Unstetigkeitsstellen bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 So 20.02.2011 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | Es sei [mm]f(x)=\bruch{lnx}{lnsinx} \qquad, x>0[/mm]
a) Definitionsgebiet von f(x) bestimmen.
b)Unstetigkeitsstellen von f(x) und deren Charakter bestimmen.
c)Welche Art von Unstetigkeit liegt im Punkt x=0 vor? |
Hallo,
ich habe zur Aufgabe schon ein paar Ansätze, weiß aber nicht ob das so stimmt bzw. wie ich weiter rechnen kann.
zu a)
lnsinx [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \qquad [/mm] |e^
[mm] e^{lnsinx} \not= e^0
[/mm]
sinx [mm] \not=1 \rightarrow [/mm] x [mm] \not=90 \rightarrow [/mm] D(f)={ [mm] x\in \IR [/mm] |x>0 [mm] \wedge x\not=90 [/mm] }
zu b)
für die Unstetigkeitsstellen brauche ich ja erst mal den rechts- und den linksseitigen Grenzwert.
rechtsseitiger Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 90 + 0} \bruch{ln(90+\bruch{1}{n})}{lnsin(90+\bruch{1}{n})}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\ 90 + 0} ln(90+\bruch{1}{n})*\bruch{1}{lnsin(90+\bruch{1}{n})} \qquad [/mm] |e^
[mm] (90+\bruch{1}{n})*\bruch{1}{sin(90+\bruch{1}{n})}
[/mm]
ich weiß nich so richtig ob das richtig ist mit dem anwenden der e-Funktion auf den Bruch und wenn nich wie ich da sonst weiterrechne.
Ich hoffe jemand hat nen Tipp für mich.
zu c) eine Sprungstelle?
Danke schon mal fürs durchsehen.
lg
Klemme
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Hi,
> Es sei [mm]f(x)=\bruch{lnx}{lnsinx} \qquad, x>0[/mm]
> a)
> Definitionsgebiet von f(x) bestimmen.
> b)Unstetigkeitsstellen von f(x) und deren Charakter
> bestimmen.
> c)Welche Art von Unstetigkeit liegt im Punkt x=0 vor?
> Hallo,
>
> ich habe zur Aufgabe schon ein paar Ansätze, weiß aber
> nicht ob das so stimmt bzw. wie ich weiter rechnen kann.
>
> zu a)
> lnsinx [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\qquad[/mm] |e^
>
> [mm]e^{lnsinx} \not= e^0[/mm]
>
> sinx [mm]\not=1 \rightarrow[/mm] x [mm]\not=90 \rightarrow[/mm] [mm] D(f)=$\{ x\in \IR|x>0 \wedge x\not=90 \}$
[/mm]
Das stimmt leider so nicht. Was ist wenn [mm] \sin(x)\leq0? [/mm] Das Argument des [mm] \ln [/mm] muss schon positiv sein.
Weiterhin ist die Sinusfunktion periodisch, deswegen kann bei [mm] x=\pi/2 [/mm] nicht die einzige Nullstelle von [mm] \ln\sin(x) [/mm] liegen.
Diesen Teil brauchst du erst einmal, um vernünftig an die anderen Teilaufgaben herangehen zu können.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Di 22.02.2011 | | Autor: | Klemme |
hallo,
danke erst mal Kamaleonti für die Korrektur.
Der Übersichtlichkeit halber fang ich noch mal von vorn an.
zu a)
Es sei [mm] f(x)=\bruch{lnx}{lnsinx} \qquad, [/mm] x>0
a) Definitionsgebiet von f(x) bestimmen:
es muss gelten :
sinx>0 [mm] \rightarrow [/mm] x>0
lnx>0 [mm] \rightarrow [/mm] x>1
also muss x>1 sein.
und außerdem:
lnsinx [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \qquad [/mm] |e^
[mm] e^{lnsinx} \not= e^0
[/mm]
sinx [mm] \not=1 \rightarrowx \not=90 \rightarrow [/mm] D(f)={ [mm] ]x\in \IR [/mm] |x>1 [mm] \wedge x\not=90 [/mm] }
b)Unstetigkeitsstellen von f(x) und deren Charakter bestimmen.
Jetzt habe ich ja die Definitionslücken von x<1 und x=90. Berechne ich jetzt an diesen Punkten den rechts- und linksseitigen Grenzwert oder fehlt da noch irgendetwas.
Damit habe ich am Ende zwei Unstetigkeitsstellen, oder?
c)Welche Art von Unstetigkeit liegt im Punkt x=0 vor?
eine Sprungstelle denke ich
Wär nett, wenn noch mal jmd Tipps zur Lösung dieser Aufgabe geben könnte. Ich hab wenig Ahnung, wie ich da korrekt vorgehen sollte.
Danke schon mal
lg
Klemme
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:10 Di 22.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Klemme,
> hallo,
>
> danke erst mal Kamaleonti für die Korrektur.
>
> Der Übersichtlichkeit halber fang ich noch mal von vorn
> an.
