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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:16 Fr 23.02.2007 | | Autor: | dicentra |
| Aufgabe | Lösen sie folgende Ungleichung nach x auf:
(a) [mm]\bruch{x^2+5}{x+1}>3[/mm]
(b) [mm]\bruch{1}{x}<4[/mm] |
(a) [mm]D=\IR\backslash\{-1\}[/mm]
1. angenommen x steht alleine unterm bruchstrich. dann sagt man doch für die fallunterscheidung x<0 oder x>0. jetzt ist hier ja noch die 1 mit unterm bruchstrich. was nun? schreibt man nun: fall 1: x<0 [mm] \wedge [/mm] x+1<0 [mm] \gdw [/mm] x<-1? daraus würde ja dann x<-1. aber wenn x=-0,5 wäre und die Multiplikation würde durchgeführt werden müsste ja das relationszeichen gedreht werden und das widerspricht sich doch dann. oder nicht? *irgendwie verwirrt kuckt*.
2. habe natürlich ein wenig weitergerechnet und kam dann zum punkt wo folgendes geschrieben stand: [mm]x^2-3x+2<0[/mm]. das ist die normalform der pq-formel und wenn ich das ausrechne kommen zwei ergebnisse raus: [mm] x_1={2}; x_2={1}. [/mm] wie verträgt sich das dann mit einer ungleichung? bei anderen ungleichungen habe ich aber nur eine lösung für x und ich weiß, ist bspw. das x einer ungleichung für den Fall x<0 [mm] x<\bruch{1}{4} [/mm] der intervall der lösungsmenge [mm] \IL=(-\infty, [/mm] 0) ist, oder nicht. das bringt mich nun zu (b):
(b) [mm]D=\IR\backslash\{0\}[/mm]
fall1: x<0 [mm] x<\bruch{1}{4}
[/mm]
fall2: x>0 [mm] x>\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \IL=(-\infty, 0)(\bruch{1}{4},\infty)
[/mm]
also zur erklärung: der 1. teil der lösungsmenge kommt daher zustande, dass angenommen wird, dass x<0 ist. da die lösung sagt [mm] x<\bruch{1}{4}, [/mm] is die lösungsmenge für den fall x<0 eben [mm] (-\infty, [/mm] 0), da wenn was <0 ist auch [mm] <\bruch{1}{4} [/mm] ist. und für fall 2: angenommen wird x>0 lösung [mm] x>\bruch{1}{4} [/mm] also, wenn was [mm] >\bruch{1}{4} [/mm] es auch >0 ist. kann man das so sagen und schreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:25 Fr 23.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo dicentra
Die b). aufgabe hast deu voellig richtig geloest, die Kommentare sind richtig, aber nicht notwendig.
> Lösen sie folgende Ungleichung nach x auf:
> (a) [mm]\bruch{x^2+5}{x+1}>3[/mm]
> (b) [mm]\bruch{1}{x}<4[/mm]
> (a) [mm]D=\IR\backslash{-1}[/mm]
>
> 1. angenommen x steht alleine unterm bruchstrich. dann sagt
> man doch für die fallunterscheidung x<0 oder x>0. jetzt ist
> hier ja noch die 1 mit unterm bruchstrich. was nun?
> schreibt man nun: fall 1: x<0 [mm]\wedge[/mm] x+1<0 [mm]\gdw[/mm] x<-1?
> daraus würde ja dann x<-1. aber wenn x=-0,5 wäre und die
> Multiplikation würde durchgeführt werden müsste ja das
> relationszeichen gedreht werden und das widerspricht sich
> doch dann. oder nicht? *irgendwie verwirrt kuckt*.
Nein, widerspricht sich nicht. Wenn x=-0,5, dann multipliziert man ja mit 1-0,5=0,5 das ist positiv, und das relationszeichen bleibt.
du hast also recht, die fallunterscheidung ist a
a) x+1>0 d.h. x>-1 Relationszeichen bleibt bei Multiplikation, und
b) x+1<0 x<-1, das Zeichen dreht sich bei Multiplikation um.
