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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 So 18.02.2007 | | Autor: | tuxor |
| Aufgabe | | Zeige für je zwei reelle Zahlen a, b die Ungleichung [mm](a + b)^{4} \le 8(a^4 + b^4)[/mm]. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich habe versucht, die Aufgabe in die 4 Mittel umzuformen - ist mir nicht gelungen. Auch die Umformung in andere bekannte Ungleichungsformen wollte mir gar nicht glücken.
Ich bin nur noch ratlos und bitte um Hilfe.
Vielen Dank,
tuxor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 So 18.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
vorweg erstmal aus
I) [mm] 0\le(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 [/mm] folgt [mm] 2ab\le a^2+b^2 [/mm] und aus
II) [mm] 0\le(a^2-b^2)^2=a^4-2a^2b^2+b^4 [/mm] folgt [mm] 2a^2b^2\le a^4+b^4
[/mm]
so, nun zur Aufgabe,
[mm] (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4
[/mm]
Aus II) folgt
[mm] 6a^2b^2\le 3(a^4+b^4)
[/mm]
Aus I) und II) folgt
[mm] 4a^3b+4ab^3=4ab(a^2+b^2)\le 2(a^2+b^2)^2=2(a^4+2a^2b^2+b^4)\le 4(a^4+b^4)
[/mm]
Zusammen ergibt sich
[mm] (a+b)^4\le a^4+b^4+3(a^4+b^4)+4(a^4+b^4)=8(a^4+b^4)
[/mm]
mfg ullim
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