Ungleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Mi 14.02.2007 | | Autor: | APinUSA |
| Aufgabe | --> Als Grundmenge für die folgenden Gleichungen und Ungleichungen wird die Menge der rationalen Zahlen vorausgesetzt. Gesucht ist jeweils die Lösungsmenge.
a) [mm] 2x(-3+5x)(2x+5)>20x^3-(4x-76x^2):2
[/mm]
b) [mm] 2+[(2x-5)^2-(-2x-5)^2]:(-10) \le [(x+2)^2-(x-2)^2]:2 [/mm] |
Hallo,
ich hab mal drei Fragen zu den zwei Aufgaben.
Gerrechnet hab ich
a) 2x(-3+5)(2x+5) > [mm] 20x^3-(4x-76x^2):2
[/mm]
[mm] -12x^2-30x+20x^3+50x^2 [/mm] > [mm] 20x^3-2x+38x^2 [/mm] --> [mm] -20x^3
[/mm]
[mm] 38x^2-30x [/mm] > [mm] -2x+38x^2 [/mm] --> [mm] -38x^2
[/mm]
-30x > -2x --> : (-2)
15x < x --> -x
14x < 0
b) [mm] 2+[(2x-5)^2-(-2x-5)^2]:(-10) \le [(x+2)^2-(x-2)^2]:2
[/mm]
[mm] 2+[4x^2-20x+25-4x^2-20x-25]:(-10) \le [x^2+4x+4-x^2+4x-4]:2
[/mm]
2+[- [mm] \bruch{2}{5}x^2+2x-2 \bruch{1}{2}+\bruch{2}{5}x^2+2x+2\bruch{1}{2}] \le \bruch{1}{2}x^2+2x+2-\bruch{1}{2}x^2+2x-2
[/mm]
2+4x [mm] \le [/mm] 4x --> :4
[mm] \bruch{1}{2}+x \le [/mm] x
Fragen:
zu a)
--> wenn man mal oder durch eine negative Zahl rechnet muss man das größer/kleiner als Zeichen doch umdrehen? Was ich bei a) (durch (-2)) gemacht habe, allerdings kommt so 14x<0 raus was so doch nicht stimmt!! oder muss ich noch durch 14 teilen, was dann wäre x<0??
--> wenn man durch eine neg.Zahl teil bzw mal nimmt, muss doch das Vorzeichen gedreht werden, muss es das auch bei irgendeiner anderen rechenmaßnahme? wie wurzel ziehen oder quadrieren?
--> 14x kann doch nie kleiner sein als 0, außer bei negativen Zahlen oder? Wie kann man das den Mathematisch ausrücken? Da man in einem Mathe test ja bestimmt das nicht so im Satz hinschreibt?
zu b)
wie kann es sein das [mm] \bruch{1}{2}+x [/mm] kleiner oder gleich x ist. Kann doch irgendwie nicht stimmen aber ich finde auch keinen Rechenfehler
Danke schonmal, sind ziemlich viele Fragen geworden :-(
Mfg Maria
Ich habe diese Fragen in keinen anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Mi 14.02.2007 | | Autor: | Yuma |
Hallo Maria,
> Als Grundmenge für die folgenden Gleichungen und
> Ungleichungen wird die Menge der rationalen Zahlen
> vorausgesetzt. Gesucht ist jeweils die Lösungsmenge.
> a) [mm]2x(-3+5x)(2x+5)>20x^3-(4x-76x^2):2[/mm]
> ich hab mal drei Fragen zu den zwei Aufgaben.
> Gerechnet hab ich
> a) 2x(-3+5)(2x+5) >
> [mm]20x^3-(4x-76x^2):2[/mm]
> [mm]-12x^2-30x+20x^3+50x^2[/mm] > [mm]20x^3-2x+38x^2[/mm] --> [mm]-20x^3[/mm]
> [mm]38x^2-30x[/mm] > [mm]-2x+38x^2[/mm] -->
> [mm]-38x^2[/mm]
> -30x > -2x -->
> : (-2)
> 15x < x -->
> -x
> 14x < 0
Das ist alles soweit richtig, wenn ich auch nicht erst durch $(-2)$ geteilt, sondern $2x$ addiert und durch $(-28)$ geteilt hätte!
Zu deinen Fragen:
> --> wenn man mal oder durch eine negative Zahl rechnet
> muss man das größer/kleiner als Zeichen doch umdrehen?
Richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was ich bei a) (durch (-2)) gemacht habe, allerdings kommt so
> 14x<0 raus was so doch nicht stimmt!!
Doch, das ist richtig, man kann es nur noch weiter vereinfachen!
