Unkorreliertheit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Mo 08.10.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | X= [mm] (X_1,X_2) [/mm] sei uniform verteilt auf {(−1, 0), (1, 0), (0,−1), (0, 1)}. Zeigen Sie:
(i) [mm] X_1, X_2 [/mm] sind unkorreliert, aber nicht unabhängig.
(ii) [mm] X_1 [/mm] − [mm] X_2,X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] sind unabhängig. |
Hallo Leute,
für Unkorreliertheit muss ich ja zeigen, dass die Kovarianz gleich Null ist:
[mm] Cov(X_1,X_2)=E[X_1,X_2]-E[X_1]E[X_2]
[/mm]
Wie ich [mm] E[X_1]E[X_2] [/mm] berechne ist mir klar und auch, dass dies 0 ist, aber wie berechnet man [mm] E[X_1,X_2]?
[/mm]
Ansich ist das doch:
[mm] E[X_1,X_2]=E[(-1,0)]+E[(1,0)]+E[(0,-1)]+E[(0,1)]
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit für jede Paarung ist doch ein Viertel oder? Nur womit muss ich das noch Multiplizieren?
Ich weiß, dass da 0 rauskommen muss, nur nicht warum.
Danke schonmal!
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Hi AntonK,
> X= [mm](X_1,X_2)[/mm] sei uniform verteilt auf {(−1, 0), (1, 0),
> (0,−1), (0, 1)}. Zeigen Sie:
> (i) [mm]X_1, X_2[/mm] sind unkorreliert, aber nicht unabhängig.
> (ii) [mm]X_1[/mm] − [mm]X_2,X_1[/mm] + [mm]X_2[/mm] sind unabhängig.
>
> Hallo Leute,
>
> für Unkorreliertheit muss ich ja zeigen, dass die
> Kovarianz gleich Null ist:
>
> [mm]Cov(X_1,X_2)=E[X_1,X_2]-E[X_1]E[X_2][/mm]
Was soll die Schreibweise mit dem Komma?
Es ist der Erwartungswert [mm] $E[X_1\cdot X_2]$, [/mm] also dem Produkt der beiden Zufallsvariablen zu berechnen.
Überlege dir, welche Werte dieses Produkt überhaupt annehmen kann!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Mo 08.10.2012 | | Autor: | AntonK |
Ich bin ja bescheuert, ok.
[mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] können jeweils -1,0,1 sein.
Das heißt, da jedes Tupel eine 0 enthält, kommt dort immer 0 heraus, alles klar, danke!
Noch eine Sache und zwar bei der (ii), ist die Lösung so korrekt?
[mm] X_1-X_2 [/mm] ist nur ein 2 Fällen gleich 1, einmal bei (1,0) und bei (0,-1).
[mm] X_1+X_2 [/mm] ist nur ein 2 Fällen gleich 1, einmal bei (1,0) und bei (0,1).
Deswegen gilt:
[mm] P(X_1-X_2=1)*P(X_1+X_2=1)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}
[/mm]
Nun muss ich ja zeigen, damit Unabhängigkeit, dass gilt:
[mm] P((X_1-X_2=1)*(X_1+X_2=1))=P(X_1-X_2=1)*P(X_1+X_2=1)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}
[/mm]
Damit [mm] P((X_1-X_2=1)*(X_1+X_2=1)) [/mm] gilt, müssen beide Produkte gleich 1 sein und die Wahrscheinlichkeit dafür ist jeweils einhalb, also gilt:
[mm] P((X_1-X_2=1)*(X_1+X_2=1))=\bruch{1}{4}=P(X_1-X_2=1)*P(X_1+X_2=1)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}
[/mm]
Korrekt?
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> Ich bin ja bescheuert, ok.
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> [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] können jeweils -1,0,1 sein.
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> Das heißt, da jedes Tupel eine 0 enthält, kommt dort
> immer 0 heraus, alles klar, danke!
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> Noch eine Sache und zwar bei der (ii), ist die Lösung so
> korrekt?
>
> [mm]X_1-X_2[/mm] ist nur ein 2 Fällen gleich 1, einmal bei (1,0)
> und bei (0,-1).
> [mm]X_1+X_2[/mm] ist nur ein 2 Fällen gleich 1, einmal bei (1,0)
> und bei (0,1).
