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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Di 10.04.2007 | | Autor: | Kyrill |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Sind [mm] {U_{i}}_{1\le i <\infty} [/mm] Untergruppen einer Gruppe G, so ist auch [mm] \bigcap_{i=1}^{\infty}U_{i} [/mm] eine Untergruppe von G. |
Hallo,
kann man bitte jemand bei der Aufgabe helfen? Wir sind in der Vorlesung noch nicht so weit. Gestern ist sie ausgefallen und wir haben vor dem Abgabentermin keine Vorlesung mehr.
Danke im Voraus!
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Hallo Kyrill,
zeige die 3 Untergruppenkriterien:
(1) $ [mm] W:=\bigcap_{i=1}^{\infty}U_{i} $\ne\emptyset
[/mm]
(2) [mm] $\forall u,v\in [/mm] W: [mm] u+v\in [/mm] W$
(3) [mm] $\forall u\in W\exists u^{-1}\in [/mm] W$
ich mach mal nen Ansatz für (1) und (2)
(1): Das neutrale Element $e$ von $U$ ist in allen [mm] $U_i$ [/mm] enthalten, da allesamt Untergruppen von $U$ sind,
Damit ist $e$ aber auch in $ [mm] \bigcap_{i=1}^{\infty}U_{i} [/mm] $,
also [mm] $W=\bigcap_{i=1}^{\infty}U_{i}\ne\emptyset$
[/mm]
(2) Seien [mm] $u,v\in\bigcap_{i=1}^{\infty}U_{i}\Rightarrow u,v\in U_i\forall [/mm] i$
Da alle [mm] $U_i$ [/mm] als Untergruppen ja Gruppen sind, ist also auch [mm] $u+v\in U_i\forall [/mm] i$
und damit [mm] $u+v\in\bigcap_{i=1}^{\infty}U_{i} [/mm] $
(3)....
Hoffe, das hilft dir weiter
Ach ja, wenn man's ganz genau nimmt, müsstest du eigentlich noch zeigen, dass $ [mm] \bigcap_{i=1}^{\infty}U_{i}\subset [/mm] U$, aber das ist eigentlich klar 
Gruß
schachuzipus
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