mehr zu schreiben weiß als diese Mister Superschlau, dann kann man sich den Kommentar sparen, und sollte sich selbst fragen, ob man als Moderator geeignet ist!
Ist mir gleich, ich verzichte dankend!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Di 03.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hopeless!
Wo hast Du was auf den Deckel bekommen, insbesondere von mir?
Ich habe lediglich angemerkt, dass Du hier keine Doppelposts fabrizieren sollst.
Und zu Deinen Anschuldigungen in andere Richtungen habe ich versucht zu erklären, dass dies andere Gründe hat also Du angenommen hattest.
Gruß
Loddar
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> Ja das ist ja super,
>
> weil man die Wahrheit sagt bekommt man eine auf den
> Deckel,oder wie?
Hallo,
von "einen auf den Deckel" kann doch wirklich nicht die Rede sein.
Loddar hat Dich gebeten, keine Doppelposts zu produzieren,
Dir erklärt, wieso Dein Artikel zerstückelt aussieht (ich habe das soeben behoben),
und Dich gebeten, einen angemessenen Ton zu wahren.
> Wie kann es sein, dass man solches Verhalten duldet?
> Natürlich lasse ich mir das nicht gefallen von den Fred da,
> was erwartet man denn?
Zu Freds Post: falls Du es nochmal in abgekühltem Zustand liest, so wirst Du feststellen, daß er Dir durchaus gesagt hat, wie's geht:
zunächst zeigst Du, daß 1/2 eine obere Schranke ist. Anschließend weist Du nach, daß 1/2 in A liegt, und Fred sagt Dir, daß Du damit gezeigt hast, daß das das Supremum ist. Es kann doch dann die kleinste obere Schranke nicht kleiner sein.
Und vor diesem Hintergrund ist Dein weiteres mathematisches Tun wirklich - sagen wir: überflüssig.
Man könnte dies sicher anders und konstruktiver formulieren - das ist vielleicht auch eine Frage des Temperamentes und der Tagesform.
> Meine Frage war ganz normal gewesen und wenn man nicht mehr
> zu schreiben weiß als diese Mister Superschlau,
> dann kann
> man sich den Kommentar sparen, und sollte sich selbst
> fragen, ob man als Moderator geeignet ist!
Ich kann hier nicht eine Spur von irgendetwas entdecken, was Loddars Eignung als Moderator in Frage stellt.
> Ist mir gleich, ich verzichte dankend!
Das sei Dir unbenommen.
Gruß v. Angela
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Di 03.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Man könnte dies sicher anders und konstruktiver formulieren
> - das ist vielleicht auch eine frage des temperamntes und
> der Tagesform.
Hiermit entschuldige ich mich bei Hopeless für mein Temperament
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Di 03.02.2009 | | Autor: | Hopeless33 |
Ich bin da auch nicht unschuldig,meine Reaktion war zu überhitzt gewesen.
Momentan läufts bei mir nicht so toll, und in Mathe noch nie irgendwie.
War eigentlich von mir mehr enttäuscht, dass ich es nicht richtig gemacht hatte.
Dafür entschuldige ich mich, werde es in Zukunft besser machen.
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Abgesehen von solchen Kommentaren wie der von Fred, was ist an dem Beweis falsch?
Ich muss doch beweisen, das supA=1/2 ist.
Und hier wollte ich zeigen in Form eines Widerspruches, dass nicht supA= 1/2 ist, sondern es dass 1/2-epsilon ist.
mein Ansatz [mm] \bruch{1}{n}\le \bruch{1}{2}-\varepsilon [/mm] umzuformen ist also nicht richtig?
was denn dann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Di 03.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hopeless!
Ich sehe den Widerspruch in Deinem vermeintlichen Widerspruchsbeweis nicht. ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
> mein Ansatz [mm]\bruch{1}{n}\le \bruch{1}{2}-\varepsilon[/mm]
> umzuformen ist also nicht richtig?
Was soll denn diese Umformung bringen?
Gruß
Loddar
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> Abgesehen von solchen Kommentaren wie der von Fred, was ist
> an dem Beweis falsch?
>
> Ich muss doch beweisen, das supA=1/2 ist.
