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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:39 So 28.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK= \IR [/mm] oder [mm] \IK= \IC [/mm] und A [mm] \in M_{n \times n} (\IK)
[/mm]
Zeige , dass sich jede unitäre Matrix in der Form [mm] e^A [/mm] schreiben lässt, wobei [mm] A^{\*}= [/mm] -A. Ist A eindeutig? Was lässt sich im reellen Fall sagen? |
Hallo,
Sei B eine beliebige unitäre matrix.
Nun unitäre Matrizen sind normal und daher diagonalisierbar.
[mm] \exists [/mm] unitäre Matrix U sodass [mm] U^{-1} [/mm] B U Diagonalgestalt hat.
Ist [mm] A^{\*} [/mm] = -A so ist auch [mm] e^A [/mm] unitär bzw. orthogonal, dh [mm] (e^A)^{\*} [/mm] = [mm] (e^A)^{-1} [/mm] (Beweis in Vo)
Nun komme ich leider nicht weiter, hat wer einen Tipp für mich?
Würd mich freuen.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
die AUfgabe hat sich noch immer nicht geklärt aber ich hab noch weiter überlegt:
Sei U [mm] \in U_n [/mm] beliebig.
Unitäre Matrizen sind normal -> (Spektralsatz) [mm] \exists [/mm] O [mm] \in U_n [/mm] : B = [mm] O^{-1} [/mm] U O [mm] =O^{\*} [/mm] U O diagonalgestalt.
-> U = O B [mm] O^{-1}
[/mm]
Für die gesuchte Matrix kann analog argumentiert werden: [mm] \exists [/mm] T [mm] \in U_n [/mm] : -> A = TC [mm] T^{\*} [/mm] mit C diagonalgestalt
Alle Eigenwerte unitärer/orthogonaler matrizen haben Betrag 1. (VO)
Liegen also auf den Einheitskreis.
Kann man die Eigenwerte, die am Einheitskreis liegen nicht durch die Exponentialfunktion irgendwie darstellen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Di 30.10.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn U unitär ist, dann gibt es eine Matrix S mit [mm] S^{^\*}*U*S=diag(\lambda_1, [/mm] ... , [mm] \lambda_n) [/mm] wobei [mm] \lambda_k [/mm] die Eigenwerte von U sind mit [mm] \left| \lambda_k \right|=1
[/mm]
Man kann [mm] \lambda_k [/mm] als [mm] \lambda_k=e^{i\phi_k} [/mm] schreiben, i=Imaginäre Einheit
Setze [mm] M=diag(\phi_1 [/mm] , ... , [mm] \phi_n) [/mm] und [mm] H=S*M*S^{\*}, [/mm] dann gilt
[mm] e^{iH}=S*diag(\lambda_1 [/mm] , ... , [mm] \lambda_n )*S^{\*}=U
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Lu- |
Dankeschön!!
SChönes Wochenende
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