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Habe folgende Probleme beim Beweisen von Teilmengen:
zu zeigen ist folgendes: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] N : x [mm] \in [/mm] M [mm] \cup [/mm] N
Als wahr ist vorausgesetzt: M [mm] \subset [/mm] N .
So, jetzt beweise ich mal wie ich mir das gedacht habe und bitte um Korrekturen :)
M [mm] \subset [/mm] N gilt und somit heißt das [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M : x [mm] \in [/mm] N
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \vee x\in [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \cup [/mm] N
Ist mein Gedanke richtig: ich sage, dass wenn x Element von M ist, dass dann auch x Element von N ist, aber dass in jedem Falle x Element von M oder N ist. So gelange ich auf x [mm] \in [/mm] M [mm] \cup [/mm] N
Des weiteren:
[mm] M\N= \emptyset [/mm] ist als wahr gegeben, zu zeigen ist M [mm] \subset [/mm] N.
Also heißt das: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M : x [mm] \in [/mm] N
Wir beweisen jetzt indirekt, d.h.
Sei x [mm] \in [/mm] M, so nehmen wir an x [mm] \not\in [/mm] N
[mm] \rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] N
Ist das nicht falsch gefolgert? Denn [mm] \wedge [/mm] kann ich doch nur verwenden, wenn ich [mm] \cup [/mm] habe, aber nicht bei [mm] \subset...
[/mm]
Diese ganze Mengenlehre ist mir reichlich fremd. :(
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Hallo Mathe_Alex,
> zu zeigen ist folgendes: [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] N : x [mm]\in[/mm] M [mm]\cup[/mm] N
> Als wahr ist vorausgesetzt: M [mm]\subset[/mm] N .
> So, jetzt beweise ich mal wie ich mir das gedacht habe und
> bitte um Korrekturen :)
> M [mm]\subset[/mm] N gilt und somit heißt das [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M : x
> [mm]\in[/mm] N
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\vee x\in[/mm] N [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\cup[/mm]
> N
>
> Ist mein Gedanke richtig: ich sage, dass wenn x Element von
> M ist, dass dann auch x Element von N ist, aber dass in
> jedem Falle x Element von M oder N ist. So gelange ich auf
> x [mm]\in[/mm] M [mm]\cup[/mm] N
Der Gedankengang ist schon richtig.
Ein kleiner Zwischenschritt fehlt nach meiner Meinung:
[mm]
\begin{gathered}
x\; \in \;N: \hfill \\
i)\;x\; \in \;M\; \Rightarrow x\; \in \;M \hfill \\
ii)\;x\; \notin \;M\; \Rightarrow \;x\; \in \;N \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
insgesamt: [mm]x\; \in \;N\; \Rightarrow \;x\; \in \;M\; \vee \;x\; \in \;N[/mm]
Dies ist gleichbedeutend mit:
[mm]x\; \in \;N\; \Rightarrow \;x\; \in \;M\; \cup \;N[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:50 Di 20.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> zu zeigen ist folgendes: [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] N : x [mm]\in[/mm] M [mm]\cup[/mm] N
> Als wahr ist vorausgesetzt: M [mm]\subset[/mm] N .
> So, jetzt beweise ich mal wie ich mir das gedacht habe und
> bitte um Korrekturen :)
> M [mm]\subset[/mm] N gilt und somit heißt das [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M : x
> [mm]\in[/mm] N
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\vee x\in[/mm] N [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\cup[/mm]
> N
>
> Ist mein Gedanke richtig: ich sage, dass wenn x Element von
> M ist, dass dann auch x Element von N ist, aber dass in
> jedem Falle x Element von M oder N ist. So gelange ich auf
> x [mm]\in[/mm] M [mm]\cup[/mm] N
Dies ist vollkommen richtig. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Die von Mathepower angesprochene Fallunterscheidung ist nicht nötig.
Des weiteren:
> [mm]M\N= \emptyset[/mm] ist als wahr gegeben, zu zeigen ist M
> [mm]\subset[/mm] N.
> Also heißt das: [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M : x [mm]\in[/mm] N
> Wir beweisen jetzt indirekt, d.h.
> Sei x [mm]\in[/mm] M, so nehmen wir an x [mm]\not\in[/mm] N
>
> [mm]\rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] N
>
> Ist das nicht falsch gefolgert? Denn [mm]\wedge[/mm] kann ich doch
> nur verwenden, wenn ich [mm]\cup[/mm] habe, aber nicht bei
> [mm]\subset...[/mm]
Das ist richtig, aber die Aussage
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \, [/mm] : [mm] \, [/mm] x [mm] \in [/mm] N$,
die zu [mm] $M\subseteq [/mm] N$ führt, ist im Falle $M= [mm] \emptyset$ [/mm] immer wahr (nach dem logischen Prinzip ![[]](/images/popup.gif) Ex falso quodlibet).
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Di 20.09.2005 | | Autor: | Mathe_Alex |
Bei der zweiten Aufgabe ist mir ein Tippfehler unterlaufen:
M ist natürlich nicht die leere Menge. Es muss so lauten:
M \ [mm] N=\emptyset [/mm] ist als wahr vorgegeben. M [mm] \subset [/mm] N ist zu zeigen.
M [mm] \subset [/mm] N, d.h. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M : x [mm] \in [/mm] N
Jetzt gibt es eine Lösung durch indirekten Beweis. Wir nehmen an x [mm] \in [/mm] M und x [mm] \not\in [/mm] N
Hier jetzt meine Frage nochmal: Das "und" stört mich an dieser Stelle:
Dass [mm] \subset [/mm] bedeutet [mm] \forall [/mm] x ... ist mir klar. Aber wie kann man jetzt bei dem indirekten Beweis das "und" begründen.
Wir folgern danach nämlich weiter
x [mm] \in [/mm] M. Annahme [mm] x\not\in [/mm] N
=> x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] N. Weil [mm] N\M=\emptyset [/mm] folgt:
x [mm] \in \emptyset [/mm] und somit ist der Widerspruch gefunden.
Edit: ich hab's verstanden. Das "und" darf dorthin. das mit dem Widerspruch ist dann auch einleuchtend.
Kann ich den Beweis auch direkt führen?
Edit: die Frage bleibt aber :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Di 20.09.2005 | | Autor: | mathedman |
> Bei der zweiten Aufgabe ist mir ein Tippfehler unterlaufen:
> M ist natürlich nicht die leere Menge. Es muss so lauten:
> M \ [mm]N=\emptyset[/mm] ist als wahr vorgegeben. M [mm]\subset[/mm] N ist
> zu zeigen.
> M [mm]\subset[/mm] N, d.h. [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M : x [mm]\in[/mm] N
> Kann ich den Beweis auch direkt führen?
Ich geh mal davon aus, dass [mm]M,N \subset X[/mm].
Notation: [mm]N^c = X\setminus A[/mm], damit ist [mm]M\setminus N = M \cap N^c[/mm].
Aus [mm]M\cap N^c = \emptyset[/mm] folgt
[mm](M \cap N^c) \cup N = N[/mm], also
[mm](M \cup N) \cap (N^c \cup N) = N[/mm], d.h.
[mm] (M\cup N) \cap X = M \cup N = N[/mm].
Wegen [mm]M \subset M \cup N = N[/mm] folgt die Behauptung.
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