Gruss leduart
> 2. habe natürlich ein wenig weitergerechnet und kam dann
> zum punkt wo folgendes geschrieben stand: [mm]x^2-3x+2<0[/mm]. das
> ist die normalform der pq-formel und wenn ich das ausrechne
> kommen zwei ergebnisse raus: [mm]x_1={2}; x_2={1}.[/mm] wie verträgt
> sich das dann mit einer ungleichung? bei anderen
> ungleichungen habe ich aber nur eine lösung für x und ich
> weiß, ist bspw. das x einer ungleichung für den Fall x<0
> [mm]x<\bruch{1}{4}[/mm] der intervall der lösungsmenge
wenn du die pq formel angewandt hast weisst du :
[mm]x^2-3x+2=(x-1)*(x-2)<0[/mm]
ein Produkt ist <0 wenn einer der Faktoren >0, der andere kleiner Null
also muss gelten x-1<0 UND x-2>0 d.h. x<1 und x>2 das geht nicht!
oder x-1>0 und x-2<0 d.h. x>1 UND x<2 d.h. x zwischen 1 und 2
im anderen fall:(x-1)*(x-2)>0 muessen beide Klammern positiv, oder beide negativ sein.
Du kannst dir auch einfach die funktion [mm] y=x^2-3x+2 [/mm] aufzeichnen, das ist ne parabel, die zwischen 1 und 2 im negativen verlaeuft, sonst im positiven!
das noch zusammenbringen mit x+1>0 und x+1<0
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:26 Fr 23.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo dicentra
Die b). aufgabe hast deu voellig richtig geloest, die Kommentare sind richtig, aber nicht notwendig.
> Lösen sie folgende Ungleichung nach x auf:
> (a) [mm]\bruch{x^2+5}{x+1}>3[/mm]
> (b) [mm]\bruch{1}{x}<4[/mm]
> (a) [mm]D=\IR\backslash{-1}[/mm]
>
> 1. angenommen x steht alleine unterm bruchstrich. dann sagt
> man doch für die fallunterscheidung x<0 oder x>0. jetzt ist
> hier ja noch die 1 mit unterm bruchstrich. was nun?
> schreibt man nun: fall 1: x<0 [mm]\wedge[/mm] x+1<0 [mm]\gdw[/mm] x<-1?
> daraus würde ja dann x<-1. aber wenn x=-0,5 wäre und die
> Multiplikation würde durchgeführt werden müsste ja das
> relationszeichen gedreht werden und das widerspricht sich
> doch dann. oder nicht? *irgendwie verwirrt kuckt*.
Nein, widerspricht sich nicht. Wenn x=-0,5, dann multipliziert man ja mit 1-0,5=0,5 das ist positiv, und das relationszeichen bleibt.
du hast also recht, die fallunterscheidung ist a
a) x+1>0 d.h. x>-1 Relationszeichen bleibt bei Multiplikation, und
b) x+1<0 x<-1, das Zeichen dreht sich bei Multiplikation um.
> 2. habe natürlich ein wenig weitergerechnet und kam dann
> zum punkt wo folgendes geschrieben stand: [mm]x^2-3x+2<0[/mm]. das
> ist die normalform der pq-formel und wenn ich das ausrechne
> kommen zwei ergebnisse raus: [mm]x_1={2}; x_2={1}.[/mm] wie verträgt
> sich das dann mit einer ungleichung? bei anderen
> ungleichungen habe ich aber nur eine lösung für x und ich
> weiß, ist bspw. das x einer ungleichung für den Fall x<0
> [mm]x<\bruch{1}{4}[/mm] der intervall der lösungsmenge
wenn du die pq formel angewandt hast weisst du :
[mm]x^2-3x+2=(x-1)*(x-2)<0[/mm]
ein Produkt ist <0 wenn einer der Faktoren >0, der andere kleiner Null
also muss gelten x-1<0 UND x-2>0 d.h. x<1 und x>2 das geht nicht!
oder x-1>0 und x-2<0 d.h. x>1 UND x<2 d.h. x zwischen 1 und 2
im anderen fall:(x-1)*(x-2)>0 muessen beide Klammern positiv, oder beide negativ sein.
Du kannst dir auch einfach die funktion [mm] y=x^2-3x+2 [/mm] aufzeichnen, das ist ne parabel, die zwischen 1 und 2 im negativen verlaeuft, sonst im positiven!
das noch zusammenbringen mit x+1>0 und x+1<0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Fr 23.02.2007 | | Autor: | dicentra |
schon mal recht herzlichen dank an leduart
und mein ergebnis zu aufgabe (a).
