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Hallo!
Ich hänge gerade an der Frage:
"Wenn [mm] 2^3 [/mm] in der Primfaktorzerlegung der Kardinalität einer Gruppe vorkommt, gibt es dann eine Untergruppe dieser Ordnung?"
Also ich weiß, dass wenn [mm] 2^3 [/mm] die größte Primzahlpotenz von 2 in der Primfaktorzerlegung der Kardinalität vorkommt, es dann eine 2-Sylow gibt (Sylowsätze), und auch, dass nach Lagrange die Gruppenordnung durch die Untergruppenordnung geteilt können werden muss, aber kann man das auch allgemein so sagen wie oben in der Frage?
Liebe Grüße,
Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Sa 03.09.2016 | | Autor: | hippias |
Ich finde die Formulierung nicht ganz klar: wenn [mm] $2^{3}$ [/mm] in der Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung vorkommt, so heisst das für mich, dass es die grösste $2$-Potenz ist, die die Gruppenordnung teilt. Dann liefert der Satz von Sylow die Antwort.
Wenn es so gemeint ist, dass [mm] $2^{3}$ [/mm] nicht unbedingt die grösste $2$-Potenz ist, die die Gruppenordnung teilt, so kann die Frage aber immer noch bejaht werden, jedoch folgt dies nicht allein aus dem Satz von Sylow, sondern man muss auch etwas über $p$-Gruppen wissen.
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Danke für deine Antwort!
Die Frage ist aus einem Prüfungsprotokoll über ein mündliche Prüfung, daher kann es schon sein, dass sich da Ungenauigkeiten einschleichen.
Aber es würde mich schon interessieren, warum es auch für den Fall gilt, dass [mm] 2^3 [/mm] nicht die größte 2erPotenz ist, die |G| teilt. Was muss ich dafür über die p-Gruppen wissen? Hat das was mit der Struktur der p-Gruppen [mm] (G=G_r \supset [/mm] ... [mm] \supset G_0=1 [/mm] aus Normalteilern von G mit [mm] |G_i/G_{i-1}|=p) [/mm] zu tun?
Liebe Grüße, Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 So 04.09.2016 | | Autor: | hippias |
Ja. Für $p$-Gruppen gilt, dass es zu jedem Teiler $d$ der Gruppenordnung eine Untergruppe der Ordnung $d$ gibt. Es gibt sogar stets einen Normalteiler der Ordnung $d$; dies folgt z.B. aus dem von Dir zitierten Satz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 Mo 05.09.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Ok, danke 
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