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Hallo!
Ich hänge bei folgendem Beweis fest, ich weiß nicht, wie ich an den Beweis herangehen soll. Die Begriffe Metrik, Skalarprodukt und Norm sind mir schon geläufig, ich weiß auch die Definition eines unitären Raumes, aber das wars dann auch schon wieder.
Sei [mm] $(V,\sigma)$ [/mm] ein unitärer Raum mit der von [mm] $\sigma$ [/mm] induzierten Norm $ [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel$. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] $\sigma$ [/mm] durch $ [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel$ [/mm] eindeutig bestimmt ist.
Hiweis: Zeigen Sie für alle $x,y [mm] \in [/mm] V: [mm] 4\sigma(x,y)=(\parallel [/mm] x+y [mm] \parallel)^{2}-(\parallel [/mm] x-y [mm] \parallel)^{2}+i.(\parallel [/mm] x+i.y [mm] \parallel)^{2}-i.(\parallel [/mm] x-i.y [mm] \parallel)^{2}.$
[/mm]
Und weiters: ist auch in Euklidischen Räumen das Skalarprodukt durch die indizierte Norm eindeutig bestimmt?
Würde mich freuen, wenn mir jemand beim Lösen des Problems helfen könnte.
Mfg,
Christian.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Christian!
Es gilt:
[mm] $\Vert [/mm] x+ y [mm] \Vert^2 [/mm] - [mm] \Vert [/mm] x-y [mm] \Vert^2 [/mm] + i [mm] \cdot \Vert [/mm] x + iy [mm] \Vert^2 [/mm] - i [mm] \Vert [/mm] x-iy [mm] \Vert^2$
[/mm]
$= [mm] \sigma(x+y,x+y) [/mm] - [mm] \sigma(x-y,x-y) [/mm] + i [mm] \cdot \sigma(x+iy,x+iy) [/mm] - i [mm] \cdot \sigma(x-iy,x-iy)$
[/mm]
$= [mm] \sigma(x,x) [/mm] + [mm] 2Re\,\sigma(x,y) [/mm] + [mm] \sigma(y,y) [/mm] - [mm] \sigma(x,x) [/mm] + [mm] 2Re\,\sigma(x,y) [/mm] - [mm] \sigma(y,y) [/mm] + [mm] i(\sigma(x,x) [/mm] + [mm] 2Im\, \sigma(x,y) [/mm] + [mm] \sigma(y,y)) [/mm] - i [mm] (\sigma(x,x) [/mm] - [mm] 2Im\,\sigma(x,y) [/mm] + [mm] \sigma(y,y)$
[/mm]
$= 4 [mm] Re\,\sigma(x,y) [/mm] + 4i [mm] Im\,\sigma(x,y)$
[/mm]
[mm] $=4\sigma(x,y)$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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