Ungleichungen... < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mo 06.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle reellen Lösungen für
a) [mm] \bruch{6x -2}{2x -1} [/mm] - [mm] \bruch{3x -4}{x -2} \le [/mm] 0
b) |x+1| - |x| + |x-1| [mm] \le [/mm] 5
c) [mm] |x^2 [/mm] -4x -5| < 7
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Moin,
bei a) würde ich die Gleichung mit den beiden Nennern multiplizieren und vereinfachen...
- 3x [mm] \le [/mm] 0
=> x [mm] \ge [/mm] 0
bei b) würde ich zunächst die Betragstriche "loswerden" wollen. d.h. ich würde einen summanden auf die rechte seite bringen und die gleichung anschließend quadrieren.
und zum schluß nochmal die probe machen.
oder gibt es eine einfachere Lösung?
bei c) würde ich die gleichung als grenzfall betrachten:
[mm] x^2 [/mm] -4x -5 = 7 oder [mm] x^2 [/mm] -4x -5 = -7
[mm] x_1 [/mm] = -2 [mm] x_3 [/mm] = 2 - [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = 6 [mm] x_4 [/mm] = 2 + [mm] \wurzel{2}
[/mm]
=> L={ ]-2;6[ }
Oder gibt es eine einfachere Lösung?
Vielen Dank!
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Hallo Wolfgang,
> Bestimmen Sie alle reellen Lösungen für
>
> a) [mm]\bruch{6x -2}{2x -1}[/mm] - [mm]\bruch{3x -4}{x -2} \le[/mm] 0
>
> b) |x+1| - |x| + |x-1| [mm]\le[/mm] 5
>
> c) [mm]|x^2[/mm] -4x| < 7
>
> Moin,
>
> bei a) würde ich die Gleichung mit den beiden Nennern
> multiplizieren und vereinfachen...
>
> - 3x [mm]\le[/mm] 0
>
> => x [mm]\ge[/mm] 0
Ganz so einfach ist es nicht, denn je nachdem ob der Nenner, mit dem du durchmultiplizierst < oder > 0 ist, dreht sich bei der Multiplikation das Ungleichheitszeiche um.
Ich würde den zweiten Bruch auf die andere Seite schaffen und dann eine Fallunterscheidung bzgl. der beiden Nenner machen ...
>
>
> bei b) würde ich zunächst die Betragstriche "loswerden"
> wollen. d.h. ich würde einen summanden auf die rechte seite
> bringen und die gleichung anschließend quadrieren.
Kannst du die Idee konkretisieren? Ich habe so meine leichten Zweifel, ob das klappt.
M.E. kommst du um eine Fallunterscheidung beim Auflösen der Beträge nicht umhin
>
> und zum schluß nochmal die probe machen.
>
> oder gibt es eine einfachere Lösung?
>
> bei c) würde ich die gleichung als grenzfall betrachten:
>
> [mm]x^2[/mm] -4x -5 = 7 oder [mm]x^2[/mm] -4x -5 = -7
Wo kommt denn jeweils die -5 her?
>
> [mm]x_1[/mm] = -2 [mm]x_3[/mm] = 2 - [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] = 6 [mm]x_4[/mm] = 2 + [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> => L={ ]-2;6[ } ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Auch hier ist eine Fallunterscheidung vonnöten, es ist [mm] $|z|=\begin{cases} z, & \mbox{für } z\ge 0 \\ -z, & \mbox{für } z<0 \end{cases}$
[/mm]
Hier also konkret: [mm] $|x^2-4x|=\begin{cases} x^2-4x, & \mbox{für } x^2-4x\ge 0 \\ 4x-x^2, & \mbox{für } x^2-4x<0 \end{cases}=\begin{cases} x^2-4x, & \mbox{für } x\le 0\vee x\ge 4 \\ 4x-x^2, & \mbox{für } 0
>
> Oder gibt es eine einfachere Lösung?
>
> Vielen Dank!
>
LG
schachuzipus
>
>
>
>
>
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Hallo nochmal,
> Moin,
>
> ok. die -5 steht in der aufgabe. tut mir leid, habe ich in
> der fragestellung vergessen / inzw. korrigiert.
