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| Aufgabe | Seien [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] Untervektorräume eines K-Vektorraumes V. Beweisen Sie, dass dann gilt
[mm] U_1 \cup U_2 [/mm] Untervektorraum von V [mm] \Rightarrow U_1 \subseteq U_2 \vee U_2 \subseteq U_1 [/mm] |
Hi
Meiner Ansicht lässt sich diese Frage ganz einfach in "sprachlicher Form" lösen, weil ja jeder Untervektorraum wieder ein Vektorraum ist, also muss ja einer der beiden wieder ein Untervektorraum von dem anderen (Unter)Vektorraum sein!
Wie man das allerdings rechnerisch löst habe ich keinen Schimmer!
Meint ihr ich kann das einfach wie oben schreiben oder nicht?
Greeez
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> Seien [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] Untervektorräume eines K-Vektorraumes V.
> Beweisen Sie, dass dann gilt
> [mm]U_1 \cup U_2[/mm] Untervektorraum von V [mm]\Rightarrow U_1 \subseteq U_2 \vee U_2 \subseteq U_1[/mm]
>
> Hi
> Meiner Ansicht lässt sich diese Frage ganz einfach in
> "sprachlicher Form" lösen, weil ja jeder Untervektorraum
> wieder ein Vektorraum ist, also muss ja einer der beiden
> wieder ein Untervektorraum von dem anderen
> (Unter)Vektorraum sein!
Hallo,
von sprachlicher Lösung kann hier überhaupt nicht die Rede sein...
> Wie man das allerdings rechnerisch löst habe ich keinen
> Schimmer!
ich bin mir nicht sehr sicher, daß Du die Aussage verstanden hast.
Ist Dir klar, daß [mm]U_1 \cup U_2[/mm] i.a. kein Untervektorraum von V ist?
Hier wird nun gesagt. wenn die vereinigung ein Unterraum ist, muß einer der zu vereinigenden Unterräume Teilmenge des anderen sein.
> Meint ihr ich kann das einfach wie oben schreiben oder
> nicht?
Keinesfalls.
Du kannst es per Widerspruch machen:
Nimm an, daß [mm]U_1 \cup U_2[/mm] ein UVR von V ist, und daß weder [mm] U_1 \subseteq U_2 [/mm] noch [mm] U_2 \subseteq U_1 [/mm] gilt.
Nun nimmst Du Dir eine Element aus [mm] U_1 [/mm] \ [mm] U_2 [/mm] und eins aus [mm] U_2 [/mm] \ [mm] U_1, [/mm] addierst die beiden ...
Gruß v. Angela
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