Univ.Eig.endl. Funktionsmengen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Sa 06.12.2014 | | Autor: | phifre |
| Aufgabe 1 | Zeigen Sie, dass der K-Vektorraum [mm] $Abb_{endl}(X,K)$ [/mm] folgende universelle Eigenschaften besitzt:
Gegeben eine Abbildung [mm] $\psi [/mm] : X [mm] \to [/mm] V$, so gibt es genau eine K-lineare Abbildung
[mm] $$\tilde{\psi}: Abb_{endl}(X,K) \to [/mm] V$$
welche [mm] $\tilde{\psi}(\delta_{x}) [/mm] = [mm] \psi(x)$ [/mm] erfüllt. |
| Aufgabe 2 | | Gilt die Aussage in 1. auch, wenn man [mm] $Abb_{endl}(X,K)$ [/mm] durch $Abb(X,K)$ ersetzt? |
Hallo,
ich komme bei der Aufgabe leider überhaupt nicht weiter, mir fehlt einfach ein Ansatzpunkt.
Meine Frage wäre zum Beispiel, was genau wählt das Delta in [mm] $\tilde{\psi}(\delta_{x})$ [/mm] aus der Menge der Abbildungen aus? Und an welcher Stelle ist dieses Kronecker Delta 1?
Ich brauche wahrscheinlich nur ein Ansatz, weil ich leider nicht verstehe, was die Aufgabe von mir möchte..
Vielen Dank!
Phifre
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
Das Delta ist die Abbildung $X\xrightarrow {\ \ \delta_x\ \ } K $, $t\longmapsto\begin {cases}1&t=x\\0&t\not=x\end {cases}$.
Kennst du schon den Begriff einer Basis? Es genügt zu zeigen, dass $(\delta_x)_{x\in X} $ eine Basis von $\operatorname {Abb_{endl}} $ ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 So 07.12.2014 | | Autor: | phifre |
Hallo,
erstmal vielen Dank für deine Antwort!
Den Begriff der Basis kenne ich schon, allerdings noch nicht wirklich im Zusammenhang mit Funktionsräumen.
Ich kann mir leider nicht vorstellen, was das Delta bzw das $x$, dass als einziges nicht zur Null wird auf der Menge der Funktionen macht.
Wie zeigt man denn in diesem Zusammenhang die Eigenschaften einer Basis, also dass sie ein Erzeugendensystem und linear unabhängig ist? Es gibt ja gar keine "Objekte" die diese Eigenschaften erfüllen könnten..
Vielen Dank nochmal!
Viele Grüße
Phifre
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Naja, du kennst den Begriff der Basis im Zusammenhang mit Vektorräumen und da [mm] $\operatorname{Abb_{endl}}(X,K)$ [/mm] (man schreibt hierfür auch [mm] $K^{\oplus X}$, [/mm] und das werde ich im Folgenden tun, weil es kürzer zu tippen ist) ein Vektorraum ist, kennst du Basen auch in diesem Zusammenhang. Ist dir denn klar, wieso dies ein Vektorraum ist, und wie er funktioniert?
Wenn wir [mm] $\delta_x$ [/mm] durch [mm] $\delta_x(t)=1\iff [/mm] t=x$ und sonst $0$ definieren, ist $x$ ja die einzige Stelle, an der [mm] $\delta_x$ [/mm] nicht Null ist, insbesondere gibt es nur endlich viele Werte, die nicht auf Null geschickt werden, also gilt [mm] $\delta_x\in K^{\oplus X}$. [/mm] Ist dir das klar?
Sei [mm] $X\xrightarrow{\ \ f\ \ }K\in K^{\oplus X}$. [/mm] Wenn wir behaupten, dass die [mm] $\delta_x$ [/mm] eine Basis bilden, heißt das, dass wir $f$ auf eindeutige Weise als [mm] $f=\sum_xa_x\delta_x$ [/mm] schreiben können, es muss dann für jedes [mm] $t\in [/mm] X$ die Gleichung [mm] $f(t)=\sum_xa_x\delta_x(t)$ [/mm] gelten. Alle Summanden hierbei sind jedoch Null, wenn [mm] $x\not=t$ [/mm] ist, also muss [mm] $f(t)=\sum_xa_x\delta_x(t)=a_t\delta_t(t)=a_t*1=a_t$ [/mm] sein. Diese Rechnung zeigt, dass [mm] $f=\sum_xf(x)\delta_x$ [/mm] gilt, und dass diese Darstellung eindeutig ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 07.12.2014 | | Autor: | phifre |
Ein Vektorraum ist es, weil doch die Eigenschaften erfüllt sind, richtig? Das heißt ich kann zwei Funktionen addieren oder eine mit einem Skalar multiplizieren, ohne den Raum zu verlassen:
[mm] $$(\lambda [/mm] f+g)(x) = [mm] \lambda [/mm] f(x)+g(x)$$
Wie das Kronecker Delta an sich funktioniert ist mir klar, ja.
Und die Eindeutigkeit hab ich auch verstanden. Wir sollten sogar bereits eine Aufgabe vorher beweisen, dass die Familie [mm] $(\delta_{x})_{x \in X}$ [/mm] eine Basis von [mm] $Abb_{endl}(X,K)$ [/mm] ist.
Aber inwiefern kann ich damit die Gleichheit von [mm] $\tilde{\psi}(\delta_{x})$ [/mm] und [mm] $\psi(x)$ [/mm] zeigen?
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Hallo,
das ist ein allgemeiner Fakt über Basen:
Wir können also jedes Element von [mm] $K^{\oplus X}$ [/mm] auf eindeutige Weise als [mm] $\sum_xa_x\delta_x$ [/mm] schreiben. Zeige, dass [mm] $\tilde{\psi}$ [/mm] mit [mm] $\sum_xa_x\delta_x\longmapsto\sum_xa_x\psi(x)$ [/mm] eine lineare Abbildung ist. Zeige, dass sie die Bedingung [mm] $\tilde{\psi}(\delta_{x}) [/mm] = [mm] \psi(x)$ [/mm] erfüllt, und dass es die einzige solche ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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