Unter welchen Bedingungen ist Matrix regulär < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Do 17.06.2004 | | Autor: | mausi |
Unter welchen Bedingungen ist die Matrix regulär???Unter dieser Bedingung bestimme man
die Inverse der folgenden Matrix mittels der Adjunkten-Formel:
leider steht dazu im Script noch gar nix...weiss von euch einer was darüber???
[mm] \begin{pmatrix}
a & 1 & 0 \\
1 & 0 & b \\
0 & c & 1
\end{pmatrix} [/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Do 17.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
Einige Begriffe:
a) Der Rang einer Matrix ist die Anzahl unabhängiger Zeilenvektoren (oder Anzahl unabhängiger Spaltenvektoren, was ja dasselbe ist)
b) Eine Matrix heisst regulär, wenn sie maximalen Rang hat. (Für eine mxn-Matrix bedeutet dies, der Rang ist = min(m,n))
Für eine nxn-Matrix bedeutet dies: die Matriix ist regulär, falls ihr Rang = n ist. Dies ist wieder gleichbedeutend damit, dass die Determinant [mm] $\not [/mm] =$ 0 ist.
Um zu bestimmen, ob deine Matrix regulär ist, brauchst du somit nur die Determinante zu berechnen. Wenn diese $= 0$ ist, dann ist die Matrix nicht regulär, sonst schon.
Alternativ dazu könnte man die Matrix durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen in eine Diagonalmatrix 'umformen'. Wenn dabei eine Zeile oder Spalte erzeugt wird, die aus lauter $0$ besteht, dann ist die Matrix nicht regulär. 
Sagt dir der Begriff 'Adjunkten-Formel ' denn etwas, oder soll ich dir den auch noch erklären?
Mit lieben Grüssen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Do 17.06.2004 | | Autor: | mausi |
Danke Paulus
also
mit der camerschen Regel(oder so ähnlich)
[mm] \begin{matrix}
a & 1 & 0 \\
1 & 0 & b \\
0 & c & 1
\end{matrix} |\begin{matrix}
a & 1 \\
1 & 0 \\
0 & c
\end{matrix} [/mm]
det(A)=(a*0*1)+(1*b*0)+(0*1*c)-(0*0*0)-(c*b*a)-(1*1*1)
=0+0+0-0-cba-1
det(A)=-cba-1
[mm] \to [/mm] A ist regulär
stimmt das so???
ja und bitte noch die Adjunktenformel erklären
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Do 17.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
ich schlage mal vor, dass wir zunächst nur den 1. Teile der Aufgabe sauber zu Ende bringen, bevor wir uns mit der Adjunktenformel beschäftigen:
Zunächst aber noch eine Anmerkung: deine Art, die Determinante zu berechnen (Cramersche Regel) funktioniert nur für 1x1-, 2x2- und 3x3-Matrizen. Pass also auf, wenn mal eine 4x4 oder noch eine grössere Matrix erscheint! 
Nun, du hast jetzt völlig korrekt ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") berechnet: $Det(A)=-abc-1$
Nun darfst du aber nicht gleich voreilig den Schluss ziehen, dass die Matrix regulär ist. Die Determinante darf ja nicht $0$ sein, und wir wissen ja gar nicht, welche Werte denn für $a$, $b$ und $c$ stehen. Man darf nicht beliebige Werte einsetzen, weil man immer Gefahr läuft, dass die Determinante verschwinden könnte (verschwinden heisst nicht, sich unbemerkt aus dem Staube machen sondern: den Wert $0$ annehmen ).
Gefragt ist ja nach den Bedingungen, dass die Matrix regulär ist. (Gemeint sind sicher Bedingungen für die Werte $a$, $b$ und $c$.)
Kannst du das zunächst mal untersuchen und mir dein Ergebnis mitteilen?
Mit lieben Grüssen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Do 17.06.2004 | | Autor: | mausi |
also a b und c dürfen nicht (-1) sein
meinst du das damit???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 17.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
ja, so etwas in der Art meine ich. Aber so ist es noch nicht ganz korrekt.
Das müsste man wohl etwa so zeigen:
$Det(A)=-abc-1$
Jetzt weiss man, dass, wenn die Determinante $= 0$ ist, dann ist die Matrix nicht regulär. Jetzt untersuchen wir also mathematisch, wann die Determinante den Wert $0$ hat. Wir erstellen also ganz einfach eine Gleichung:
$Det(A) = 0$
Somit:
$-abc-1=0$
$-abc=1$
$abc=-1$
Und formulieren das eventuell noch in Prosa: Die Matrix ist regulär, wenn das Produkt $a*b*c$ ungleich $-1$ ist.
