Ungleichungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich hab ne Frage zu zwei Ungleichungen, bei denen ich nicht weiter komme. Und zwar soll ich beweisen, dass x,y (reele Zahlen) für folgende Aussagen gelten.
Ist 0<|x|<1, so gilt 1+x < [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
Also, ich hab dann erst ma versucht zwischen der Nullstelle unterscheiden
x<1:
1+x < [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
[mm] 1-x^2 [/mm] < 1
[mm] -x^2 [/mm] < 0
|x| > 0
x>1:
1+x > [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
[mm] 1-x^2 [/mm] > 1
[mm] -x^2 [/mm] > 0
|x| < 0
So, und ab hier komm ich nicht weiter (ich hoffe mal das es bis hierher richtig ist). Aber was zu Beweisen war, hab ich noch nicht bewiesen.
Und Nummer zwei, wo ich nicht weiterkomme:
Ist x>0 und y>0, so gilt [mm] \bruch{x}{y} [/mm] + [mm] \bruch{y}{x} [/mm] >=2
Hier hab ich herausbekommen, dass wenn man die Formel mal xy nimmt
[mm] (x+y)^2 [/mm] >= 2 herausbekommt (Binomische Formel). Was das gleiche ist wie |x+y|>=2. Aber x>0 und y>0 hab ich hier auch noch nicht bewiesen.
Wie komm ich denn hier weiter?
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 So 06.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michael!
> Ist x>0 und y>0, so gilt [mm]\bruch{x}{y}[/mm] + [mm]\bruch{y}{x}[/mm] >=2
>
> Hier hab ich herausbekommen, dass wenn man die Formel mal
> xy nimmt
> [mm](x+y)^2[/mm] >= 2 herausbekommt (Binomische Formel).
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier hast Du Dich verrechnet :
[mm] $\bruch{x}{y} [/mm] + [mm] \bruch{y}{x} [/mm] \ [mm] \ge \2$ $\left| \ *xy \ > \ 0$
$x^2 + y^2 \ \ge \ 2xy$
$x^2 - 2xy + y^2 \ \ge \ 0$
Ist der Rest nun klar?
Gruß
Loddar
[/mm]
|
|
|
| |
|
Ne, ich weiß leider nicht wie ich von hier aus weiterkomme. Eigentlich bin ich soweit schon selber gekommen, hab mich nur hier bei der Eingabe vertan. Ich bin auf [mm] |x-y|^2>=0 [/mm] gekommen, was ja das gleiche wie [mm] x^2-2xy+y^2>=0 [/mm] ist. Ich weiß jetzt nur nicht wie ich beweisen soll, dass dieser Therm für alle x>0 und y>0 gilt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 06.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michael!
Und mit der Aussage [mm] $(x-y)^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ bzw. [mm] $|x-y|^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ bist Du bereits fertig, da ein Quadrat bzw. die Betragsfunktion immer größer oder mindestens Null ist.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Daraus ergibt sich also die Lösungsmenge:
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig gerechnet! Und $|x| \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$ ist ein Widerspruch bzw. eine falsche Aussage, so dass für diesen Fall $x \ > \ 1$ keine Lösung existiert.