>
> zu a)
> Es sei [mm]f(x)=\bruch{lnx}{lnsinx} \qquad,[/mm] x>0
> a) Definitionsgebiet von f(x) bestimmen:
>
> es muss gelten :
> sinx>0 [mm]\rightarrow[/mm] x>0
Ja, aber nicht nur. Kamaleonti hat doch schon auf die Periodizität der Sinusfunktion hingewiesen. Kuck dir mal an, wo der Sinus positiv ist (x>0): zuerst mal im Intervall [mm] $(0;\pi)$, [/mm] aber auch in [mm] (2\pi;3\pi), [/mm] dann wieder [mm] (4\pi;5\pi) [/mm] usw. Dafür bräuchtest du dann eine schöne allgemeine Darstellung.
> lnx>0 [mm]\rightarrow[/mm] x>1
> also muss x>1 sein.
Nee, das ist Quatsch. Der Logarithmus darf sehr wohl negativ sein. Nur das Argument nicht (x>0 ist ja eh schon Voraussetzung). Aber das hast du ja dann durch die Einschränkung des Sinus im Griff.
>
> und außerdem:
> lnsinx [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\qquad[/mm] |e^
>
> [mm]e^{lnsinx} \not= e^0[/mm]
> sinx [mm]\not=1 \rightarrowx \not=90 \rightarrow[/mm]
Argh, das ist nicht schön zu lesen. [mm] \sin(x)\not=1\not=90, [/mm] ich kann mir denken, was du meinst, aber im Auge tuts mir weh 
Schöner (zumindest meiner Meinung nach):
Man löst nicht die [mm] \not= [/mm] Gleichung auf (ich weiss gar nicht, ob es sowas formal überhaupt gibt), sondern die entsprechende Gleichung und nimmt dann die Lösungen der Gleichung aus dem Def.bereich heraus.
Es darf also nicht [mm] \ln(\sin(x))=0 [/mm] sein, denn dann würdest du durch Null teilen. Und [mm] \ln(\sin(x))=0 \gdw\sin(x)=1
[/mm]
Du hast also innerhalb (jedem) der Intervalle, in denen der Sinus positiv ist, eine Stelle, die noch aus dem Definitionsbereich raus muss.
Nämlich [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] im ersten Intervall, [mm] 2\pi+\bruch{\pi}{2} [/mm] im zweiten usw.
> D(f)= [mm]]x\in \IR[/mm] |x>1 [mm]\wedge x\not=90[/mm]
Da fehlt ja nun noch einiges. Versuch die Ergebnisse mal schön allgemein aufzuschreiben.
Übrigens wäre es hier nicht richtig, das Argument des Sinus in Grad anzugeben.Ich vermute, dass du das mit dem x=90 meinst. Bogenmass ist hier angezeigt. Bei dieser Funktion gilt doch [mm] x\in\IR [/mm] (auch wenn du es nicht in der Aufgabestellug dazugeschrieben hast). In den Logarithmus setzt du ja auch keine Winkel ein und die haben doch dasselbe x.
>
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> b)Unstetigkeitsstellen von f(x) und deren Charakter
> bestimmen.
>
> Jetzt habe ich ja die Definitionslücken von x<1 und x=90.
> Berechne ich jetzt an diesen Punkten den rechts- und
> linksseitigen Grenzwert oder fehlt da noch irgendetwas.
>
> Damit habe ich am Ende zwei Unstetigkeitsstellen, oder?
>
> c)Welche Art von Unstetigkeit liegt im Punkt x=0 vor?
> eine Sprungstelle denke ich
>
> Wär nett, wenn noch mal jmd Tipps zur Lösung dieser
> Aufgabe geben könnte. Ich hab wenig Ahnung, wie ich da
> korrekt vorgehen sollte.
Das hab ich mir jetzt nicht durchgelesen.
Bei den Unstetigkeitsstellen bin ich mir ehrlich gesagt auch nicht 100%ig sicher was damit gemeint ist, denn auf ihrem Defbereich ist die Fkt. stetig.
Es ist wohl gemeint, was die Art der Definitionslücken ist (welche kennt ihr denn so?) bzw. das Verhalten von f an den Rändern des Def.bereichs. Man interessiert sich zum Bsp dafür, ob gewisse Def.Lücken stetig hebbar sind, wie zB bei [mm] \bruch{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x-3)} [/mm] die Funktion wäre bei x=2 stetig fortsetzbar.
Da musst du mal überlegen, was ihr dazu so hattet.
EDIT: Der rechts-/bzw. linkseitige Grenzwert macht nicht unbedingt Sinn, da man zB bei [mm] x\to\pi [/mm] gar nicht von rechts kommen kann, da die rechte Seite nicht zum Defbereich gehört. Aber das macht es nur leichter, da man sich eben nur um eine Seite "kümmern" muss. (Tipp:Der Grenzwert dort existiert.)
