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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Do 14.07.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Hallo ich rechne grad ein paar aufgaben durch um mich auf die klausur vorzubereiten und hätte mal ne frage zu ungleichungen. |
wenn ich jetzt die gleichung hab, z.b.
[mm] x^3+2=y [/mm] und ich hab die ungleichung [mm] x\le [/mm] y+5 und ich will die ungleichung in die gleichung einsetzen dann muss ich ja das ungleichheitszeichen auch übernehmen. meine frage ist jetz wierum ich das ungleichheitszeichen drehen muss. gibts ja ne faustregel oder so? is vllt n bisschen banal, aber ich hab das nie verstanden^^
danke schon mal gruß david
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Du möchtest jetzt also das x in [mm] $x^3+2 [/mm] = y$ einsetzen.
Du setzt dafür $y+5$ ein.
Jetzt ist $x [mm] \leq [/mm] y+5$, du setzt also auf der linken Seite der Gleichung etwas ein, was größer oder gleich dem ist was da bereits steht, es könnte also größer werden.
Langer Rede kurzer Sinn, du bekommst:
[mm] $(y+5)^3 [/mm] + 2 [mm] \geq [/mm] y$
Mal noch ein Beispiel um es zu verdeutlichen:
Wir haben
x = 2y
x [mm] $\geq$ [/mm] 5
Nun setzen wir für das x die 5 ein.
Hier muss man bedenken, dass die 5 kleiner oder gleich x ist, also kann das auf der linken Seite (wo wir einsetzen) unter Umständen kleiner werden, es ergibt sich also:
5 [mm] $\leq [/mm] 2y$
Und nochmal ein ganz triviales Beispiel:
2=2
2 [mm] $\leq$3
[/mm]
Setzt du nun die 3 in die erste Gleichung (auf der linken Seite) ein, so könnte es ja unter Umständen passieren, dass die linke Seite größer wird (du setzt ja die 3 ein, die potentiell größer ist).
Also ergibt sich:
3 [mm] $\geq$ [/mm] 2
Und nochmal allgemeine Fausregel und so:
Zu aller erst solltest du alle x auf eine Seite bringen.
Wenn du sowas hast wie $5x + 7 = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \sqrt{x}$ [/mm] könnte es problematisch werden zu sehen wie sich das Zeichen ändert wenn du für x was einsetzt.
Hast du nun $x = y$ und $x [mm] \leq [/mm] z$ dann gibt das $z [mm] \geq [/mm] y$, das Zeichen dreht sich also gerade um.
Das ist aber nicht immer so, deshalb noch zwei Tipps:
1. Versuch wenn möglich das aus der Gleichung in die Ungleichung einzusetzen, nicht andersrum. Dann musst du dir nämlich um das Ungleichungszeichen keine Sorgen machen.
2. Versuch dir nicht einfach "das Zeichen dreht sich um" zu merken sondern versuch zu verstehen wie es dazu kommt sodass du in der Lage bist dir das logisch herzuleiten auch ohne eine Regel zu haben - ist sicherer und du kannst nicht in irgend eine Sonderfall-Falle tappen.
Du musst zum Beispiel vorsichtig sein wenn du nicht für einfache x sondern für [mm] $x^2$ [/mm] oder ähnliches einsetzt (ist zum Beispiel x < 0 so ist dennoch [mm] $x^2 [/mm] > 0$ und du musst anders einsetzen).
Allgemein solltest du wirklich den ersten Tipp beachten, also immer die Gleichung nach x umstellen und das dann in die Ungleichung einsetzen; da kannst du das Zeichen nämlich vollkommen unberührt lassen.
MfG
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Do 14.07.2011 | | Autor: | David90 |
sehr guter tip:) ich danke dir für die ausführliche erklärung:)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Fr 15.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo ich rechne grad ein paar aufgaben durch um mich auf
> die klausur vorzubereiten und hätte mal ne frage zu
> ungleichungen.
> wenn ich jetzt die gleichung hab, z.b.
> [mm]x^3+2=y[/mm] und ich hab die ungleichung [mm]x\le[/mm] y+5 und ich will
> die ungleichung in die gleichung einsetzen
hier gehst Du "merkwürdig" vor. Natürlich kann man sich überlegen, was mit der Gleichung passiert, wenn man sie mit einer Ungleichung koppelt. Aber die viel logischere Vorgehensweise ist doch, das, was man konkret kennt (durch das Gleichheitszeichen) in die Ungleichung einzusetzen:
Aus [mm] $x^3+2=y$ [/mm] und $x [mm] \le [/mm] y+5$ ergibt sich:
Wenn man in $x [mm] \le {\bf y}+5$ [/mm] nun [mm] ${\bf y}=x^3+2$ [/mm] einsetzt sofort
$$x [mm] \le (x^3+2)+5$$
[/mm]
bzw.
$$x [mm] \le x^3+7\,.$$
[/mm]
(Letztstehende Ungleichung kann man sich veranschaulischen, indem man sie zu
$$0 [mm] \le f(x):=x^3-x+7$$
[/mm]
umschreibt. Ist Dir das klar, was der Graph der Funktion [mm] $f\,$ [/mm] mit der Ungleichung dann zu tun hat?)
P.S.:
Beachte auch, dass Du bei Kopplungen von Ungleichungen vorsichtig sein solltest und auch penibel auf Vorzeichen achten solltest. So folgt nämlich etwa aus
$$-3 [mm] \le [/mm] x < 2$$
und
[mm] $$y=x^2$$
[/mm]
sofort
$$y [mm] \le 9=(-3)^2\,,$$
[/mm]
während $y < [mm] 2^2$ [/mm] falsch wäre. Manchmal (so auch hier) kann es helfen, sich das ganze mit Graphen von Funktionen zu veranschaulischen:
In letztstehendem Bsp. wäre etwa [mm] $y=f(x):=x^2$ [/mm] auf $[-3,2[$ dafür zu betrachten, und man würde "die kleinste obere Schranke" (mit dem Wert 9) dann in der Tat als richtig erkannt "ansehen können".
Gruß,
Marcel
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