>
> also zu a)
>
> wenn ich den zweiten bruch auf die andere seite bringe,
> dann auf hauptnenner bringe, reicht es aus, die zähler zu
> vergleichen =>
>
> -3x [mm]\le[/mm] 0
Also [mm] $x\ge [/mm] 0$ wie im ersten post?
Was ist mit $x=1$? Das ist [mm] $\ge [/mm] 0$, aber die Ungleichung erfüllt es nicht
Wie gesagt, du hast [mm] $\frac{6x-2}{2x-1}\le\frac{3x-4}{x-2}$
[/mm]
Wenn du nun erweiterst, must du schauen, ob die Nenner > oder < 0 sind.
1.Fall: beide Nenner >0, also [mm] $2x-1>0\wedge [/mm] x-2>0$, also [mm] $x>\frac{1}{2}\wedge [/mm] x>2$, also $x>2$
Da macht die Multiplikation mit den Nennern keinen Stress
Dann kommst du auf die Lösung [mm] $x\ge [/mm] 0$
Zusammen mit der Bedingung für die Nenner (also $x>2$) ergilt sich in diesem Fall: [mm] $x\ge 0\wedge [/mm] x>2$, dh. also $x>2$ bzw. [mm] $x\in (2,\infty)$
[/mm]
2.Fall: beide Nenner <0, dh. [mm] $x<\frac{1}{2}\wedge [/mm] x<2$
Dann wird bei der Multiplikation mit den beiden Nennern das Ungleichheitszeichen 2mal umgedreht, also ergibt sich analog [mm] $x\ge [/mm] 0$
Zusammen mit der Bed. des Falles also [mm] $x\ge 0\wedge x<\frac{1}{2}$, [/mm] dh. [mm] $x\in\left[0,\frac{1}{2}\right)$
[/mm]
Nun schaue dir die beiden verbleibenden Fälle an, in denen die Nenner unterschiedliche VZ haben ...
>
> hoffe, dann mathematisch einwandfrei. 
Nein, da sind nicht alle bzw. zuviele Lösungen erfasst
Die Gesamtlösung ergibt sich dann als Vereinigung der "Teillösungen"
>
> zu b) meine idee ist:
>
> |x+1| -|x| +|x-1| [mm]\le[/mm] 5
>
> |x+1| +|x-1| [mm]\le[/mm] 5 + |x|
>
> dann quadrieren
>
> [mm]x^2[/mm] +2x +1 +2*|x+1|*|x-1| [mm]+x^2[/mm] -2x +1 [mm]\le[/mm] 25 +10|x| [mm]+x^2[/mm]
>
> hmm, scheint nicht zu funktionieren...
>
> könnte ich vielleicht beträge zusammenzählen /
> zusammenfassen?
Ich sehe hier auch nicht, wie du auf diese Weise geschickt weiter kommst ...
>
> zu c) würde ich zunächst bei meiner lösung bleiben.
Die ist aber leider nicht richtig 
Du kannst aber netterweise faktorisieren:
[mm] $|x^2-4x-5|<7$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] |(x+1)(x-5)|<7$
Und hier kannst du leicht eine Fallunterscheidung bzgl. des Betrages machen, schaue dir die beiden Faktoren an, wann sind beide <0, wann >0, wann ist das Produkt =0 ...
Kontrolllösung: [mm] $(-2,2-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2}+2,6)$
[/mm]
Edit: ich sehe gerade, dass du die "Eckpunkte" dieser Lösungsintervalle in deinem ersten post auch raus hast, bringe sie noch in den richtigen Bezug zur Lösung, du hattest die Lösungsmenge falsch und auch falsch aufgeschrieben
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 08.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
moin!
ok. ich mache mal mit b und c weiter...
zu c)
Ich unterscheide zwei Fälle.
1. Fall [mm] x^2-4x-5 \ge [/mm] 0 dann kann ich die Betragsstriche weglassen
[mm] x^2-4x [/mm] < 12
[mm] (x-2)^2 [/mm] < 16
[mm] x_1 [/mm] -2 < 4
[mm] x_2 [/mm] -2 > -2
]-2; 6[
2. Fall [mm] x^2-4x-5 [/mm] < 0 dann multipliziere ich den Funktionswert mit -1
[mm] -x^2+4x+5 [/mm] < 7
[mm] x^2-4x-5 [/mm] > -7
[mm] (x-2)^2 [/mm] > 2
[mm] x_1 [/mm] > 2 + [mm] \wurzel{2} [/mm]
[mm] x_2 [/mm] < 2 - [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] ]2-\wurzel{2};2+\wurzel{2}[ [/mm]
Da das erste Intervall das zweite Intervall einschliesst lautet meine Lösungsmenge:
L={x | -2 < x < 6 [mm] \in [/mm] R}
***
zu b)
Ich unterscheide 3 Fälle.