>
> Danke schon mal
>
> lg
>
> Klemme
LG walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Di 22.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo Klemme
zusätzlich zu den anderen Korrektoren:
x=90 zu setzen, wenn du 90° meinst ist falsch. die sin funktion ist auf den reellen Zahlen definiert, [mm] sin(\alpha) [/mm] , [mm] \alpha [/mm] in Grad ist nur für rechnungen in der Geometrie dreicksrechng usw richtig. die funkttion [mm] x\in/IR
[/mm]
x => sin(x) ist nur für eben reelle Zahlen definiert, also sin(x)=1 folgt [mm] x=\pi/2+n*2\pi [/mm] usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 22.02.2011 | | Autor: | Klemme |
lnsinx darf nicht Null sein, also nicht definiert für:
[mm]lnsinx=0 \rightarrow sinx= 1, x=n*\pi+\bruch{\pi}{2} \quad mit \quad n\in \IN_0[/mm]
Somit ist D(f)={ [mm] x\in \IR|x>0 \wedge x=n*\pi+\bruch{\pi}{2},n\in \IN_0 [/mm] }
Sieht das jetzt besser aus?
lg
Klemme
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Di 22.02.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Klemme,
das ist jetzt eine korrekte Schreibweise, aber achte auf die Periode der Sinusfunktion.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Di 22.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Die Sinusfunktion hat die Periodenlänge $ [mm] 2\pi, [/mm] $ deswegen stimmt etwas bei der Verallgemeinerung der Lösung für $ [mm] \sin [/mm] $ x=1 nicht.
Außerdem sind immer noch die Intervalle wo $ [mm] \sin [/mm] $ x<0 nicht ausgeschlossen...
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Di 22.02.2011 | | Autor: | Klemme |
Wir haben folgende Unstetigkeitsstellen definiert:
1. hebbare Unstetigkeit: wenn f in einem Häufungspunkt [mm] x_o [/mm] des Definitionsgebietes unstetig ist und [mm] \limes_{x\rightarrow\x_0} [/mm] f(x)= A [mm] \in \IR [/mm] existiert
2. Sprung: Es gibt einen linksseitigen Grenzwert [mm] A_l [/mm] und einen rechtsseitigen [mm] A_r, [/mm] dann hat f(x) in [mm] x_0 [/mm] einen Sprung der Größe | [mm] A_r-A_l [/mm] |
1. und 2. sind Unstetigkeiten erster Art.
Unstetigkeiten zweiter Art sind Unendlichkeitsstellen und jene Punkte [mm] x_0 [/mm] in denen der rechts-oder linksseitige Grenzwert nicht existiert.
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Ich vermute mit Unendlichkeitsstellen sind Definitionslücken gemeint.
Sind die Unstetigkeitsstellen jetzt genau die Definitionslücken, also alle x für die lnsin Null wird?
(Das wären dann Unstetigkeitsstellen zweiter Art.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Di 22.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi,
> Wir haben folgende Unstetigkeitsstellen definiert:
>
> 1. hebbare Unstetigkeit: wenn f in einem Häufungspunkt [mm]x_o[/mm]
> des Definitionsgebietes unstetig ist und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_0}[/mm] f(x)= A [mm]\in \IR[/mm] existiert
Ja, das kommt auch bei der Aufgabe vor.
>
> 2. Sprung: Es gibt einen linksseitigen Grenzwert [mm]A_l[/mm] und
> einen rechtsseitigen [mm]A_r,[/mm] dann hat f(x) in [mm]x_0[/mm] einen Sprung
> der Größe | [mm]A_r-A_l[/mm] |
Das kommt nicht vor, da die f wie gesagt innerhalb von D stetig ist.(Da Logarithmus und Sinus jeweils stetig sind.)
>
> 1. und 2. sind Unstetigkeiten erster Art.
>
> Unstetigkeiten zweiter Art sind Unendlichkeitsstellen und
> jene Punkte [mm]x_0[/mm] in denen der rechts-oder linksseitige
> Grenzwert nicht existiert.
Ja, auch das kommt vor.
> _________________________
> Ich vermute mit Unendlichkeitsstellen sind
> Definitionslücken gemeint.
>
> Sind die Unstetigkeitsstellen jetzt genau die
> Definitionslücken, also alle x für die lnsin Null wird?
> (Das wären dann Unstetigkeitsstellen zweiter Art.)
>
Ich denke mal, dass du generell jetzt an allen Rändern des Def.bereichs prüfen sollst wie sich die Funktion verhält und dann entscheiden, welche Art da vorliegt.
Bitte beachte, dass der von die angegeben Def.bereich noch nicht simmt. Lies dir die Hinweise der Anderen nochmal durch. Aber fasse meinen ersten Post nochmal hier zusammen:
Die Intervalle, auf denen der Sinus positiv ist, waren:
[mm] (0;\pi)\cup(2\pi;3\pi)\cup(4\pi;5\pi)\cup\ldots
[/mm]
und raus müssen noch die Stellen, wenn sin(x)=1 ist, das sind:
[mm] \{\bruch{\pi}{2};2\pi+\bruch{\pi}{2};4\pi+\bruch{\pi}{2};\ldots\}
[/mm]
Das solltest du versuchen, elegant bzw. etwas kompakter aufzuschreiben.
Dann betrachtest du jeweils die Grenzwerte an den Rändern der Intervalle und an der Lücke in der Mitte.
LG walde
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