Ungleichung mit zwei Beträgen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Do 05.04.2012 | | Autor: | sheepnut |
| Aufgabe | Hallo,
ich habe eine Aufgabe mit zwei Beträgen, bei der ich nicht verstehe, wann man das Größer-Gleich und wann wann das Größer-Als Zeichen verwendet.
Aufgabe:
Man soll die Lösungsmenge angeben:
|x-3|+|x|<=5 |
Wenn man nun eine Fallunterscheidung macht, weiß ich nicht ob man
|x-3| > 0 oder |x-3| >= 0 verwendet.
genauso bei
|x-3| < 0 oder |x-3| <= 0
und
|x| > 0 oder |x| >= 0
und
|x| < 0 oder |x| <= 0
Vielen Dank für die Hilfe!
-sheepnut
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Hallo,
> Hallo,
> ich habe eine Aufgabe mit zwei Beträgen, bei der ich
> nicht verstehe, wann man das Größer-Gleich und wann wann
> das Größer-Als Zeichen verwendet.
> Aufgabe:
> Man soll die Lösungsmenge angeben:
> |x-3|+|x|<=5
> Wenn man nun eine Fallunterscheidung macht, weiß ich
> nicht ob man
> |x-3| > 0 oder |x-3| >= 0 verwendet.
Weder noch. Die Fallunterscheidung muss man ohne die Betragsklammern durchführen. Man unterscheidet zwei Fälle:
i). Die Betragsklammern haben keine Wirkung. Das ist genau dann der Fall, wenn ihr Inhalt größer oder gleich Null ist. Also:
[mm] x-3\ge{0}
[/mm]
ii). Die Betragsklammern kehren das Vorzeichen um. Das passiert genau dann, wenn ihr Inhalt kleiner als Null ist. Hier also:
x-3<0
> genauso bei
> |x-3| < 0 oder |x-3| <= 0
> und
> |x| > 0 oder |x| >= 0
> und
> |x| < 0 oder |x| <= 0
Auch hier das gleiche: die Fallunterscheidung musst du für x vornehmen, nicht für |x|. Das macht nämlich insbesondere überhaupt keinen Sinn, da die Betragsfunktion nichtnegativ ist.
> Vielen Dank für die Hilfe!
> -sheepnut
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Fr 06.04.2012 | | Autor: | sheepnut |
In dem Fall schaut man sich also
x-3 [mm] \ge [/mm] 0 -> x [mm] \ge [/mm] 3,
x-3 < 0 -> x < 3
und
x [mm] \ge [/mm] 0,
sowie
x < 0 an, oder?
Das Problem ist nur, dass die Lösung dieser Aufgaben folgendermaßen aussieht:
Fall 1: x [mm] \le [/mm] 0 und damit auch x -3 < 0
nach einigem Umformen (damit hab ich keine Probleme), kommt dann x [mm] \ge [/mm] -1 raus, also Lösungsmenge [-1,0]
Fall 2: x [mm] \in [/mm] (0,3]
-----> 3 [mm] \le [/mm] 5, also Lösungsmenge (0,3]
Fall 3: x > 3
-----> x [mm] \le [/mm] 4, also Lösungsmenge (3,4]
Mir ist also eigentlich nur nicht klar, warum die 3 in Fall 2 und nicht in Fall 3 dazugehört und warum die Null in Fall 1 und nicht in Fall 2 dazugehört.
Meiner Meinung nach müsste man sich die Zahlen x < 0 in Fall 1, die Zahlen [0,3) in Fall 2 und die Zahlen x [mm] \ge [/mm] 3 in Fall 3 anschauen.
Ich hoffe Sie können mir nochmal helfen.
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Die Randpunkte passen jeweils in beide Fälle und sind bei der Rechnung auch kein wirkliches Problem. Wenn |x-a|=0 ist, dann gilt |x-a|=x-a=a-x, es ist also egal, wie rum du es schreibst.
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