1. Fall x < -1
=> -x-1 +x -x+1 [mm] \le [/mm] 5
x [mm] \ge [/mm] -5 bzw. -5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] -1
2. Fall -1 < x < 0
=> x+1 +x -x+1 [mm] \le [/mm] 5
x+2 [mm] \le [/mm] 5
x [mm] \le [/mm] 3 bzw. -1 < x < 0
3. Fall x [mm] \ge [/mm] 1
x+1 -x +x -1 [mm] \le [/mm] 5
x [mm] \le [/mm] 5 bzw. 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5
L= {x | -5 [mm] \le [/mm] x < 0 oder 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5 [mm] \in [/mm] R}
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Hi, hase,
> zu c)
>
> Ich unterscheide zwei Fälle.
>
> 1. Fall [mm]x^2-4x-5 \ge[/mm] 0
Das musst Du ja nun erst mal lösen!
Es ergibt sich: x [mm] \le [/mm] -1 [mm] \vee [/mm] x [mm] \ge [/mm] 5.
> dann kann ich die Betragsstriche weglassen
>
> [mm]x^2-4x[/mm] < 12
>
> [mm](x-2)^2[/mm] < 16
>
> [mm]x_1[/mm] -2 < 4
>
> [mm]x_2[/mm] -2 > -2
>
> ]-2; 6[
Unter Einbeziehung meiner obigen Bemerkung erhältst Du insgesamt:
[mm] L_{1} [/mm] = ] -2 ; -1 ] [mm] \cup [/mm] [ 5 ; 6 [
> 2. Fall [mm]x^2-4x-5[/mm] < 0
Analog zum 1. Fall hast Du diesmal: -1 < x < 5
> [mm]-x^2+4x+5[/mm] < 7
>
> [mm]x^2-4x-5[/mm] > -7
>
> [mm](x-2)^2[/mm] > 2
>
> [mm]x_1[/mm] > 2 + [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] < 2 - [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]]2-\wurzel{2};2+\wurzel{2}[[/mm]
Das ist falsch! Hier ergibt sich: [mm] ]-\infty; 2-\wurzel{2} [/mm] [ [mm] \cup \quad ]2+\wurzel{2} [/mm] ; [mm] +\infty [/mm] [
Und unter Berücksichtigung von - 1 < x < 5 ergibt sich dann:
[mm] L_{2} [/mm] = ]-1; [mm] 2-\wurzel{2} [/mm] [ [mm] \cup \quad ]2+\wurzel{2} [/mm] ; 5 [
Nun musst Du nur noch [mm] L_{1} [/mm] mit [mm] L_{2} [/mm] vereinigen!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mo 13.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
Ich habe die Aufgaben nochmal gelöst. Hoffe, das stimmt jetzt!!