Ich mache für die Adjunktenformel gleich eine neue Antwort, kann aber noch nicht sofort damit beginnen. Hast du noch ein wenig Geduld?
Mit lieben Grüssen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Do 17.06.2004 | | Autor: | mausi |
Na klar Paulus ich hab Zeit,ich danke dir vielmals für deine Hilfe...
wäre schön wenn die an der Uni das auch mal so gut erklären würden
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Do 17.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
da bin ich wieder!
Ich kann dir natürlich nicht die ganze Theorie mit der Adjunktenformel darlegen, da dies die Kapazität dieses Forums eindeutig sprengen würde. Ich denke, irgendwo solltet ihr das ja in einem Skript zur Verfügung haben, wenn schon soche Aufgaben zu lösen sind.
Was ich aber tun kann ist folgendes: dir die Technik zu zeigen, wie man eben mit dieser Adjunktenformel die Inverse einer Matrix berechnet.
Dazu musst du als Erstes die Determinante berechnen. Das hast du für dein Beispiel ja schon gemacht:
$Det(A)=-abc-1$
Dann solltest du dir auch noch die folgende Matrixstruktur merken:
Zum Beispiel an einer $5x5$-Matrix, grössere Matrizen erweitern sich einfach in der offensichtlichen Art weiter:
[mm] $\begin{pmatrix}+&-&+&-&+\\-&+&-&+&-\\+&-&+&-&+\\-&+&-&+&-\\+&-&+&-&+\end{pmatrix}$
[/mm]
Diese Matrix hat also überall ein $+$, wo die Summe von Zeilenindex und Spaltenindex gerade ist, sonst ein $-$.
Nun gehst du, um das Matrixelement [mm] $x_{ij}$ [/mm] von der Inversen Matrix [mm] $A^{-1}$ [/mm] zu bestimmen, folgendermassen vor:
In der Matrix $A$ streichst du die j-te Zeile und die i-te Spalte. Du spiegelst also quasi das Element [mm] $x_{ij}$ [/mm] an der Hauptdiagonalen und streichst dort die Zeile und die Spalte, die sich hier kreuzen.
Von der übriggebliebenen Matrix berechnest du die Determinante, multiplizierst das Resultat noch mit $+1$ oder $-1$, je nachdem, ob in der schematischen $+/-$-Matrix ein $+$ oder ein $-$ steht.
Wenn du so alle Matrixeinträge berechnet hast, dann musst du nur noch die ganze Matrix mit dem Kehrwert von $Det(A)$ multiplizieren, und schon ist deine inverse Matrix [mm] $A^{-1}$ [/mm] berechnet.
Ich führe das wohl am Besten anhand deines Beispieles an einer ganz bestimmten Stelle durch:
$A = [mm] \begin{pmatrix}a&1&0\\1&0&b\\0&c&1\end{pmatrix}$
[/mm]
Ich möchte das Element [mm] $x_{13}$ [/mm] in der inversen Matrix bestimmen (also das Element rechts oben).
Dazu spiegle ich den gewünschten Platz an der Hauptdiagonalen und komme so auf [mm] $a_{31}$.
[/mm]
Ich decke also in der Matrix $A$ die 3. Zeile und die 1. Spalte ab und erhalte so diese Untermatrix:
[mm] $\begin{pmatrix}1&0\\0&b\end{pmatrix}$
[/mm]
Davon berechne ich die Determinante: $b$. Ich überprüfe noch, ob ich mit $+1$ oder $-1$ multiplizieren muss und stelle fest: mit $+1$.
Ich kann also rechts oben von [mm] $A^{-1}$ [/mm] den Wert $b$ eintragen.
Kannst du das bitte für die anderen Stellen auch noch machen?
Nicht vergessen: am Schluss die ganze Matrix noch multiplizieren mit [mm] $\bruch{-1}{abc+1}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:13 Di 22.06.2004 | | Autor: | mausi |
Hallo Paulus kannst du bitte noch an einem zweiten Beispiel zeigen wie man so eine Unterraum bildet hab leider noch nicht durchgesehen,wie das mit der Spiegelung funktioniert.
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Di 22.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
ich habe dich schon beinahe vermisst!
