Unstetigkeit von Ableitungen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Do 14.09.2006 | | Autor: | retep |
Ich habe diese Frage (auf Englisch) auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_an_analyst;task=show_msg;msg=1417
http://at.yorku.ca/cgi-bin/bbqa?forum=ask_an_analyst;task=show_msg;msg=1419
Hallo,
ich möchte schon seit längerer Zeit zu mehr Klarheit darüber gelangen,
was man über Ableitungsfunktionen aussagen kann, die unstetig sind. Allerdings verfüge ich bislang als Zweitsemester nur über die grundlegenden Begriffe der reellen Analysis. Es geht mir erstmal nur um nichts weiter als differenzierbare Funktionen von einem offenen Intervall (a,b) nach R. Ich kenne den Zwischenwertsatz für Ableitungen, weiß also, dass unstetige Ableitungen zumindest nur auf solche Weise unstetig sein können, dass sie diesen nicht verletzen. In einem Gespräch hat jemand behauptet, es gäbe Beispiele für Funktionen,
die auf ganz (a,b) diffbar, deren Ableitungsfunktion aber in KEINEM Punkt von (a,b) stetig wäre, und trotzdem den Zwischenwertsatz nicht verletze. Ich habe erfolglos (selbst und in Büchern) nach so etwas gesucht, dann danach im oben angegebenen Forum gefragt, worauf jemand geantwortet hat, es gebe so etwas nicht. Außerdem wurde mir mitgeteilt, ALLE unstetigen Ableitungen lägen in der "Baire-Klasse 1". Als Zweitsemester verfüge ich bislang nur über die grundlegenden Begriffe der reellen Analysis, und auch wenn ich in den letzten Tagen etwas recherchiert habe, hat mir dieser Hinweis zu kaum neuen Einsichten verholfen.
Auch kenne ich bislang überhaupt wenig mehr (nur ein paar ziemlich triviale Abänderungen meinerseits des Standardbeispiels [mm] x^2*sin(1/x) [/mm] ) als das Standardbeispiel [mm] x^2*sin(1/x) [/mm] für unstetige Ableitungen.
Und gibt es differenzierbare Funktionen, deren Ableitung zwar nicht an allen, aber doch an unendlich vielen (abzählbar,überabzählbar?) unstetig ist?
Wer weiß viel über unstetige Ableitungen, und möchte mir dazu etwas schreiben?
Vielen Dank.
retep
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Do 14.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Retep
Nimm dein Beispiel mit x*sin(1/x), verschiebe es um r, also (x-r)*sin1/(x-r)
und multiplizier die beiden: Folge 2. Stelle nicht stetige Ableitung! neues r wählen, z. Bsp r=1/n, alle aufmultiplizieren, ergebnis, beliebig viele solche stellen schon zwischen 0 und 1!
2.Denk dir eine beliebige Treppenfunktion unter [mm] 1/x^{2} [/mm] integriere sie, die Integralfunktion ist überall differenzierbar, die Zahl der Unstetigkeitsstellen ist beliebig groß.
Das Beispiel mit an jeder Stelle unstetig, hab ich grad nicht im Kopf, aber ich glaub mich zu erinnern, dass es das gibt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:22 Do 14.09.2006 | | Autor: | retep |
Hallo leduard,
ersmal vielen Dank für Deine Antwort, und verzeih', dass ich testen wollte, was dieser "fehlerhaft" Knopf macht. Damit wollte ich nicht etwa sagen, dass ich die Antwort für falsch halte.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:31 Do 14.09.2006 | | Autor: | retep |
Ich habe aber ein paar Probleme mit der Antwort.
Zunächst ist x*sin(1/x) nicht diffbar im Nullpunkt, aber das war sicher nur ein
Tippfehler.
Dann ist es so, dass die Integration in unserer Vorlesung nicht sehr ausführlich behandelt wurde, soll insbesondere heißen, dass wir nur das Riemann-Integral eingeführt haben, also kurz gesagt, Zerlegung des kompakten Integrationsintervalls, Riemann-Summen, Konvergenz der Riemann-Summen unabhängig von der Zerlegung. Integrationstheoretisch war das bis jetzt fast alles. Nie zum Beispiel ist der Begriff Regelfunktion gefallen, und ich bin noch nie dazu gekommen, mir mal eine geschlossene Einführung dazu (etwa das relevante Kapitel im Königsberger 1) anzusehen.
In einer Hausaufgabe habe ich mal bewiesen, dass stückweise stetige Funktionen (endlich viele Unstetigkeitsstellen) Riemann-intbar sind.
Aber: Ich kenne den Hauptsatz nur für stetige Funktionen. Für mich ist also die Integralfunktion über die von Dir vorgeschlagenen Treppenfunktionen unter [mm] 1/x^2 [/mm] NICHT differenzierbar! (Und wenn es das wäre -- das ist doch dann eine Ableitung, die den ZWS für Ableitungen verletzt, oder? Wie hast Du das genauer gemeint?
