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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Di 08.11.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | Sei A eine abelsche Gruppe und [mm] B\subseteq [/mm] A eine Untergruppe.
Zeigen Sie:
Ist A endlich erzeugt, dann auch B. |
Hallo,
wenn A endlich erzeugt ist, so gibt es [mm] x_1,\ldots,x_n\in [/mm] A sodass für alle [mm] x\in [/mm] A gilt:
[mm] x=\sum_{i=1}^nm_i*x_i, m_i\in\IZ.
[/mm]
Hat jemand Tipps, wie ich weiter vorgehen könnte?
Vielen Dank!
Gruß,
pyw
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Di 08.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei A eine abelsche Gruppe und [mm]B\subseteq[/mm] A eine
> Untergruppe.
> Zeigen Sie:
>
> Ist A endlich erzeugt, dann auch B.
> Hallo,
>
> wenn A endlich erzeugt ist, so gibt es [mm]x_1,\ldots,x_n\in[/mm] A
> sodass für alle [mm]x\in[/mm] A gilt:
>
> [mm]x=\sum_{i=1}^nm_i*x_i, m_i\in\IZ.[/mm]
>
> Hat jemand Tipps, wie ich weiter vorgehen könnte?
Versuche das erst, fuer $A = [mm] \IZ^n$ [/mm] zu zeigen. Dann beachte, dass du jede endlich erzeugte abelsche Gruppe $A$ als [mm] $\IZ^n [/mm] / C$ schreiben kannst mit einer Untergruppe $C$. Dementsprechend ist $B$ von der Form $B' / C$ mit einer Untergruppe $B' [mm] \subseteq \IZ^n$. [/mm] Wenn $B'$ endlich erzeugt ist, so auch $B [mm] \cong [/mm] B' / C$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mi 09.11.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
danke für die Antwort.
> Versuche das erst, fuer [mm]A = \IZ^n[/mm] zu zeigen.
Jede Untergruppe von [mm] \IZ^n [/mm] ist frei, d.h. es existiert eine Basis [mm] x_1,\ldots,x_m [/mm] sodass jedes [mm] u\in [/mm] U eindeutig darstellbar ist als [mm] u=\sum_{i=1}^m m_i*x_i [/mm] für [mm] m_i\in\IZ. [/mm] (Das haben wir in der Vorlesung bewiesen).
Daraus folgt auch, dass U endlich erzeugt ist.
> Dann beachte, dass du jede endlich erzeugte abelsche Gruppe [mm]A[/mm] als [mm]\IZ^n / C[/mm]
> schreiben kannst mit einer Untergruppe [mm]C[/mm].
Ist dann C isomorph zur Torsionsgruppe von A?
> Dementsprechend ist [mm]B[/mm] von der Form [mm]B' / C[/mm] mit einer Untergruppe [mm]B' \subseteq \IZ^n[/mm].
> Wenn [mm]B'[/mm] endlich erzeugt ist, so auch [mm]B \cong B' / C[/mm].
Müsste ich dazu nicht erst noch nachweisen, dass B'/C endlich erzeugt ist?
Wenn B' Untergruppe von [mm] \IZ^n [/mm] ist, ist es endlich erzeugt. Wenn C isomorph zur Torsionsgruppe ist, dann ist C endlich. Wie folgt denn dann, das B'/C endlich erzeugt ist?
Tut mir leid, ich hab noch nicht wirklich einen Plan von Algebra und versuche diesen gerade zu bekommen.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Mi 09.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> danke für die Antwort.
> > Versuche das erst, fuer [mm]A = \IZ^n[/mm] zu zeigen.
> Jede Untergruppe von [mm]\IZ^n[/mm] ist frei, d.h. es existiert
> eine Basis [mm]x_1,\ldots,x_m[/mm] sodass jedes [mm]u\in[/mm] U eindeutig
> darstellbar ist als [mm]u=\sum_{i=1}^m m_i*x_i[/mm] für [mm]m_i\in\IZ.[/mm]
> (Das haben wir in der Vorlesung bewiesen).
> Daraus folgt auch, dass U endlich erzeugt ist.
>
> > Dann beachte, dass du jede endlich erzeugte abelsche Gruppe
> [mm]A[/mm] als [mm]\IZ^n / C[/mm]
> > schreiben kannst mit einer Untergruppe [mm]C[/mm].
> Ist dann C isomorph zur Torsionsgruppe von A?
> > Dementsprechend ist [mm]B[/mm] von der Form [mm]B' / C[/mm] mit einer
> Untergruppe [mm]B' \subseteq \IZ^n[/mm].
> > Wenn [mm]B'[/mm] endlich erzeugt ist, so auch [mm]B \cong B' / C[/mm].
>
> Müsste ich dazu nicht erst noch nachweisen, dass B'/C
> endlich erzeugt ist?
Ja. Aber das ist sehr einfach: wir $B'$ von [mm] $b_1, \dots, b_k$ [/mm] erzeugt, so wird $B'/C$ von [mm] $b_1 [/mm] + C, [mm] \dots, b_k [/mm] + C$ erzeugt.
Falls du das nicht siehst, versuche das zu verifizieren. Beachte dazu, dass jedes Element aus $B'/C$ von der Form $b + C$ ist mit $b [mm] \in [/mm] B'$, und du somit $b$ durch die [mm] $b_1, \dots, b_k$ [/mm] ausdruecken kannst.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Mi 09.11.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo felixf,
danke! Jetzt habe ich es verstanden.
Gruß,
pyw
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