> Hallo Paulus kannst du bitte noch an einem zweiten Beispiel
> zeigen wie man so eine Unterraum bildet hab leider noch
> nicht durchgesehen,wie das mit der Spiegelung
> funktioniert.
Du meinst wohl "Unterdeterminante" oder "Untermatrix"?
Also, das mit der Spielgelung ist rein geometrisch gemeint. Die Hauptdiagonale ist die Diagonale von links oben nach rechts unten, und da kann man eine Gerade durchziehen und wie in der Geometrie eine Spielgelung durchführen. So kommt natürlich das Element [mm] $x_{mn}$ [/mm] auf den Platz $._{nm}$. (Aber aus $8$ wird nicht [mm] $\infty$! [/mm] ).
Also: meine Spiegelung ist eigentlich nur ein Transponieren der Matrix.
Als Beispiel: du sollst die inverse Matrix von
[mm] $A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$
[/mm]
berechnen.
Wie man die Determinante davon berechnet, weisst du ja.
Wie komme ich nun auf den Eintrag an der Stelle $._{23}$ (Das ist an der Stelle, wo in der Matrix $A$ der Eintrag $f$ ist.
Dazu notiere ich meine Matrix mit Kugelschreiber mit grossen Buchstaben auf Papier. Dann suche ich, wo denn die Spiegelung von $._{23}$ ist und finde: bei $._{32}$ (Das ist dort, wo bei der Matrix der Eintrag $h$ ist.)
Jetzt nehme ich 2 Kugelschreiber und decke damit die 3. Zeile und die 2. Spalte ab. (Die Kugelschreiber kreuzen sich dort, wo in der Matrix der Eintrag $h$ steht.)
Es sind also abgedeckt: $b$, $e$, $g$, $h$ und $i$.
Sichtbar sind noch: $a$, $c$, $d$ und $f$ und bilden zusammen eine 2x2-(Unter)-Matrix:
[mm] $\begin{pmatrix}a&c\\d&f\end{pmatrix}$
[/mm]
Die Determinante davon ist $af-cd$.
Bei der $+/-$-Schachbrett-Matrix steht an der Stelle $._{23}$ ein $-$, somit multipliziere ich die eben berechnete Unterdeterminante mit $-1$, erhalte also $cd-af$. Das trage ich in der inversen Matrix an der Stelle $._{23}$ ein.
Dieses Verfahren machst du nun für alle Elemente der Matrix $A$ und kannst so die Matrix [mm] $A^{-1}$ [/mm] nach und nach bevölkern.
Kannst du das jetzt nachvollziehen? Würde mich echt freuen!
Uebrigens: hast du eigentlich die Aufgabe mit der Determinantenberechnung einer Matrix, die an der Nebendiagonalen gespiegelt ist, lösen können?
Ich hätte da nämlich noch eine verblüffend einfache Lösung auf Lager...
Mit lieben Grüssen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Di 22.06.2004 | | Autor: | mausi |
Muss an der Stelle [mm] x_2_1 [/mm] nicht 1 raus kommen???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Di 22.06.2004 | | Autor: | mausi |
alles klar hab meinen Fehler gefunden,danke Paulus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Di 22.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Schon zu spät!! ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:33 Di 22.06.2004 | | Autor: | Chriskoi |
> Hallo mausi
>
> da bin ich wieder!
>
> Ich kann dir natürlich nicht die ganze Theorie mit der
> Adjunktenformel darlegen, da dies die Kapazität dieses
> Forums eindeutig sprengen würde. Ich denke, irgendwo
> solltet ihr das ja in einem Skript zur Verfügung haben,
> wenn schon soche Aufgaben zu lösen sind.
> Was ich aber tun kann ist folgendes: dir die Technik zu
> zeigen, wie man eben mit dieser Adjunktenformel die Inverse
> einer Matrix berechnet.
>
> Dazu musst du als Erstes die Determinante berechnen. Das
> hast du für dein Beispiel ja schon gemacht:
> [mm]Det(A)=-abc-1[/mm]
>
> Dann solltest du dir auch noch die folgende Matrixstruktur
> merken:
>
> Zum Beispiel an einer [mm]5x5[/mm]-Matrix, grössere Matrizen
> erweitern sich einfach in der offensichtlichen Art
> weiter:
>
>
> [mm]\begin{pmatrix}+&-&+&-&+\\-&+&-&+&-\\+&-&+&-&+\\-&+&-&+&-\\+&-&+&-&+\end{pmatrix}[/mm]
>
> Diese Matrix hat also überall ein [mm]+[/mm], wo die Summe von
> Zeilenindex und Spaltenindex gerade ist, sonst ein [mm]-[/mm].
