Untergruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 So 14.11.2004 | | Autor: | Selina |
Kann mir jemand hierbei helfen?
Es seien (A,°) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und B eine Untergruppe von A zeigen Sie:
a) {Ba l a Element A} ist eine Partitio von A. Dabei ist Ba :={b°a l b Element B}
b) lBl teilt lAl
c) Für alle a Element A gilt a^lAl= e
d) Für lAl>(gleich)2 gilt: lAl ist genau dann eine Primzahl, wenn{e} und A die einzigen Untergruppen von A sind.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Selina !
Ich weiss von der Materie nicht viel,aber was b) betrifft,
so weise ich Dich auf folgendes hin :
Sei A = { [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] } und B Untergruppe von A, dann
gilt :
A = [mm] Ba_{1}\cup Ba_{2} \cup [/mm] ... [mm] \cup Ba_{n}.
[/mm]
Dabei ist [mm] |Ba_{i}| [/mm] = |B| ,i = 1,2,...,n.
zu c) Ich gebe hier einen Beweis an.Ich habe ihn in "Elementare Zahlentheorie" von R.Remmert und P. Ullrich
gefunden.Vielleicht hilft es Dir.
Sei A = { [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] }eine endliche abelsche Gruppe.Für jedes a [mm] \in [/mm] A sind dann
[mm] ax_{1},...ax_{n} [/mm] paarweise verschieden,d.h.
A = { [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] } = { [mm] ax_{1},...,ax_{n} [/mm] }
Da A abelsch ist,so hat das Produkt aller Elemente aus A
unabhängig von ihrer Anordnung stets denselben Wert c, d.h.
c := [mm] \produkt_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} ax_{i} [/mm] = [mm] a^{n}c
[/mm]
Kürzen durch c ergibt die Behauptung.
q.e.d.
zu d):
d) folgt aus b) wenn man sich dabei noch klar macht,was
Primzahl bedeutet.
zu a) Der Begriff "Partitio" ist mir nicht bekannt.Vielleicht kannst Du ihn ja mal erklären.
Gruß thing-fish
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Selina!
Zeige, dass auf $A$ durch
[mm] $a_i \sim a_j \quad :\Leftrightarrow \quad a_i \circ a_j^{-1} \in [/mm] B$
eine Äquivalenzrelation gegeben wird (bei Nachweis einfach die Untergruppeneigenschaften von $B$ ausnutzen!).
Die Äquivalenzklassen sind dann wegen
[mm] $a_i \sim a_j \quad \Leftrightarrow \quad a_i \circ a_j^{-1} \in [/mm] B [mm] \quad \Leftrightarrow \quad \exists\, [/mm] b [mm] \in B\, [/mm] : [mm] \, a_i\circ a_j^{-1} \in [/mm] B [mm] \quad \Leftrightarrow \quad \exists\, [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \, [/mm] : [mm] \, a_i [/mm] = b [mm] \circ a_j$
[/mm]
gerade gegeben durch
[mm] $Ba_i= \{a \in A\, : \, \exists\, b \in B\, : \, a=b \circ a_i\}$.
[/mm]
Nun ja, und von Äquivalenzklassen auf einer endlichen Menge wissen wir ja, dass sie eine Partition auf der Menge bilden...
Liebe Grüße
Julius
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