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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 So 15.12.2013 | | Autor: | Twistor |
| Aufgabe | Zeigen Sie für alle x [mm] =(x_1,....., x_n) \in \IR^n [/mm] folgende Ungleichung:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] * [mm] |x|_1 \le [/mm] |x| [mm] \le |x|_1
[/mm]
wobei [mm] |x|_1 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} |x_i| [/mm] die Summennorm eines Vektors x = [mm] (x_1,.....,x_n) \in \IR^n [/mm] ist.
Hinweis: Sie können verwenden, dass aus [mm] (a-b)^2 \ge [/mm] 0 folgt: ab [mm] \le \bruch{1}{2} (a^2+b^2) [/mm] |
Hallo Forum
Bei obiger Aufgabe komme ich nicht wirklich voran. Ungleichungen habe ich bisher nur über Induktionsbeweis gezeigt. Aber das ist hier wohl nicht der richtige Weg.
Bei |x| handelt es sich um die euklidische Norm |x| = [mm] \wurzel{(x_1)^2 + ....+ (x_n)^2}
[/mm]
Hat jemand einen Tipp für mich? Vor allem, wie ich den Hinweis in die Aufgabe miteinbeziehe?
Kann ich hier die komplette Ungleichung am Stück zeigen, oder muss ich die aufteilen?
Bin für Tipps sehr dankbar.
Viele Grüße
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Hallo,
mal ganz dumm gefragt: Hattet ihr die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für Summen?
Wenn ja, dann löst sich die Aufgabe binnen 10 Sekunden. Wenn nicht, dann könntest du diese auch gleich einmal beweisen (ist nicht schwer und findet man auch in nahezu jedem Analysis I Buch) und anschließend einen Spezialfall davon betrachten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 So 15.12.2013 | | Autor: | Twistor |
Hallo
Danke für die Antwort.
Also wir hatten die allgemeine Form der Cauchy - Schwarzschen - Ungleichung. Aber beweisen haben wir dazu nichts.
Meinst du diese:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (a_i [/mm] * [mm] b_i)^2 \le \summe_{i=1}^{n} a_i^2 [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} b_i^2 [/mm] ?
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> Hallo
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> Danke für die Antwort.
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> Also wir hatten die allgemeine Form der Cauchy -
> Schwarzschen - Ungleichung. Aber beweisen haben wir dazu
> nichts.
>
> Meinst du diese:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (a_i[/mm] * [mm]b_i)^2 \le \summe_{i=1}^{n} a_i^2[/mm] *
> [mm]\summe_{i=1}^{n} b_i^2[/mm] ?
Jo, genau die meinte ich.
Tipp: [mm] b_i=1 [/mm] für alle i setzen und Wurzelziehen.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 So 15.12.2013 | | Autor: | Twistor |
Wenn ich alle [mm] b_i [/mm] = 1 setze, dann steht da ja:
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_i^2 \le \summe_{i=1}^{n} a_i^2 [/mm] * n
Daraus ziehe ich jetzt die Wurzel:
[mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_i^2} \le \wurzel{n} [/mm] * [mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_i^2}
[/mm]
Wie wende ich das jetzt auf meine Ungleichung an?
Danke für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 So 15.12.2013 | | Autor: | Twistor |
Wollte noch fragen, wie ich dann den Hinweis, der bei der Fragestellung gegeben war, verwenden kann.
Danke
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Hallo,
nein, es ist doch vielmehr:
[mm] \left(\sum_ia_ib_i\right)^2\le\sum_ia_i^2\cdot\sum_ib_i^2
[/mm]
Und mit [mm] b_i=1 [/mm] folgt dann nach anschließenden Wurzelziehen:
[mm] \sum_ia_i\le\left(\sum_ia_i^2\right)^{1/2}\sqrt{n}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 So 15.12.2013 | | Autor: | Twistor |
Danke für deine Hilfe
Wenn ich mir das jetzt anschaue, kann ich z.B folgendes machen:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} \summe_{i=1}^{n} |x_i| \le \wurzel{\summe_{i=1}^{n}} x_i^2
[/mm]
Wenn ich hier jetzt beide Seiten mit [mm] \wurzel{n} [/mm] multipliziere, dann komme ich auf folgendes:
[mm] \summe_{i=1}^{n} |x_i| \le \wurzel{\summe_{i=1}^{n}} x_i^2 [/mm] * [mm] \wurzel{n}
[/mm]
Und das wäre dann genau die Cauchy - Schwarzsche - Ungleichung? Somit stimmt dieser erste Teil? Wobei ich in meiner Ungleichung den Betrag habe, in der Cauchy - Schwarzschen - Ungleichung kommt aber kein Betrag vor?
Wie würde es denn für den zweiten Teil aussehen? Also für:
[mm] \wurzel{\summe_{i=1}^{n}} x_i^2 \le \summe_{i=1}^{n} |x_i|
[/mm]
Danke für die Hilfe
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Hilfe
>
> Wenn ich mir das jetzt anschaue, kann ich z.B folgendes
> machen:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}} \summe_{i=1}^{n} |x_i| \le \wurzel{\summe_{i=1}^{n}} x_i^2[/mm]
>
> Wenn ich hier jetzt beide Seiten mit [mm]\wurzel{n}[/mm]
> multipliziere, dann komme ich auf folgendes:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} |x_i| \le \wurzel{\summe_{i=1}^{n}} x_i^2[/mm]
> * [mm]\wurzel{n}[/mm]
>
> Und das wäre dann genau die Cauchy - Schwarzsche -
> Ungleichung? Somit stimmt dieser erste Teil? Wobei ich in
> meiner Ungleichung den Betrag habe, in der Cauchy -
> Schwarzschen - Ungleichung kommt aber kein Betrag vor?
Die Cauchy - Schwarzschen - Ungleichung lautet so:
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_i*b_i \le \summe_{i=1}^{n}|a_i*b_i| \le (\summe_{i=1}^{n}a_i^2)^{1/2}*(\summe_{i=1}^{n}b_i^2)^{1/2}
[/mm]
>
> Wie würde es denn für den zweiten Teil aussehen? Also
> für:
>
> [mm]\wurzel{\summe_{i=1}^{n}} x_i^2 \le \summe_{i=1}^{n} |x_i|[/mm]
[mm] (\summe_{i=1}^{n} |x_i|)^2= \summe_{i=1}^{n} |x_i|^2+R, [/mm]
wobei R [mm] \ge [/mm] 0, also
[mm] (\summe_{i=1}^{n} |x_i|)^2 \ge \summe_{i=1}^{n} |x_i|^2= \summe_{i=1}^{n} x_i^2
[/mm]
FRED
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> Danke für die Hilfe
>
> Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 So 15.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hinweis: Sie können verwenden, dass aus [mm](a-b)^2 \ge[/mm] 0
> folgt: ab [mm]\le \bruch{1}{2} (a^2+b^2)[/mm]
man kann den Hinweis natürlich auch kurz beweisen:
[mm] $(a-b)^2 \ge [/mm] 0$
[mm] $\Longrightarrow$ $a^2-2ab+b^2 \ge [/mm] 0$
[mm] $\Longrightarrow$ [/mm] $2ab [mm] \le a^2+b^2$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow$ [/mm] $ab [mm] \le \frac{1}{2}(a^2+b^2)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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