Hallo,
genau. Das ist Dein Plan.
Supremum beinhaltet zweierlei:
1. obere Schranke
2. kleinste der oberen Schranken.
zu 1: Daß 1/2 eine obere Schranke der Menge A ist, ist leicht gezeigt:
Für ungerades n sind die Elemente von A kleiner als 0, also insbesondere kleiner als 1/2, und für gerade n folgt aus [mm] n\ge [/mm] 2 sofort 1/n [mm] \le [/mm] 1/2.
Damit steht "obere Schranke" zweifelsohne fest.
zu 2: Nun muß man sich überlegen, wie man es schafft zu zeigen, daß die Schranke 1/2 wirklich die kleinste ist.
> Und hier wollte ich zeigen in Form eines Widerspruches,
> dass nicht supA= 1/2 ist, sondern es dass 1/2-epsilon ist.
Gelegentlich - oft macht man das dann so, daß man annimmt, daß es noch eine kleinere Schranke 1/2 - [mm] \varepsilon [/mm] gibt, was man dann zum Widerspruch führt, woraus man schließt, daß 1/2 die kleinste obere Schranke sein muß.
Dieser Widerspruch muß dann allerdings deutlich herausgearbeitet werden.
Hier würde das etwa so laufen können:
angenommen es gäbe ein [mm] 0<\varepsilon [/mm] so, daß 1/2- [mm] \varepsilon [/mm] eine obere Schranke von A ist.
Für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt dann [mm] \bruch{(-1)^n}{n}\le [/mm] 1/2- [mm] \varepsilon.
[/mm]
dann gilt dies auch für n=2. Also ist [mm] 1/2=\bruch{(-1)^2}{2}\le [/mm] 1/2- [mm] \varepsilon [/mm] < 1/2. Widerspruch!
Bei dieser Aufgabe brauchst Du solches Gedöns eigentlich nicht - richtig ausgeführt (!) ist es jedoch nicht schädlich.
Hier hast Du im Handumdrehen, daß 1/2 eine obere Schranke ist, und weil 1/2 in der Menge liegt, ist's das Maximum und folglich das Supremum.
Gruß v. Angela
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Hallo, ok, dass habe ich jetzt verstanden.
Also MaxA=SupA=1/2 weil 1/2 in A liegt.(und größtes Element von A ist)
brauche ich da etwa nur hinzuschreiben:
für [mm] n\ge2 [/mm] ist [mm] \bruch{1}{n}\le\bruch{1}{2}
[/mm]
Zudem:
[mm] \bruch{1}{2} \in [/mm] A, da sich [mm] \bruch{1}{2}=\bruch{1}{n} [/mm] mit n=2 [mm] \in\IN [/mm] darstellen lässt
Reicht das für das Supremum und Maximum?
Beim Inf wäre dass wohl dann genauso, ich zeige dass (-1) eine untere Schranke ist und dass es das kleinste Element von A ist.
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> Hallo, ok, dass habe ich jetzt verstanden.
>
> Also MaxA=SupA=1/2 weil 1/2 in A liegt.(und größtes Element
> von A ist)
>
> brauche ich da etwa nur hinzuschreiben:
>
> für [mm]n\ge2[/mm] ist [mm]\bruch{1}{n}\le\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Zudem:
> [mm]\bruch{1}{2} \in[/mm] A, da sich [mm]\bruch{1}{2}=\bruch{1}{n}[/mm] mit
> n=2 [mm]\in\IN[/mm] darstellen lässt
>
> Reicht das für das Supremum und Maximum?
Hallo,
im Prinzip ja.
Du brauchst allerdings schlüssig verbindenden Text, dem man entnehmen kann, daß Du weißt, was Du tust.
Du mußt also an den passenden Stellen schreiben "==> 1/2 ist eine obere Schranke von A", "somit ist 1/2 das Maximum von A", "folglich ist 1/2 erst recht das Supremum der Menge"
> Beim Inf wäre dass wohl dann genauso, ich zeige dass (-1)
> eine untere Schranke ist und dass es das kleinste Element
> von A ist.
>
Ja.
Gruß v. Angela
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