a)
Vorbemerkung: [mm] D_f [/mm] = R \ { [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ; 2 }
[mm] \bruch{6x-2}{2x-1} [/mm] - [mm] \bruch{3x-4}{x-2} \le [/mm] 0
1. Fall 2x-1 [mm] \ge [/mm] 0 ^ x-2 [mm] \ge [/mm] 0 bzw. x > 2
(6x-2)*(x-2) - (3x-4)*(2x-1) [mm] \le [/mm] 0
-3x [mm] \le [/mm] 0
x [mm] \ge [/mm] 0 ]2; [mm] \infty]
[/mm]
2. Fall 2x-1 < 0 ^ x-2 [mm] \ge [/mm] 0 bzw. [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < x < 2
(6x-2)*(x-2) - (3x-4)*(2x-1) [mm] \ge [/mm] 0
-3x [mm] \ge [/mm] 0
x [mm] \le [/mm] 0 { } keine weiteren Lösungen
3. Fall 2x-1 < 0 ^ x-2 < 0 bzw. x < [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
(6x-2)*(x-2) - (3x-4)*(2x-1) [mm] \le [/mm] 0
-3x [mm] \le [/mm] 0
x [mm] \ge [/mm] 0 ]2; [mm] \infty]
[/mm]
(s. Fall 1)
=> L = ]2; [mm] \infty]
[/mm]
***
b)
|x+1| - |x| + |x-1| [mm] \le [/mm] 5
1. Fall x [mm] \ge [/mm] 1
x+1 -x +x-1 [mm] \le [/mm] 5
x [mm] \le [/mm] 5 [1 ; 5]
2. Fall 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \< [/mm] 1
x+1 -x -x+1 [mm] \le [/mm] 5
-x [mm] \le [/mm] 3
x [mm] \ge [/mm] -3 [0;1]
3. Fall -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \< [/mm] 0
x+1 +x -x+1 [mm] \le [/mm] 5
x [mm] \le [/mm] 3 [-1;0[
4. Fall x < -1
-x-1 +x -x+1 [mm] \le [/mm] 5
-x [mm] \le [/mm] 5
x [mm] \ge [/mm] 5 { }
=> L = [-1;5]
***
c)
Wann ist [mm] x^2 [/mm] 4x-5 < 0
[mm] x^2-4x-5 [/mm] < 0
[mm] (x-2)^2 [/mm] -9 < 0
[mm] (x-2)^2 [/mm] < 9
[mm] x_1/2 [/mm] -2 < |3|
[mm] x_1 [/mm] <5
[mm] x_2 [/mm] > -1
] -1;5 [
1. Fall -1 < x < 5
[mm] x^2-4x-5 [/mm] > 7
[mm] (x-2)^2 [/mm] > 16
[mm] x_1/2 [/mm] -2 > |4|
[mm] x_1 [/mm] > 6
[mm] x_2 [/mm] < -2
[mm] [-\infty; [/mm] -2[ v ]6; [mm] \infty]
[/mm]
2. Fall x [mm] \le [/mm] -1 v x [mm] \ge [/mm] 5
[mm] x^2-4x-5 [/mm] < 7
[mm] (x-2)^2 [/mm] < 16
[mm] x_1/2 [/mm] < |4|
[mm] x_1 [/mm] < 2
[mm] x_2 [/mm] > 6
]2;6[
=> L = ]2;5[
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mo 13.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
...
>
> Die letzte Zeile muss lauten: [mm]x \ \ge \ \red{-} \ 5[/mm]
> .
> Also lautet $ [mm] \IL_4$ [/mm] bzw. die Gesamtlösungsmenge?
ok. x [mm] \ge [/mm] -5
[mm] L_4 [/mm] = [ -5 ; -1[
=> [-5;5]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo hase-hh!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo hase-hh!
> c)
>
> Wann ist [mm]x^2[/mm] 4x-5 < 0
>
> [mm]x^2-4x-5[/mm] < 0
>
> [mm](x-2)^2[/mm] -9 < 0
>
> [mm](x-2)^2[/mm] < 9
>
> [mm]x_1/2[/mm] -2 < |3|
Die Betragsstriche gehören auf die linke Seite der Ungleichung!
$$|x-2| \ < \ [mm] \wurzel{9} [/mm] \ = \ 3$$
Man kann hier aber auch wie folgt auflösen:
[mm] $$x^2-4x-5 [/mm] \ = \ (x-5)*(x+1) \ < \ 0$$
Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann negativ, wenn beide Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben:
$$x-5<0 \ \ [mm] \wedge [/mm] \ \ x+1>0$$
oder
$$x-5>0 \ \ [mm] \wedge [/mm] \ \ x+1<0$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Di 14.10.2008 | | Autor: | hase-hh |
hmm *** sollte eigentlich ne mitteilung werden ***
Moin,
danke!