[mm]\bruch{x^2+5}{x+1}>3[/mm]
[mm]D=\IR\backslash\{-1\}[/mm]
fall 1: (x+1<0) d.h. (x<-1) --> [mm]x^2-3x+2<0[/mm]
fall 2: (x+1>0) d.h. (x>-1) --> [mm]x^2-3x+2>0[/mm]
nach pq-formel: [mm]x_1={2}; x_2={1}.[/mm]
zum nächsten schritt hab ich nochmal ne frage: wir haben zwei lösungen durch die pq-formel bekommen: [mm](x^2-3x+2=(x-2) \wedge x^2-3x+2=(x-1))<0[/mm] da dazwischen UND steht, kann man auch ein MAL dazwischen schreiben? (ich fragte mich nämlich warum da ein MAL zwischen steht.) also weiter:
fall 1: [mm]x^2-3x+2=(x-2)(x-1)<0[/mm]
fall 2: [mm]x^2-3x+2=(x-2)(x-1)>0[/mm]
nun sollte ich mich fragen wann das produkt <0 und wann >0 ist. darausfolgte dann:
fall 1.1: [mm](x-2<0) \wedge (x-1>0) \gdw (x<2) \wedge (x>1)[/mm]
soweit so gut, doch muss das auch mit (x<-1) übereinstimmen, doch das tut es nicht, also hier keine lösung vorhanden, da (x>1) UND (x<-1) nicht geht!
fall 1.2: [mm](x-2>0) \wedge (x-1<0) \gdw (x>2) \wedge (x<1)[/mm]
und das ist hier schon ein widerspruch. also auch keine lösung.
fall 2.1: [mm](x-2>0) \wedge (x-1>0) \gdw (x>2) \wedge (x>1)[/mm]
wenn (x>2) dann auch (x>1), also muss (x>2) sein, das muss nun noch mit (x>-1) passen. und das tut es, also muss x für den vorliegenden fall die lösungsmenge [mm] \IL=(2;\infty) [/mm] sein.
fall 2.2: [mm](x-2<0) \wedge (x-1<0) \gdw (x<2) \wedge (x<1)[/mm]
hier muss (x<1) sein, dann ist auch (x<2). passt das mit (x>-1) zusammen? ja. die lösungsmenge wäre: [mm] \IL=\{(-1;1)\}.
[/mm]
daraus ergibt sich dann folgendes endlösungsmenge: [mm]\IL=\{(2;\infty)\cup(-1;1)\}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Fr 23.02.2007 | | Autor: | dicentra |
ja super, auch an dich ein dank schön Loddar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Sa 24.02.2007 | | Autor: | dicentra |
das relationszeichen dreht sich bei multiplikation und division ja um, (bei x<0). aus < wird > und umgekehrt, aber wenn was < ist, und ich das gegenteil bilde, muss es dann nicht eigentlich beim umdrehen >= sein?
meine lösung von oben war folgende:
> [mm]D=\IR\backslash\{0\}[/mm]
> fall1: x<0 [mm]x<\bruch{1}{4}[/mm]
> fall2: x>0 [mm]x>\bruch{1}{4}[/mm]
> [mm]\IL=(-\infty, 0)(\bruch{1}{4},\infty)[/mm]
nach meinem neuerlichen gedanken müsste sie doch so sein:
[mm]D=\IR\backslash\{0\}[/mm]
[mm]\mbox{fall1: x<0 } x[/mm]<=[mm]\bruch{1}{4}[/mm]
[mm]\mbox{fall2: x>0 }x>\bruch{1}{4}[/mm]
[mm]\IL=(-\infty, 0)(\bruch{1}{4},\infty)[/mm]
weiter würde ich dann sagen, dass beim tauschen der seiten aus einem <= ein >= wird.
gruß dicentra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dicentra!
Bei der Multiplikation und Division mit negativen Zahlen bzw. Werten dreht sich lediglich das Ungleichheitszeichen derart um, dass die "Richtung" des Ungleichheitszeichen vertauscht wird.
Aus einem strengen $>_$ wird damit kein weniger strenges [mm] $\ge$ [/mm] oder [mm] $\le$ [/mm] (bzw. umgekehrt).