> oder muss ich noch durch 14 teilen, was dann wäre x<0??
Genau!
> --> wenn man durch eine neg.Zahl teil bzw mal nimmt, muss
> doch das Vorzeichen gedreht werden, muss es das auch bei
> irgendeiner anderen rechenmaßnahme? wie wurzel ziehen oder
> quadrieren?
Naja, aus einer negativen Zahl kann man ohnehin nicht die Wurzel ziehen.
Quadrieren oder Wurzel ziehen ist bei einer einer Ungleichung immer ziemlich gefährlich - nur ein kleines Beispiel:
[mm] $x^2<4$. [/mm] Weder $x<2$ noch $x>2$ ist äquivalent dazu, äquivalent wäre $-2<x<2$ (also $x$ muss zwischen $-2$ und $2$ liegen). Hier muss man mit Fallunterscheidungen arbeiten!
> --> 14x kann doch nie kleiner sein als 0, außer bei
> negativen Zahlen oder? Wie kann man das den Mathematisch
> ausrücken? Da man in einem Mathe test ja bestimmt das nicht
> so im Satz hinschreibt?
Du hast es doch ganz richtig gemacht: [mm] $14x<0\gdw [/mm] x<0$.
> b) [mm]2+[(2x-5)^2-(-2x-5)^2]:(-10) \le [(x+2)^2-(x-2)^2]:2[/mm]
>
> [mm]2+[4x^2-20x+25-4x^2-20x-25]:(-10) \le [x^2+4x+4-x^2+4x-4]:2[/mm]
>
> 2+[- [mm]\bruch{2}{5}x^2+2x-2 \bruch{1}{2}+\bruch{2}{5}x^2+2x+2\bruch{1}{2}] \le \bruch{1}{2}x^2+2x+2-\bruch{1}{2}x^2+2x-2[/mm]
>
> 2+4x [mm]\le[/mm] 4x --> :4
> [mm]\bruch{1}{2}+x \le[/mm] x
Auch hier alles richtig! Ich hätte es zwar wieder etwas anders gemacht: Nicht durch $4$ geteilt, sondern $4x$ subtrahiert, dann erhält man [mm] $2\le [/mm] 0$, und damit ist doch alles klar: 2 ist größer als 0, daher sind wir auf eine falsche Aussage gestoßen, obwohl wir richtig gerechnet haben. D.h. die Gleichung hat keine Lösung - die Lösungsmenge ist leer.
Alles klar? Ansonsten bitte nochmal nachfragen! 
MFG,
Yuma
PS: Deine PM hab' ich gelesen und werde sie beantworten, sobald ich Zeit habe. Der Denkfehler, dem deine Frage zugrunde liegt, ist übrigens so verbreitet, dass du sie auch ruhig allgemein stellen kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mi 14.02.2007 | | Autor: | APinUSA |
Erstmal riesen großes Dankeschön Yuma!!!!
Bei dem Tempo in dem du die Fragen beantwortest bin ich bis Septmeber auf jedenfall wieder fit in Mathe
Trotzdem hab ich schon wieder eine Frage. Wegen der Lösungsmenge. Da mir zurückgeschriebn wurde das z.b x<0 nich so dargestellt werden soll, sondern die Lösungen folgenend angegeben werden sollen:
a) [mm] ]-\infty;0[ [/mm] = [mm] \IQ^- [/mm]
b) {}
c) [mm] ]-\infty;-25[
[/mm]
d) - [mm] \infty;-4]
[/mm]
Was heißen diese Zeichen? das umgefallene und Zeichen war unendlich aber die ganzen Klammern???
Mfg Maria
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mi 14.02.2007 | | Autor: | Kroni |
Das ist die Intervallschreibweise.
steht dort irgendwo ein unendlich...dann setzt man die Klammern immer grunsätzlich so, dass sie nach außen zeigen:
[mm] ]-\infty;\infty[
[/mm]
[2;5] heißt z.B. Zahlen zwischen EINSCHLIEßLICH 2 und EINSCHLIESSLICH 5.
Zeigt die Klammer nach außen, so heißt das ausschließlich:
]2;5] das heißt
Ausschließlich 2 und einschließlich 5.
Also zusammengefasst:
Zeigt die eckige Klammer nach innen, so heißt es : einschließlich
zeigt sie nach außen, so heißt es ausschließlich
Und sobald man mit [mm] \infty [/mm] zu tun hat, setzt man die Klammern immer nach außen.
SLaín,
kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mi 14.02.2007 | | Autor: | Yuma |
Hallo Maria,
> Erstmal riesen großes Dankeschön Yuma!!!!
Gern geschehen!