>
> Nun gehst du, um das Matrixelement [mm]x_{ij}[/mm] von der Inversen
> Matrix [mm]A^{-1}[/mm] zu bestimmen, folgendermassen vor:
>
> In der Matrix [mm]A[/mm] streichst du die j-te Zeile und die i-te
> Spalte. Du spiegelst also quasi das Element [mm]x_{ij}[/mm] an der
> Hauptdiagonalen und streichst dort die Zeile und die
> Spalte, die sich hier kreuzen.
> Von der übriggebliebenen Matrix berechnest du die
> Determinante, multiplizierst das Resultat noch mit [mm]+1[/mm]
> oder [mm]-1[/mm], je nachdem, ob in der schematischen [mm]+/-[/mm]-Matrix ein
> [mm]+[/mm] oder ein [mm]-[/mm] steht.
>
> Wenn du so alle Matrixeinträge berechnet hast, dann musst
> du nur noch die ganze Matrix mit dem Kehrwert von [mm]Det(A)[/mm]
> multiplizieren, und schon ist deine inverse Matrix [mm]A^{-1}[/mm]
> berechnet.
>
> Ich führe das wohl am Besten anhand deines Beispieles an
> einer ganz bestimmten Stelle durch:
>
> [mm]A = \begin{pmatrix}a&1&0\\1&0&b\\0&c&1\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich möchte das Element [mm]x_{13}[/mm] in der inversen Matrix
> bestimmen (also das Element rechts oben).
>
> Dazu spiegle ich den gewünschten Platz an der
> Hauptdiagonalen und komme so auf [mm]a_{31}[/mm].
> Ich decke also in der Matrix [mm]A[/mm] die 3. Zeile und die 1.
> Spalte ab und erhalte so diese Untermatrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix}1&0\\0&b\end{pmatrix}[/mm]
>
> Davon berechne ich die Determinante: [mm]b[/mm]. Ich überprüfe noch,
> ob ich mit [mm]+1[/mm] oder [mm]-1[/mm] multiplizieren muss und stelle
> fest: mit [mm]+1[/mm].
>
> Ich kann also rechts oben von [mm]A^{-1}[/mm] den Wert [mm]b[/mm]
> eintragen.
>
> Kannst du das bitte für die anderen Stellen auch noch
> machen?
>
> Nicht vergessen: am Schluss die ganze Matrix noch
> multiplizieren mit [mm]\bruch{-1}{abc+1}[/mm]
>
> Mit lieben Grüssen
>
Hallo,
also sollte doch die inverse Matrix so aussehen:
[mm]A = \bruch{-1}{abc+1} \begin{pmatrix}-bc&-1&b\\-1&a&-ab\\c&-ac&1\end{pmatrix}[/mm]
Ist es besser den Faktor noch rein zunehmen? Wenn ja, muß ich doch alle Matrixelemente damit multiplizieren?
Chriskoi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:48 Di 22.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Chriskoi
>
> also sollte doch die inverse Matrix so aussehen:
>
> [mm]A = \bruch{-1}{abc+1} \begin{pmatrix}-bc&-1&b\\-1&a&-ab\\c&-ac&1\end{pmatrix}[/mm]
>
Ja, das ist fast perfekt. Nur rechts unten sollte nicht $1$, sondern $-1$ stehen. Des weiteren würde ich links der Gleichung nicht $A$, sondern [mm] $A^{-1}$ [/mm] schreiben.
Du kannst die Korrektheit natürlich ganz einfach überprüfen, wenn du [mm] $A*A^{-1}$ [/mm] rechnest. Es sollte dann die Einheitsmatrix herauskommen.
>
> Ist es besser den Faktor noch rein zunehmen? Wenn ja, muß
> ich doch alle Matrixelemente damit multiplizieren?
>
Ob das besser ist oder nicht, kann man nicht allgemein beantworten. Ich persönlich habe nicht besonders gern, wenn in der Matrix zu viele Brüche stehen. In diesem Falle würde ich den Faktor also eher draussen lassen. Wenn man aber fast überall kürzen könnte, würde ich den Faktor hineinmultiplizieren. Wenn, dann müsste man tatsächlich, wie du richtig vermutest, jedes Element der Matrix mit dem vorgezogenen Faktor multiplizieren.
Mit lieben Grüssen
|
|
|
|