Von daher ist die o.g. Lösung (also unsere Lösung von neulich) so völlig okay und richtig. Mache doch mal zum Spaß die Probe und setze den Wert $x \ = \ [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] ind die Ausgangsungleichung ein. Wird diese dadurch erfüllt oder nicht?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Sa 24.02.2007 | | Autor: | dicentra |
hi Loddar, setz ich [mm]\bruch{1}{4}[/mm] ein, dann kommt raus das 4<4 ist und das stimmt doch nicht. aber [mm]\bruch{1}{4}[/mm] haben wir ja auch nicht in die lösungsmenge aufgenommen. von daher darf [mm]\bruch{1}{4}[/mm] gar nicht in die ungleichung eingesetzt werden, aber was sagt mir das jetzt? ...laut den fällen müsste das <= ja bei fall 1 sein und daher würde [mm]\bruch{1}{4}[/mm] ja trotzdem nicht in die lösungsmenge aufgenommen werden. von da her würde ich imo sagen es müsste doch <= da stehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 So 25.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
In der urspruenglichen Aufgabe stand doch < und nicht [mm] \le
[/mm]
deshalb kommt auch jetzt kein [mm] \le [/mm] oder [mm] \ge [/mm] vor.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:33 So 25.02.2007 | | Autor: | dicentra |
*nerv* hallo nochmal,
1. wie ist das mit dem drehen des relationszeichen bei betragsgleichungen? ne moment mal, noch mal nachgedacht... andere frage: wenn ich die fallunterscheidungen auf stelle, schreibe ich dann immer nur bspw. (3x-6<0) oder (3x-6>0)? oder schreibe ich da irgendwo mal (<=) oder (>=)? also die frage ist hier nach den fallunterscheidungen. ich habe hier was gefunden, wo derjenige mit (<=) und (>=) die fallunterscheidungen aufstellt.
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/23074,0.html
fallunterscheidung ist doch fallunterscheidung, wenn das mit dem (<=)(>=) da so stimmt, gilt das dann auch für andere Fallunterscheidungen? also auch bei den ungleichungen?
2. bei betragsgleichungen dreht das relationszeichen sich auch, ja? oder? noch mal moment mal. ein betrag. könnte der einfach so die seite wechseln? dann würde die frage ja irrelevant sein. aber es ist ja nur der inhalt positiv also würde ich sagen ein betrag muss trotzdem nach dem motto 'auf beiden seiten du das gleiche tu' die seite wechseln. bei betragsgleichungen ist es ja sowieso irrelevant. weil '='ung. aber bei betragsungleichungen würde das zeichen sich drehen, wenn die betragsstriche aufgelöst worden wären, richtig?
gruß dicentra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:04 So 25.02.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> *nerv* hallo nochmal,
wen nervt es, dich vielleicht  uns nicht 
> 1. wie ist das mit dem drehen des relationszeichen bei
> betragsgleichungen? ne moment mal, noch mal nachgedacht...
> andere frage: wenn ich die fallunterscheidungen auf stelle,
> schreibe ich dann immer nur bspw. (3x-6<0) oder (3x-6>0)?
> oder schreibe ich da irgendwo mal (<=) oder (>=)? also die
> frage ist hier nach den fallunterscheidungen. ich habe hier
> was gefunden, wo derjenige mit (<=) und (>=) die
> fallunterscheidungen aufstellt.
>
> http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/23074,0.html
da habe ich jetzt nicht nachgeschaut, aber generell ist sowas ja aus der Aufgabe heraus zu sehen ob das Relativzeichen nur ein größer (kleiner) oder aber auch ein "ist gleich" mit beinhaltet.
> fallunterscheidung ist doch fallunterscheidung, wenn das
> mit dem (<=)(>=) da so stimmt, gilt das dann auch für
> andere Fallunterscheidungen? also auch bei den
> ungleichungen?
ja - eigentlich nur bei den Ungleichungen, denn eine logische Folgerung ist, mit:
x<y und y<x folgt x=y
> 2. bei betragsgleichungen dreht das relationszeichen sich
> auch, ja? oder? noch mal moment mal. ein betrag. könnte der
> einfach so die seite wechseln? dann würde die frage ja
> irrelevant sein. aber es ist ja nur der inhalt positiv also
> würde ich sagen ein betrag muss trotzdem nach dem motto
> 'auf beiden seiten du das gleiche tu' die seite wechseln.
> bei betragsgleichungen ist es ja sowieso irrelevant. weil
> '='ung. aber bei betragsungleichungen würde das zeichen
> sich drehen, wenn die betragsstriche aufgelöst worden
> wären, richtig?
ein Betrag ist immer positiv, das stimmt schon - allerdings betrifft das ja nicht die Variable zwischen den Betragstrichen.
reicht dir das erstmal so?
Liebe Grüße
Herby
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