Unterbestimmtes lineares Gleic < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die beiden Punktmengen
[mm] A_1=\left\{ \vec x \right|\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}
[/mm]
und
[mm] A_2=\left\{ \vec x \right|\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+u* \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\right\}.
[/mm]
a) Welche Figuren werden durch [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] beschrieben?
b) Welche Figur entsteht beim Schnitt von [mm] A_1 [/mm] mit [mm] A_2? [/mm] Beschreiben Sie die Figur durch Vektoren bzw. durch einen Vektor.
c) Stellen Sie [mm] A_2 [/mm] und die Schnittfigur in einem Koordinatensystem dar.
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Hi, ich hab unheimliche schwierigkeiten mit dieser Aufgabe, ich hab aber mal versucht sie irgendwie zu lösen:
zu a) [mm] A_1 [/mm] würde ich sagen ist eine Ebene und [mm] A_2 [/mm] eine Gerade, wobei ich mir nicht sicher bin.
zu b) Also, beim Schnitt muss ich die beiden ja gleichsetzen, das wäre dann das:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +r*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +u*\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt is die Matrix aber unterbestimmt und ich weiß nicht, was ich da jetzt machen muss!
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Hallo Chrissi,
> Gegeben seien die beiden Punktmengen
> [mm]A_1=\left\{ \vec x \right|\vec x=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+s* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}[/mm]
>
> und
> [mm]A_2=\left\{ \vec x \right|\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+u* \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\right\}.[/mm]
>
> a) Welche Figuren werden durch [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm] beschrieben?
> b) Welche Figur entsteht beim Schnitt von [mm]A_1[/mm] mit [mm]A_2?[/mm]
> Beschreiben Sie die Figur durch Vektoren bzw. durch einen
> Vektor.
> c) Stellen Sie [mm]A_2[/mm] und die Schnittfigur in einem
> Koordinatensystem dar.
>
> Hi, ich hab unheimliche schwierigkeiten mit dieser Aufgabe,
> ich hab aber mal versucht sie irgendwie zu lösen:
> zu a) [mm]A_1[/mm] würde ich sagen ist eine Ebene und [mm]A_2[/mm] eine
> Gerade, wobei ich mir nicht sicher bin.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
A2 ist eine Gerade, weil [mm]\pmat{ 2 \\ 4 \\ 2} \ = \ 2*\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 }[/mm], also die beiden Richtungsvektoren bei A2 linear abhängig sind.
> zu b) Also, beim [mm] +u*\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] Schnitt muss ich die beiden ja
> gleichsetzen, das wäre dann das:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +r*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} +u*\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt is die Matrix aber unterbestimmt und ich weiß nicht,
> was ich da jetzt machen muss!
Der eine Richtungsvektor von A2, kann weggelassen, werden, da, wie Du richtig erkannt hast, sich es um eine Gerade handelt. Und eine Gerade hat nun mal einen Richtungsvektor.
Dann steht eben nur noch da:
[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +r*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Davon ist nun die Lösungsmenge zu bestimmen.
Gruß
MathePower
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Dann würde ich jetzt für r=1; für s=1 und für t=2 rausbekommen!?! Oder??
Dann wäre das jetzt schon mal der Schnittpunkt. Die Aufgabenstellung war ja, welche Figur beim Schnitt entsteht und diese soll ich dann durch Vektoren bzw. durch einen Vektor beschreiben. Wie geht das denn?
Die Figur weiß ich doch erst, wenn ich sie zeichne oder?
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Hallo Chrissi,
> Dann würde ich jetzt für r=1; für s=1 und für t=2
> rausbekommen!?! Oder??
> Dann wäre das jetzt schon mal der Schnittpunkt. Die
> Aufgabenstellung war ja, welche Figur beim Schnitt entsteht
> und diese soll ich dann durch Vektoren bzw. durch einen
> Vektor beschreiben. Wie geht das denn?
> Die Figur weiß ich doch erst, wenn ich sie zeichne oder?
Die Schnittfigur ist ein Punkt. Also Parameter einsetzen und den Punkt ermitteln.
Hier ist genau dieselbe Aufgabe schon mal gestellt worden.
Gruß
MathePower
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In meinen Augen war es nicht die selbe, deswegen hab ich lieber nochmal nach gefragt. Sorry
Also, kurz noch, für die Vektor Beschreibung:
[mm] \begin{pmatrix} r \\ s \\ t \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}.
[/mm]
Kann das so stehen bleiben und is die Aufgabe damit fertig?
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Hallo Chrissi,
> In meinen Augen war es nicht die selbe, deswegen hab ich
> lieber nochmal nach gefragt. Sorry
Ok.
>
> Also, kurz noch, für die Vektor Beschreibung:
>
> [mm]\begin{pmatrix} r \\ s \\ t \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec[/mm]
> x = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}.[/mm]
>
> Kann das so stehen bleiben und is die Aufgabe damit fertig?
Ja.
Besser ist es so:
[mm]\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Chrissi21 |
Vielen vielen Dank, du hast mir wirklich sehr geholfen!!!!
Schönen Tag noch
Gruß
Chrissi
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