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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Stetigkeitsstellen und die Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktionen.
a) [mm] $f:\IR\to\IR,x\mapsto|x|$
[/mm]
b) [mm] $f:\IR\to\IR,x\mapsto\begin{cases} x*\sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{falls } x\not=0\\ 0, & \mbox{falls } x=0\end{cases}$
[/mm]
c) [mm] $f:\IR\to\IR,x\mapsto\begin{cases} \frac{\left[|x|\right]}{|x|}, & \mbox{falls } x\not=0\\ 0, & \mbox{falls } x=0\end{cases}$
[/mm]
$[x]$ ist die größte ganze Zahl, die kleinergleich $x$ ist. |
Hallo, Leute,
leider weiß ich, dass das im Prinzip welche der einfachsten Beispiele für Stetigkeit sind, aber unser Kleingruppenleiter hat es aus Zeitgründen überhaupt nicht geschafft, uns darin mal einzuarbeiten.
Ich wär sehr dankbar, wenn ich mir mal die Vorgehensweise erläutern würdet. Meine Ansätze:
a) Per Definition lässt sich der Betrag aufspalten in $x>0$, was $x$ entspricht, $x<0$, was $-x$ entspricht, und $x=0$, wo die Funktion den Wert 0 annimmt. Da Polynome stetig sind, ist die Funktion auf [mm] $x\not=0$ [/mm] stetig. Soweit klar! Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich eine Folge konstruieren kann, die mir die Unstetigkeit in $x=0$ zeigt, kann man auch und wenn ja wie mit dem [mm] $\delta -\epsilon-$Kriterium [/mm] ran?
b) Produkt eines Polynoms und Verkettung vom Sinus mit einer rationalen Funktion, die ja stetig auf ihrem Def.-Bereich ist, ist stetig. Somit geht es hier auch nur um $x=0$.
c) [mm] $f:\IR\to\IR,x\mapsto\begin{cases} 0, & \mbox{falls } -1
Hab' die mal umgeschrieben, damit wir sehen, welche Stellen Kandidaten für Unstetigkeit sind.
Also auf $-1<x<1$, insbesondere inklusive $0$, ist die Fkt. das Nullpolynom und somit stetig. Für alle Zahlen [mm] $\notin\IZ$ [/mm] ist es ne rationale Funktion und somit stetig. Verbleiben alle Werte [mm] $\in\IZ$.
[/mm]
Vieeelen Dank für Ansätze,
Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Do 17.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Stetigkeitsstellen und die
> Unstetigkeitsstellen der folgenden Funktionen.
>
> a) [mm]f:\IR\to\IR,x\mapsto|x|[/mm]
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> b) [mm]f:\IR\to\IR,x\mapsto\begin{cases} x*\sin\left(\frac{1}{x}\right), & \mbox{falls } x\not=0\\ 0, & \mbox{falls } x=0\end{cases}[/mm]
>
> c) [mm]f:\IR\to\IR,x\mapsto\begin{cases} \frac{\left[|x|\right]}{|x|}, & \mbox{falls } x\not=0\\ 0, & \mbox{falls } x=0\end{cases}[/mm]
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> [mm][x][/mm] ist die größte ganze Zahl, die kleinergleich [mm]x[/mm] ist.
> Hallo, Leute,
>
> leider weiß ich, dass das im Prinzip welche der
> einfachsten Beispiele für Stetigkeit sind, aber unser
> Kleingruppenleiter hat es aus Zeitgründen überhaupt nicht
> geschafft, uns darin mal einzuarbeiten.
>
> Ich wär sehr dankbar, wenn ich mir mal die Vorgehensweise
> erläutern würdet. Meine Ansätze:
>
> a) Per Definition lässt sich der Betrag aufspalten in [mm]x>0[/mm],
> was [mm]x[/mm] entspricht, [mm]x<0[/mm], was [mm]-x[/mm] entspricht, und [mm]x=0[/mm], wo die
> Funktion den Wert 0 annimmt. Da Polynome stetig sind, ist
> die Funktion auf [mm]x\not=0[/mm] stetig. Soweit klar! Jetzt weiß
> ich aber nicht, wie ich eine Folge konstruieren kann, die
> mir die Unstetigkeit in [mm]x=0[/mm] zeigt,
Die Funktion ist in x=0 stetig ! Nimm eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n \to [/mm] 0. Was macht dann [mm] (f(x_n)) [/mm] = [mm] (|x_n|) [/mm] ??
> kann man auch und wenn
> ja wie mit dem [mm]\delta -\epsilon-[/mm]Kriterium ran?
>
> b) Produkt eines Polynoms und Verkettung vom Sinus mit
> einer rationalen Funktion, die ja stetig auf ihrem
> Def.-Bereich ist, ist stetig. Somit geht es hier auch nur
> um [mm]x=0[/mm].
Hier ist $|f(x)| [mm] \le [/mm] |x|$ für jedes x. Also .. ?
FRED
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> c) [mm]f:\IR\to\IR,x\mapsto\begin{cases} 0, & \mbox{falls } -1
>
> Hab' die mal umgeschrieben, damit wir sehen, welche Stellen
> Kandidaten für Unstetigkeit sind.
>
> Also auf [mm]-1
> Nullpolynom und somit stetig. Für alle Zahlen [mm]\notin\IZ[/mm]
> ist es ne rationale Funktion und somit stetig. Verbleiben
> alle Werte [mm]\in\IZ[/mm].
>
> Vieeelen Dank für Ansätze,
>
> Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Do 17.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
a und b sind stetig in 0, [mm] \epsilon \delta [/mm] eignet sich für beide. bei a auch einfach eine beliebige 0 Folge [mm] x_n
[/mm]
(Du darst für Stetigkeit keine spezielle nehmen, damit kann man nur Unstetigkeit zeigen)
bei b) dran denken, das [mm] |sin(a)|\le1 [/mm] für alle a.
bei c die einfachste Nullfolge von links und von rechts.zeigt die Unstetigkeit.
Gruss leduart
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Ich habs hinbekommen, vielen Dank!
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