Untergruppe, Homomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien G und H Gruppen und [mm] \phi [/mm] : G->H ein Homomorphismus.
Beweisen Sie:
Wenn B Untergruppe von H dann [mm] \phi^{-1} [/mm] (B) Untergruppe von G |
Hallo
Sei a,b [mm] \in \phi^{-1} [/mm] (B) beliebig
(dh [mm] \phi(a), \phi(b) \in [/mm] B)
ZuZeigen [mm] a*b^{-1} \in \phi^{-1} [/mm] (B) [mm] <=>\phi [/mm] (a [mm] b^{-1} [/mm] ) [mm] \in [/mm] B
Ich krieg da komischerweise nicht hin.
LG :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du hast noch gar nicht benutzt, dass [mm] \varphi [/mm] ein Homomorphismus ist. Wende das mal auf [mm] \varphi(ab^{-1}) [/mm] an.
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[mm] \phi(a b^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(a) \phi(b^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(a) \phi^{-1} [/mm] (b)
B ist eine Untergruppe, [mm] \phi(a) \phi^{-1} [/mm] (b) [mm] \in [/mm] B
SO passt es oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Teufel |
ja, also das ^{-1} muss noch nach rechts, damit man es nicht mit der Umkehrfunktion von [mm] \varphi [/mm] verwechselt. Aber ansonsten bis du fertig, ja. Denn [mm] \varphi(a)\in [/mm] B und [mm] \varphi(b)\in [/mm] B (und damit auch [mm] \varphi(^{b-1}\in [/mm] B). Also ist auch das Produkt von beiden in B, also ist [mm] ab^{-1}\in\varphi^{-1}(B).
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Sa 24.11.2012 | | Autor: | theresetom |
Danke , klar.
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