Eine kleine Ergänzung zu Kronis Antwort habe ich noch:
> a) [mm]]-\infty;0[\supset\IQ^-[/mm]
Ein Intervall ist normalerweise eine Menge reeller Zahlen.
Zum Beispiel ist [mm] $-\sqrt{2}\in]-\infty;0[$ [/mm] , aber [mm] $-\sqrt{2}\notin\IQ^-$.
[/mm]
Du kennst den "Unterschied" zwischen reellen und rationalen Zahlen?
Die reellen Zahlen beinhalten die rationalen Zahlen [mm] ($\IQ\subset\IR$), [/mm] aber es gibt reelle Zahlen (z.B. [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] oder [mm] \pi), [/mm] die keine rationalen Zahlen sind.
Rationale Zahlen sind immer auch als Bruch darstellbar -
[mm] $\sqrt{2}$ [/mm] kann man nicht als Bruch darstellen, ebensowenig wie [mm] $\pi$.
[/mm]
Was ich damit sagen will  ist: [mm]]-\infty;0[[/mm] ist nicht dasselbe wie [mm]\IQ^-[/mm].
In deiner ersten Aufgabe ist die Grundmenge, d.h. die Menge aus der die Lösungen kommen dürfen, die Menge der rationalen Zahlen [mm] $\IQ$.
[/mm]
Wenn du die Lösungsmenge richtig angibst, wie sieht das aus (wenn du das eben Gesagte beachtest)?
> b) {}
Das ist die leere Menge, also die Menge, die keine Elemente enthält. Wir hatten schon gesehen, dass die Lösungsmenge bei der zweiten Aufgabe gerade die leere Menge ist, denn die Gleichung hatte keine Lösung.
> c) [mm]]-\infty;-25[[/mm]
> d) - [mm]\infty;-4][/mm]
Hierzu hat Kroni ja schon alles gesagt!
Das nur als kleine Ergänzung, die hoffentlich nicht mehr verwirrt als geholfen hat.
MFG,
Yuma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Fr 16.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
eine genaue Lösung wird so angegeben: [mm] x=\{5\}.
[/mm]
Das bedeutet, die Lösung für x ist nur die 5.
Die Natürlichen Zahlen sind alle Zahlen aus [mm] \IN, [/mm] also 1,2,3,4,5...
Anders gesagt alle positiven ganzen Zahlen!
Die Ganzen Zahlen also die Zahlen aus der Menge [mm] \IZ, [/mm] sind die Natürlichen Zahlen, erweitert um die zugehörigen negativen Zahlen.
Die Rationalen Zahlen, sind die Zahlen aus der Menge [mm] \IQ, [/mm] also alle Zahlen, die durch einen Bruch der Form [mm] \bruch{a}{b} [/mm] mit [mm] a,b\in \IZ [/mm] dargestellt werden können. Das bedeutet, die Rationalen Zahlen sind, um es einfacher auszudrücken, alle endlichen und auch unendlichen(aber dann periodischen) Dezimalbrüche. Sprich, das sind alle Zahlen, die durch eine Kommazahl dargestellt werden können, die entweder irgendwann einmal endet, oder die wenn sie unendlich ist, zumindest periodisch ist.
Beispiel für einen endlichen Dezimalbruch ist [mm] \bruch{1}{8}=0,125
[/mm]
Beispiel für einen unendlichen periodischen Dezimalbruch ist [mm] \bruch{1}{3}=0,3333333...
[/mm]
Die Reellen Zahlen sind alle Zahlen aus der Menge [mm] \IR, [/mm] das bedeutet, alle irrationalen Zahlen. Das sind eben genau die Zahlen, die nicht durch einen Bruch [mm] \bruch{a}{b} [/mm] mit [mm] a,b\in \IZ [/mm] dargestellt werden können. Sprich, es sind alle Zahlen, die durch unendliche !nicht! periodische Dezimalbrüche dargestellt werden.
Beispiele für Reelle Zahlen sind [mm] \wurzel{3}, \pi, [/mm] die Eulersche Zahl e und eben alle Wurzeln, die keine Natürliche Zahl ergeben, wie z.B. diese hier: [mm] \wurzel{5} [/mm] oder auch [mm] \wurzel[3]{7}. [/mm]
Zu deiner Aufgabe:
Also ich habe als Ergebnis [mm] ]-\bruch{14}{15};0[ [/mm] als Lösungsmenge raus.
In diesem Intervall liegen aber auch irrationale Zahlen und nicht nur rationale Zahlen, z.B. [mm] \bruch{-1}{\wurzel{2}}.
[/mm]
Gruß,
clwoe
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