Ungleichung von Tschebyscheff < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:20 So 06.01.2013 | | Autor: | Samy12 |
| Aufgabe | Für eine reele Zufallsvariable Y auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Omega , A, P) gelte,
dass P ( 0 [mm] \le [/mm] Y [mm] \le [/mm] 12) = 1
Es gelte weiter, dass E(Y)=10 und Var(Y)= [mm] \bruch{9}{20} [/mm] .
Geben Sie mithilfe der Ungleichung von Tschebyscheff eine obere Schranke s für die Wahrscheinlichkeit P(Y [mm] \le [/mm] 7) an. |
Leider kann ich die Lösung nicht ganz nachvollziehen, ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
Mein Ansatz:
Erstmal die Tschebyscheff-Ungleichung:
P ( | X - E(X)| [mm] \ge \varepsilon [/mm] ) [mm] \le \bruch{Var(X)}{\varepsilon ^2}
[/mm]
[mm] \varepsilon \in \IR [/mm] , [mm] \varepsilon [/mm] > 0
Dann: P ( Y [mm] \le [/mm] 7) = P ( Y [mm] \le [/mm] 7) + P (Y [mm] \ge [/mm] 13) =
= P ( { Y [mm] \le [/mm] 7} [mm] \cup [/mm] { Y [mm] \ge [/mm] 13})=
= P ( | Y - E(Y) | [mm] \ge [/mm] 3) [mm] \le \bruch{Var(Y)}{3^2} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{9}{20}}{9} [/mm] = [mm] \bruch{1}{20} [/mm] = s
Meine Frage jetzt, wieso addiere ich die Wahrscheinlichkeit P (Y [mm] \ge [/mm] 13)?
Und dann noch wie komme ich auf das [mm] \varepsilon [/mm] = 3 bzw. auf die komplette Zeile P ( | Y - E(Y) | [mm] \ge [/mm] 3) [mm] \le \bruch{Var(Y)}{3^2}
[/mm]
?
Vielen Dank für Eure Hilfe.
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Ich versuch mal dir zu helfen.
Da P(0 [mm] \le [/mm] Y [mm] \le [/mm] 12) = 1 gilt, muss für [mm] P(Y\ge [/mm] 13)=0 gelten.
Also kann man annehmen P(Y [mm] \le [/mm] 7) = P(Y [mm] \le [/mm] 7) + P(Y [mm] \ge [/mm] 13)
Wenn nun [mm] Y\le7 [/mm] oder [mm] Y\ge [/mm] 13 ist, muss die Differenz zum Erwartunsgwert mind. 3 sein.
Daher folgt: [mm] |Y-E(Y)|\ge [/mm] 3
Dannach setzt man dann alles in die Tschebyscheff-Ungleichung ein.
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