Viele Grüße,
retep
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Fr 15.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo retep
Du hast recht. Das mit den Treppenfunktionen ist einfach falsch, der >HS gilt nicht!
beim anderen Beispiel muss es [mm] x^{2}*sin1/x [/mm] heisse, damit man überall Differenzierbarkeit hat. Also auch da hast du recht.
Zu überall diffbar und nirgends stetig ist mir nix weiter eingefalen, ich bin auch nicht mehr so sicher, dass es das gibt. Was in meinem Kopf war ist überall stetig und nirgends differenzierbar.
Ich lass die Frage auf unbeantwortet, vielleicht weiss wer anderer mehr.
Gruss leduartz
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Es gibt da etwas, da vielleicht auch interessant für dich ist.
Es nennt sich meines Wissens nach Teufelsleiter.
Zeichne die Grade y=x im Intervall [0;1]
zerlege das Intervall in drei gleiche Teile.
Ersetze die Grade im mittleren Teilintervall durch eine konstante Funktion, deren Wert der Mittelwert in diesem Teilintervall ist,also y=1/2.
ersetze die beiden Graden im linken und rechten Teil so, daß die Gesamtfunktion stetig bleibt, sprich, daß sie die konstante Funktion im mittleren Teilintervall berühren.
Du hast jetzt einen Linienzug durch die Punkte (0;0) - (1/3;1/2) - (2/3;1/2) - (1;1). Die rechte und linke Grade haben nun die Steigung 3/2, sind also steiler geworden.
Jetzt nimmst du dir die beiden linken und rechten Teilintervalle vor. Zerlege die auch wieder in je drei Teile, setze in den mittleren Teil eine konstante Funktion mit y=1/4 bzw y=3/4, und modifiziere die anderen Teilintervalle auchwieder so, daß die Funktion wieder insgesamt stetig wird. Die nichtkonstanten Teile der Funktion haben nun die Steigung 9/4.
Jetzt setzt du das immer weiter fort. Nimm dir immer immer die Intervalle, in denen die Funktion steigt, zerlege die Intervalle in je drei gelcihgroße Teile, setze den mittleren konstant und passe die anderen an.
Die Steigung der anteigenden Stücke wird dabei immer größer und geht gegen unendlich
Daß die Funktion den Mittelwertsatz erfüllt, muß ich nicht extra erwähnen, oder?
Aber die Ableitung ist nicht stetig, ihr Wertebereich besteht eigentlich nur aus 0 und einem zweiten Wert, der aus der Anzahl der Interationen hervor geht.
Die Ableitung ist natürlich nicht überall unstetig, aber solange du ein Intervall wählst, das nicht grade rein zufällig vollständig in einem Intervall liegt, in dem die Funktion konstant ist, hast du da immer unstetige Stellen drin, und zwar jede Menge.
Ich hab diese Funktion mal als Hausaufgabe gemacht, kann ja mal suchen, wenn du magst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Sa 16.09.2006 | | Autor: | retep |
Hallo Event Horizon,
vielen Dank für Deinen Vorschlag. Ohne jetzt genau DEIN Konstruktion untersucht zu haben, die ich aber schon mal gesehen habe, bin ich mir trotzdem ziemlich sicher, dass diese Funktion NICHT, und das ist eine Voraussetzung bei meiner Frage einfach überall differenzierbar ist! Es wird sich bei ihr so verhalten wie bei der Cantor-Funktion:
Es gibt eine überabzählbare Nullmenge, auf der sie nicht differenzierbar ist.
Stimmst Du mir dabei zu?
Wenn es so ist, dann ist das wie gesagt einfach kein relevantes Beispiel für
meine Fragestellung. Aber nochmal vielen Dank.
Wer kennt eine überall differenzierbare Funktion mit einer an unendlich vielen ( sagen wir erstmal :abzählbar) Stellen unstetigen Ableitung?
Gibt es so etwas? Meine Frage ist doch "wohldefiniert". :)
Ich habe immer noch nichts gefunden, selber nicht, und auch in Foren nichts verständliches!
Viele Grüße,
Retep
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Hallo Retep,
Wenn man sich die Funktion [mm] f(x)=x^2*\sin\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] ansieht sollte es möglich einen Bereich symmetrisch zur Null zu wählen([-a,a] mit f(-a)=f(a),f'(-a)=f'(a)) den man dann sukzessive nach links verschiebt so das die Funktion stetig diffbar bleibt. -> Du kannst eine Funktion mit unendlich vielen Unstetigkeitsstellen der Ableitung erzeugen. Überabzählbar geht imho nicht aber frag nicht warum 
viele Grüße
mathemaduenn
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:34 So 17.09.2006 | | Autor: | retep |
Hallo Leopold,
danke für das Bild ohne Worte. Aber beweise doch bitte, dass die von Event Horizon vorgeschlagene Funktion überall differenzierbar ist. Das ist nicht möglich.
Viele Grüße,
Peter
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