>
> Deswegen gilt:
>
> [mm]P(X_1-X_2=1)*P(X_1+X_2=1)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Nun muss ich ja zeigen, damit Unabhängigkeit, dass gilt:
>
> [mm]P((X_1-X_2=1)\red{,}(X_1+X_2=1))=P(X_1-X_2=1)*P(X_1+X_2=1)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}[/mm]
Schreibe hier besser das Komma für das gemeinsame Auftreten beider Ereignisse.
Für Unabhängigkeit reicht es übrigens nicht aus, nur das Ereignis [mm] X_1-X_2=X_1+X_2=1 [/mm] zu betrachten.
>
> Damit [mm]P((X_1-X_2=1)*(X_1+X_2=1))[/mm] gilt, müssen beide
> Produkte gleich 1 sein und die Wahrscheinlichkeit dafür
> ist jeweils einhalb, also gilt:
>
> [mm]P((X_1-X_2=1)\red{,}(X_1+X_2=1))=\bruch{1}{4}=P(X_1-X_2=1)*P(X_1+X_2=1)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}[/mm]
Außer das Du das Ergebnis, was Du zeigen willst, aufgeschrieben hast, erkenne ich hier keine Begründung.
Warum genau ist [mm] P((X_1-X_2=1),(X_1+X_2=1))=\frac{1}{4} [/mm] ?
Hier ist der einfachste Weg von allen möglichen Realisationen von [mm] (X_1,X_2) [/mm] die Werte der ZVen [mm] X_1-X_2 [/mm] und [mm] X_1+X_2 [/mm] zu untersuchen.
LG
>
> Korrekt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mo 08.10.2012 | | Autor: | AntonK |
[mm] $P((X_1-X_2=1)\red{,}(X_1+X_2=1))=\bruch{1}{4}$
[/mm]
Ok, da gehört also ein Komma hin, verstehe.
Als Begründung würde ich sagen, dass ich ja will, dass beides Gleichzeitig auftritt, sprich beides soll gleich eins sein.
Es gibt ingesamt 16 Möglichkeiten an Zusammensetzung. Es gibt 4 Möglickeiten für [mm] (X_1-X_2=1) [/mm] und 4 für [mm] (X_1+X_2=1), [/mm] sprich [mm] 4^2=16 [/mm] Möglichkeiten die einzelnen Tupel miteinander zu kombinieren. Aber nur 4 Möglichkeiten gibt es, damit beides gleich 1 ist, also habe ich 4 geteilt durch 16 Möglichkeiten, sprich die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] so würde ich das begründen.
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> [mm]P((X_1-X_2=1)\red{,}(X_1+X_2=1))=\bruch{1}{4}[/mm]
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> Ok, da gehört also ein Komma hin, verstehe.
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> Als Begründung würde ich sagen, dass ich ja will, dass
> beides Gleichzeitig auftritt, sprich beides soll gleich
> eins sein.
>
> Es gibt ingesamt 16 Möglichkeiten an Zusammensetzung. Es
> gibt 4 Möglickeiten für [mm](X_1-X_2=1)[/mm] und 4 für
> [mm](X_1+X_2=1),[/mm] sprich [mm]4^2=16[/mm] Möglichkeiten die einzelnen
> Tupel miteinander zu kombinieren. Aber nur 4 Möglichkeiten
> gibt es, damit beides gleich 1 ist, also habe ich 4 geteilt
> durch 16 Möglichkeiten, sprich die Wahrscheinlichkeit
> [mm]\bruch{1}{4},[/mm] so würde ich das begründen.
Die Begründung stimmt leider nicht:
Erinnere dich daran, dass {(−1, 0), (1, 0), (0,−1), (0, 1)} die Werte von [mm] (X_1,X_2) [/mm] sind. Bei wie vielen von diesen 4 Wertepaaren nehmen [mm] X_1+X_2 [/mm] und [mm] X_1-X_2 [/mm] beide den Wert 1 an?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mo 08.10.2012 | | Autor: | AntonK |
Nur bei zweien, also bei:
(1,0) und (0,-1)
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> Nur bei zweien, also bei:
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> (1,0) und (0,-1)
0+(-1)= ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Mo 08.10.2012 | | Autor: | AntonK |
Ah, ich bin deppert, habs verstanden, danke!
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