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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mo 09.10.2006 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass eine Teilmenge B von einer Gruppe A eine Untergruppe genau dann ist, wenn [mm] x\*y^{-1} \in [/mm] B für alle x,y [mm] \in [/mm] B gilt. |
Hallo!
Also ich weiß, dass ich folgendes zeigen muß:
B ist Untergruppe [mm] \gdw [/mm] (a) [mm] B\not= \emptyset
[/mm]
(b) wenn g [mm] \in [/mm] B ist, so ist auch [mm] g^{-1} \in [/mm] B
(c) wenn g,h [mm] \in [/mm] B sind, so ist auch [mm] g\*h \in [/mm] B
Nun hab ich ein Problem damit wie man das zeigen kann.
Ich würde für die Rückrichtung folgendes machen:
[mm] (\Leftarrow) [/mm] zu (a) x [mm] \in [/mm] B und [mm] x\*x^{-1}=e \in [/mm] B also ist [mm] B\not= \emptyset
[/mm]
zu (b) [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] B ist [mm] e\*y^{-1}=y^{-1} \in [/mm] B
zu (c) [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] B ist [mm] x\*(y^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] x\*y \in [/mm] B
Hab hierbei jedoch das Gefühl, dass es nicht so richtig ist und für die Hinrichtung fällt mir auch nichts vernünftiges ein. Ich kann doch nicht einfach nur sagen, dass wenn B Unetrgruppe ist die Bedingungen (a), (b), (c) gelten müssen?!
Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Vielen Dank schon mal im vorraus.
Sharik
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:06 Di 10.10.2006 | | Autor: | statler |
> Zeigen Sie, dass eine Teilmenge B von einer Gruppe A eine
> Untergruppe genau dann ist, wenn [mm]x\*y^{-1} \in[/mm] B für alle
> x,y [mm]\in[/mm] B gilt.
Guten Morgen Sharik, und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Also ich weiß, dass ich folgendes zeigen muß:
> B ist Untergruppe [mm]\gdw[/mm] (a) [mm]B\not= \emptyset[/mm]
>
> (b) wenn g [mm]\in[/mm] B ist, so ist
> auch [mm]g^{-1} \in[/mm] B
> (c) wenn g,h [mm]\in[/mm]
> B sind, so ist auch [mm]g\*h \in[/mm] B
>
> Nun hab ich ein Problem damit wie man das zeigen kann.
> Ich würde für die Rückrichtung folgendes machen:
> [mm](\Leftarrow)[/mm] zu (a) x [mm]\in[/mm] B und [mm]x\*x^{-1}=e \in[/mm] B also
> ist [mm]B\not= \emptyset[/mm]
> zu (b) [mm]\forall[/mm] y
> [mm]\in[/mm] B ist [mm]e\*y^{-1}=y^{-1} \in[/mm] B
> zu (c) [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] B ist
> [mm]x\*(y^{-1})^{-1}[/mm] = [mm]x\*y \in[/mm] B
Also Sharik,
daß B nicht leer ist, muß man schon extra fordern, sonst funktioniert es nicht. Da ist die Aufgabenstellung ungenau, und deine Vorgehensweise logisch nicht korrekt!
Jetzt ist a) ganz einfach: Wenn B nicht die leere Menge ist, dann ist es nicht die leere Menge.
zu b) B enthält ein x, weil es nicht leer ist. Aber dann enthält es zunächst auch x [mm]\*[/mm] [mm]x^{-1}[/mm] = e, und weiter enthält es dann auch e [mm]\*[/mm] [mm]x^{-1}[/mm] = [mm] x^{-1}. [/mm] Dieser Schluß gilt dann für jedes x [mm] \in [/mm] B.
und bei c) ist es wie bei dir
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Di 10.10.2006 | | Autor: | Sharik |
Vielen Dank für die Antwort...
Habe ich das auch richtig verstanden, dass ich laut Aufgabenstellung garnicht zeigen muss, dass B nicht leer ist?
Ich dachte bisher, dass ich das immer machen muss um zu zeigen dass eine bestimmte Menge eine Untergruppe bildet.
Dann hätt ich noch eine Frage zu der Hin-Richtung? Wie kann man da vorgehen um zu Zeigen:
[mm] (\Rightarrow) [/mm] wenn B Untergruppe ist, dann gilt (b) und (c) ?
Danke schon mal...
Sharik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Mi 11.10.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Sharik!
Was du zeigen mußt, hast du ja unter a) bis c) hingeschrieben. Jetzt zur Aufgabe:
Wenn B eine Untergruppe ist, ist natürlich x [mm] \* y^{-1} [/mm] wieder in B, weil ja nach Def. b) Inverse und nach Def. c) Produkte in B liegen.
Wenn umgekehrt zu 2 Elementen x und y auch x [mm] \* y^{-1} [/mm] wieder in B liegt, habe ich dir vorgerechnet, daß zu jedem x auch [mm] x^{-1} [/mm] in B liegt und daß zu x und y auch x [mm] \* [/mm] y in B liegt. Daher sind b) und c) erfüllt. Aber a) kann ich nicht herleiten, weil ich doch nicht gar nicht weiß, ob überhaupt irgend ein Element in B liegt. Die Implikation
Wenn x [mm] \in [/mm] B und y [mm] \in [/mm] B, dann auch x [mm] \* y^{-1} \in [/mm] B
ist doch auch wahr, wenn die Voraussetzung falsch ist, d. h. wenn B leer ist. Folglich sollte es in der Aufgabenstellung richtig heißen: Zeigen Sie, dass eine nicht-leere Teilmenge B von ...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Mi 11.10.2006 | | Autor: | Sharik |
Hallo statler,
vielen Dank für die Hilfe!
Ich glaube es jetzt verstanden zu haben und werde mich jetzt mal an ähnlichen Aufgaben versuchen...
Schönen Tag noch
Sharik
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