Ungleichung mittels MWS < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 So 04.01.2015 | | Autor: | Benn1993 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo, ich bin neu hier und hoffe es ist in Ordnung hier eine neue Diskussion zu eröffnen:
ich habe folgendes Problem:
ln(1+1/x)>1/(1+x) für x>0
diese Gleichung wollte ich mit dem MWS beweisen.
Hierzu habe ich ln(1+1/x)'=-(1/((1 + 1/a) [mm] a^2)) [/mm] wobei 0<a<x
Nun habe ich diese Gleichung mit (f(x)-f(x=1)/(x-1) gleichgesetzt was mir schlussendlich: =-(1/((1 + 1/a) [mm] a^2))=(ln(1+1/x)-ln2)/(x-1) [/mm] beschert.
Meine Frage nun: habe ich den MWS richtig angewandt? und falls ja wie arbeite ich nun an der Ungleichung weiter? Hab schon alles erdenkliche probiert aber ich komme leider nicht drauf!
mfg
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> Hallo, ich bin neu hier und hoffe es ist in Ordnung hier
> eine neue Diskussion zu eröffnen:
Natürlich ist das in Ordnung. Es ist ja der Sinn dieses
Forums, dass man hier Fragen zu mathematischen
Aufgaben erörtern kann.
> ich habe folgendes Problem:
> ln(1+1/x)>1/(1+x) für x>0
> diese Gleichung wollte ich mit dem MWS beweisen.
Es ist keine Gleichung, sondern eine Ungleichung.
> Hierzu habe ich ln(1+1/x)'=-(1/((1 + 1/a) [mm]a^2))[/mm] wobei
> 0<a<x ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Nun habe ich diese Gleichung mit (f(x)-f(x=1)/(x-1)
> gleichgesetzt was mir schlussendlich: =-(1/((1 + 1/a)
> [mm]a^2))=(ln(1+1/x)-ln2)/(x-1)[/mm] beschert.
> Meine Frage nun: habe ich den MWS richtig angewandt? und
> falls ja wie arbeite ich nun an der Ungleichung weiter? Hab
> schon alles erdenkliche probiert aber ich komme leider
> nicht drauf!
Hallo Benn1993
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich weiß nicht, ob zum Beweis der Ungleichung der Mittel-
wertsatz (der Differentialrechnung) wirklich das geeignetste
Mittel ist. Ist dies in deiner Aufgabenstellung so verlangt ?
Falls du aber den MWS einsetzen willst, solltest du klar
angeben, auf welche Funktion und für welches Intervall
du ihn anwenden willst. Gehen wir zum Beispiel von der
Formulierung des Satzes bei Wikipedia aus:
Es sei f: [a,b] [mm] \to \mathbb{R} [/mm] eine Funktion, die auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] (mit a < b) definiert und stetig ist. Außerdem sei die Funktion f im offenen Intervall (a,b) differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen gibt es mindestens ein [mm] x_0 \in [/mm] (a,b), so dass
[mm] f'\left(x_0\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}
[/mm]
gilt.
Gib also bitte genau an, welche Funktion f du dabei
betrachten und was du für die Intervallgrenzen
a und b einsetzen willst.
In deinen bisherigen Erläuterungen kann ich davon
nichts erkennen. Falls du z.B. als untere Grenze (bei
Wikipedia das a) die Null nehmen möchtest, gibt es
ein Problem. Welches ?
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Do 08.01.2015 | | Autor: | Benn1993 |
Danke für die Antwort!
Die Ungleichung mittels MWS zu lösen ist nicht explizit angegeben, passte aber bei dem Übungsblatt zum Thema.
zum Intervall: x>0
Das der ln(0) undefiniert ist stellt sich schon mal als Problem dar....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Do 08.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Zu zeigen ist also
[mm] $ln(1+\bruch{1}{x})> \bruch{1}{1+x}$ [/mm] für x>0.
Für x>0 ist [mm] ln(1+\bruch{1}{x})=ln(1+x)-ln(x)= \bruch{ln(1+x)-ln(x)}{(1+x)-x}= \bruch{f(1+x)-f(x)}{(1+x)-x},
[/mm]
wobei f(x):=ln(x)
Nach dem MWS gibt es ei s im Intervall (x, 1+x) mit
[mm] ln(1+\bruch{1}{x})=f'(s)=\bruch{1}{s}.
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
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> Danke für die Antwort!
> Die Ungleichung mittels MWS zu lösen ist nicht explizit
> angegeben, passte aber bei dem Übungsblatt zum Thema.
> zum Intervall: x>0
> Das der ln(0) undefiniert ist stellt sich schon mal als
> Problem dar....
Hallo Benn
nur eine kleine Rückfrage: hast du meinen Tipp, den
ich in meiner zweiten Antwort gegeben hatte, verstanden
und angewandt ?
LG , Al-Chw.
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zu beweisen:
$\ [mm] ln\,\left(\,1+\frac{1}{x}\,\right)\ [/mm] >\ [mm] \frac{1}{1+x}$ [/mm] für x>0
Um dir zu einem Einstieg zur Lösung zu verhelfen, gebe
ich dir hier noch einen Tipp:
Forme den auf der linken Seite der Ungleichung stehenden
Logarithmus so um, dass da eine Differenz von Logarithmen
steht.
Schau dir dann diese Differenz genau an und betrachte
auch die Differenzen, welche in der Formel für den
Mittelwertsatz für eine Funktion f auftreten.
Dann sollte klar werden, für welche Funktion f und für
welches Intervall [a,b] man den MWS für die vorliegende
Aufgabe nutzbringend einsetzen könnte.
LG , Al-Chwarizmi
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