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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Di 01.03.2016 | | Autor: | Piba |
| Aufgabe | Sei a eine positive reelle Zahl. Zeigen Sie:
$a + [mm] \bruch{1}{a} \ge [/mm] 2$ |
Guten Abend zusammen,
ich habe versucht die Aufgabe oben zu lösen und bräuchte nun eine Meinung.
$a + [mm] \bruch{1}{a} \ge [/mm] 2 [mm] \gdw \bruch{a}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{a} \ge [/mm] 2 [mm] \gdw \bruch{a^2 + 1}{a} \ge [/mm] 2 [mm] \gdw a^2 [/mm] + 1 [mm] \ge [/mm] 2a [mm] \gdw a^2 \ge [/mm] 2a - 1$
Hier sieht man, das [mm] $a^2$ [/mm] größer ist als $2n - 1$ reicht das als Lösung oder ist das zu ungenau?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Di 01.03.2016 | | Autor: | M.Rex |
> Sei a eine positive reelle Zahl. Zeigen Sie:
>
> [mm]a + \bruch{1}{a} \ge 2[/mm]
> Guten Abend zusammen,
>
> ich habe versucht die Aufgabe oben zu lösen und bräuchte
> nun eine Meinung.
>
> [mm]a + \bruch{1}{a} \ge 2 \gdw \bruch{a}{1} + \bruch{1}{a} \ge 2 \gdw \bruch{a^2 + 1}{a} \ge 2 \gdw a^2 + 1 \ge 2a \gdw a^2 \ge 2a - 1[/mm]
>
> Hier sieht man, das [mm]a^2[/mm] größer ist als [mm]2n - 1[/mm] reicht das
> als Lösung oder ist das zu ungenau?
Mach es dir einfacher:
[mm] a+\frac{1}{a}\ge2
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow a-2+\frac{1}{a}\ge0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \left(\sqrt{a}\right)^{2}-2+\left(\sqrt{\frac{1}{a}}\right)^{2}\ge0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \left(\sqrt{a}-\sqrt{\frac{1}{a}}\right)^{2}\ge0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2}\ge0
[/mm]
Nun überlege mal, was du über Quadrate weisst
Marius
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> Sei a eine positive reelle Zahl. Zeigen Sie:
>
> [mm]a + \bruch{1}{a} \ge 2[/mm]
> Guten Abend zusammen,
>
> ich habe versucht die Aufgabe oben zu lösen und bräuchte
> nun eine Meinung.
>
> [mm]a + \bruch{1}{a} \ge 2 \gdw \bruch{a}{1} + \bruch{1}{a} \ge 2 \gdw \bruch{a^2 + 1}{a} \ge 2 \gdw a^2 + 1 \ge 2a [/mm] (hier solltest du noch schreiben: da a>0 - sonst würde sich das [mm] \ge [/mm] -Zeichen umkehren)
[mm] \gdw a^2 \ge [/mm] 2a - 1
>
> Hier sieht man, das [mm]a^2[/mm] größer ist als [mm]2a - 1[/mm] reicht das
> als Lösung oder ist das zu ungenau?
Es ist besser, man beweist das, denn nicht jeder sieht das. Mach so:
[mm] \gdw a^2 [/mm] - 2a + [mm] 1\ge [/mm] 0
[mm] \gdw [/mm] (a - [mm] 1)^2\ge [/mm] 0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:18 Mi 02.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei a eine positive reelle Zahl. Zeigen Sie:
>
> [mm]a + \bruch{1}{a} \ge 2[/mm]
> Guten Abend zusammen,
>
> ich habe versucht die Aufgabe oben zu lösen und bräuchte
> nun eine Meinung.
>
> [mm]a + \bruch{1}{a} \ge 2 \gdw \bruch{a}{1} + \bruch{1}{a} \ge 2 \gdw \bruch{a^2 + 1}{a} \ge 2 \gdw a^2 + 1 \ge 2a \gdw a^2 \ge 2a - 1[/mm]
>
> Hier sieht man,
Tatsächlich ??
> das [mm]a^2[/mm] größer ist als [mm]2n - 1[/mm]
...... dass
Du meinst wohl [mm]2a - 1[/mm]
> reicht das
> als Lösung oder ist das zu ungenau?
Mit Verlaub: wenn jemand nicht sieht, dass
[mm] a^2 \ge [/mm] 2a - 1 gleichbedeutend mit [mm] (a-1)^2 \ge [/mm] 0 ist,
dem kaufe ich nicht ab, dass er Richtigkeit von [mm] a^2 \ge [/mm] 2a - 1 sieht.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Fr 04.03.2016 | | Autor: | Piba |
OK, Danke für eure Hilfe. Ich sehe man darf nicht zu früh aufhören und einfach nur behaupten man sieht das Ergebnis, besser immer mal weiter rechnen bis alles Sichtbar ist.
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