1. Fall [mm] x^2-4x-5 \ge [/mm] 0
[mm] x^2-4x \ge [/mm] 5
[mm] (x-2)^2 \ge [/mm] 9
|x-2| [mm] \ge [/mm] 3
[mm] x_1 \ge [/mm] 5
[mm] x_2 \le [/mm] -1
[- [mm] \infty [/mm] ; -1] v [5 ; + [mm] \infty] [/mm]
[mm] x^2-4x-5 [/mm] < 7
[mm] (x-2)^2 [/mm] < 16
|x-2| < 4
[mm] x_1 [/mm] < 6
[mm] x_2 [/mm] > -2
] -2; 6[
[mm] L_1 [/mm] = ] -2; -1] v [5;6[
2. Fall [mm] x^2-4x-5 [/mm] < 0
[mm] x^2-4x [/mm] < 5
[mm] (x-2)^2 [/mm] < 9
|x-2| < 3
[mm] x_1 [/mm] < 5
[mm] x_2 [/mm] > -1
] -1 ; 5 [
[mm] -x^2+4x+5 [/mm] < 7
[mm] x^2-4x-5 [/mm] > -7
[mm] (x-2)^2 [/mm] > 2
|x-2| < [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] > 2 [mm] +\wurzel{2}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] < 2 - [mm] \wurzel{2} [/mm]
[- [mm] \infty [/mm] ; 2 - [mm] \wurzel{2} [/mm] [ v ] 2 + [mm] \wurzel{2} [/mm] ; + [mm] \infty]
[/mm]
[mm] L_2 [/mm] = ] -1 ; 2 - [mm] \wurzel{2} [/mm] [ v ] 2 + [mm] \wurzel{2} [/mm] ; 5 [
[mm] L_{gesamt} [/mm] = ] -2 ; 2 - [mm] \wurzel{2} [/mm] [ v ] 2 + [mm] \wurzel{2} [/mm] ; 6 [
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Di 14.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo hase-hh!
Das sieht gut aus und ich kann keinen Fehler entdecken.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Mo 13.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle reellen Lösungen für
>
> a) [mm]\bruch{6x -2}{2x -1}[/mm] - [mm]\bruch{3x -4}{x -2} \le[/mm] 0
>
> b) |x+1| - |x| + |x-1| [mm]\le[/mm] 5
>
> c) [mm]|x^2[/mm] -4x -5| < 7
>
> Moin,
>
> bei a) würde ich die Gleichung mit den beiden Nennern
> multiplizieren und vereinfachen...
>
> - 3x [mm]\le[/mm] 0
>
> => x [mm]\ge[/mm] 0
>
>
> bei b) würde ich zunächst die Betragstriche "loswerden"
> wollen. d.h. ich würde einen summanden auf die rechte seite
> bringen und die gleichung anschließend quadrieren.
>
> und zum schluß nochmal die probe machen.
>
> oder gibt es eine einfachere Lösung?
>
> bei c) würde ich die gleichung als grenzfall betrachten:
>
> [mm]x^2[/mm] -4x -5 = 7 oder [mm]x^2[/mm] -4x -5 = -7
>
> [mm]x_1[/mm] = -2 [mm]x_3[/mm] = 2 - [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] = 6 [mm]x_4[/mm] = 2 + [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> => L={ ]-2;6[ }
>
> Oder gibt es eine einfachere Lösung?
Ja. [mm] |x^2-4x-5|<7 [/mm] bedeutet, dass [mm] x^2-4x-5 [/mm] zwischen -7 und 7 liegt.
Der kleinste Funktionswert wird am Scheitelpunkt angenommen, und der liegt wegen [mm] x^2-4x-5=(x-2)^2-9 [/mm] bei S(2|-9).
Das ist offensichtlich zu tief für den erlaubten Bereich. Die Funktionswerte müssen mindestens um 2 wachsen (auf -7), die zugehörigen Argumente liegen also im Abstand [mm] \wurzel{2} [/mm] links und rechts von der x-Koordinate des Scheitelpunkts. Andererseit dürfen die Funktionswerte 7 nicht überschreiten, damit liegen sie maximal 16 Einheien über dem Tiefstwert -9 am Scheitelpunkt. Diese Grenze liegt bei Argumenten, die 4 Einheiten vom x-Wert des Scheitelunkts entfernt liegen (also bei -6 bzw. +2)
Lösungen sind also Zahlen zwischen -6 und [mm] -2-\wurzel{2} [/mm] sowie zwischen [mm] -2+\wurzel{2} [/mm] und 2.
Gruß Abakus
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> Vielen Dank!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
