Unklarheit: Nullmenge sg. Mass < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen
Ich verstehe folgendes nicht ganz:
Sei (X,A) ein Messraum und [mm] \mu [/mm] ein signiertes Mass.
Nach Hahn-Zerlegungssatz gibt es Mengen $A_+ [mm] \in [/mm] A$ pos. bezüglich [mm] \mu [/mm] und $A_- [mm] \in [/mm] A$ neg. bezüglich [mm] \mu [/mm] mit $A_+ [mm] \cup [/mm] A_- = X$ und $A_+ [mm] \cap [/mm] A_- = [mm] \emptyset$
[/mm]
$A_+$ pos. bez. [mm] \mu [/mm] heisst [mm] \mu(A_+ \cap M)\ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] M [mm] \in [/mm] A
$A_-$ neg. bez. [mm] \mu [/mm] heisst [mm] \mu(A_- \cap M)\le [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] M [mm] \in [/mm] A
Bedeutet dann aber nicht $A_+ [mm] \cap [/mm] A_- = [mm] \emptyset$ [/mm] , dass als einzige Nullmenge für ein signiertes Mass nur die leere Menge in Frage kommt?
Wenn ja: Woraus folgt aus der Definition von signierten Massen, dass die leere Menge als EINZIGE Menge Nullmenge sein darf?
Wenn nein: Wo liegt mein Denkfehler?
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Do 29.11.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo zusammen
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> Ich verstehe folgendes nicht ganz:
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> Sei (X,A) ein Messraum und [mm]\mu[/mm] ein signiertes Mass.
>
> Nach Hahn-Zerlegungssatz gibt es Mengen [mm]A_+ \in A[/mm] pos.
> bezüglich [mm]\mu[/mm] und [mm]A_- \in A[/mm] neg. bezüglich [mm]\mu[/mm] mit [mm]A_+ \cup A_- = X[/mm]
> und [mm]A_+ \cap A_- = \emptyset[/mm]
>
> [mm]A_+[/mm] pos. bez. [mm]\mu[/mm] heisst [mm]\mu(A_+ \cap M)\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] M [mm]\in[/mm]
> A
> [mm]A_-[/mm] neg. bez. [mm]\mu[/mm] heisst [mm]\mu(A_- \cap M)\le[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] M
> [mm]\in[/mm] A
>
> Bedeutet dann aber nicht [mm]A_+ \cap A_- = \emptyset[/mm] , dass
> als einzige Nullmenge für ein signiertes Mass nur die
> leere Menge in Frage kommt?
Nein, aber eine Nullmenge könnte, entweder eine Teilmenge von [mm]A_+ [/mm]
oder eine Teilmenge von [mm] A_- [/mm] sein.
Die Zerlegung ist eindeutig modulo Nullmengen,
gibt es also eine zweite Zerlegung
[mm]A^{'}_{+} , A^{'}_{-} \in A [/mm] mit diesen Eigenschaften,
so haben die symmetrischen Differenzen das Maß Null:
[mm] $\mu(A_+ \triangle A_{+}^{'}) [/mm] = [mm] \mu(A_- \triangle [/mm] A_-{'}) = 0$
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> Wenn ja: Woraus folgt aus der Definition von signierten
> Massen, dass die leere Menge als EINZIGE Menge Nullmenge
> sein darf?
>
> Wenn nein: Wo liegt mein Denkfehler?
Vielleicht weil Du das größergleich und das kleinergleich in
[mm]\mu(A_+ \cap M)\ge[/mm] 0 und [mm]\mu(A_- \cap M)\le[/mm] 0
nicht berücksichtigt hast. Das Maß der Schnitte kann eben auch Null sein.
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>
> Grüsse
>
>
Gruß
meili
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Danke.
Also schau, was ich nicht verstehe:
Sagen wir, [mm] \mu [/mm] ist also ein signiertes Mass und E eine Menge die Nullmenge von [mm] \mu [/mm] ist mit E [mm] \neq \emptyset.
[/mm]
Dann ist aber $ E [mm] \in [/mm] A_+$ sowie $ E [mm] \in [/mm] A_-$ weil [mm] \mu(E)=0 [/mm] und 0 [mm] \ge [/mm] 0 sowie 0 [mm] \le [/mm] 0 gilt (Was auch für die Mengen E [mm] \cap [/mm] M mit M [mm] \in [/mm] A beliebig gilt).
Also ist $ A_+ [mm] \cap [/mm] A_- =E [mm] \neq \emptyset$ [/mm] ??? Widerspruch zur Hahn-Zerlegung die ja ganz klar sagt, dass dieser Schnitt die leere Menge sein muss... ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Do 29.11.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Danke.
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> Also schau, was ich nicht verstehe:
>
> Sagen wir, [mm]\mu[/mm] ist also ein signiertes Mass und E eine
> Menge die Nullmenge von [mm]\mu[/mm] ist mit E [mm]\neq \emptyset.[/mm]
>
> Dann ist aber [mm]E \in A_+[/mm] sowie [mm]E \in A_-[/mm] weil [mm]\mu(E)=0[/mm] und
Nein, E ist nur entweder eine Teilmenge von $A_+$ oder eine Teilmenge
von $A_-$, aber nicht von beiden gleichzeitig, denn $A_+ [mm] \cap [/mm] A_- = [mm] \emptyset$.
[/mm]
(Eigentlich kann es noch komplizierter sein: ist F und G eine disjunkte
Zerlegung von E mit F [mm] $\cap$ [/mm] G = [mm] $\emptyset$ [/mm] und F [mm] $\cup$ [/mm] G = E, so
kann eine der Mengen eine Teilmenge von $A_+$ und die andere eine Teilmenge von $A_-$ sein.)
> 0 [mm]\ge[/mm] 0 sowie 0 [mm]\le[/mm] 0 gilt (Was auch für die Mengen E
Aus [mm]\mu (E \cap A_+) = 0[/mm] folgt nicht $E [mm] \subset [/mm] A_+$.
Ebenso wenig folgt $E [mm] \subset [/mm] A_-$ aus [mm]\mu (E \cap A_-) = 0[/mm].
Wenn eine Menge das Maß 0 hat, so ist es zwar eine Nullmenge,
muss aber nicht die leere Menge sein.
> [mm]\cap[/mm] M mit M [mm]\in[/mm] A beliebig gilt).
Zwar ist [mm] \mu (E \cap M) = 0 [/mm] mit [mm] M \in A [/mm],
denn entweder ist $E [mm] \cap [/mm] M$ die leere Menge oder eine Nullmenge (als
Teilmenge von E), aber nicht alle Schnitte sind leer.
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> Also ist [mm]A_+ \cap A_- =E \neq \emptyset[/mm] ??? Widerspruch
> zur Hahn-Zerlegung die ja ganz klar sagt, dass dieser
> Schnitt die leere Menge sein muss... ??
>
Gruß
meili
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