Untergruppe der GL(2,C) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 Mo 15.11.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Es seien die Elemente
[mm] &\pmat{i & 0 \\ 0 & -i}, \pmat{0 & 1 \\ -1 & 0} \in GL(2,\IC)
[/mm]
gegeben.
Bestimmen Sie die Ordnung der durch die beiden Elemente erzeugten Untergruppe G. Welche Ordnung haben die Elemente? Was sind die Untergruppen? |
Hallo,
ich habe einige Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe und freue mich über jede Hilfe.
Zunächst habe ich die Ordnung der beiden Erzeuger bestimmt, Es ergibt sich jeweils 4. Also weiß ich nach dem Satz von Lagrange schon einmal, dass $4|ord(G)$.
Durch nachrechnen kann man zeigen, dass $G$ gerade alle Matrizen enthält, die [mm] $\pm [/mm] i$ oder [mm] $\pm [/mm] 1$ auf einer der beiden Diagonalen haben. Diese Gruppe hat insgesamt 16 Elemente. Nun kann man das sicher um einiges eleganter zeigen, als alle Elemente zu bestimmen und (wenn man die Muße besitzt) auch noch Abgeschlossenheit nachzuprüfen. Wie sähe also ein eleganterer Ansatz aus?
Die Elemente in $G$ haben die Ordnungen $1,2$ und $4$. Wie kann ich das beweisen ohne nachrechnen? Klar, sie müssen 16 teilen, aber warum gibt es beispielsweise kein Element der Ordnung 8?
Als Untergruppen enthält G natürlich [mm] $\left\{\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\right\}$ [/mm] (ziemlich langweilige Untergruppe), sowie [mm] $<\pmat{i & 0 \\ 0 & -i}>$ [/mm] und [mm] $<\pmat{0 & 1 \\ -1 & 0}>$. [/mm] Darüber hinaus enthält sie weitere Untergruppen der Ordnung 2, z.B. [mm] $<\pmat{-1 & 0 \\ 0 & -1}>$ [/mm] oder [mm] $<\pmat{-1 & 0 \\ 0 & 1}>$
[/mm]
Wie kann ich hier zu einer allgemeinen Aussage kommen?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Mo 15.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es seien die Elemente
> [mm]&\pmat{i & 0 \\ 0 & -i}, \pmat{0 & 1 \\ -1 & 0} \in GL(2,\IC)[/mm]
>
> gegeben.
> Bestimmen Sie die Ordnung der durch die beiden Elemente
> erzeugten Untergruppe G. Welche Ordnung haben die Elemente?
> Was sind die Untergruppen?
>
> ich habe einige Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe und
> freue mich über jede Hilfe.
>
> Zunächst habe ich die Ordnung der beiden Erzeuger
> bestimmt, Es ergibt sich jeweils 4. Also weiß ich nach dem
> Satz von Lagrange schon einmal, dass [mm]4|ord(G)[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Durch nachrechnen kann man zeigen, dass [mm]G[/mm] gerade alle
> Matrizen enthält, die [mm]\pm i[/mm] oder [mm]\pm 1[/mm] auf einer der
> beiden Diagonalen haben. Diese Gruppe hat insgesamt 16
> Elemente.
Das halte ich fuer ein Geruecht.
Genau die Aufgabe wurde uebrigens schon hier im Forum besprochen.
> Nun kann man das sicher um einiges eleganter
> zeigen, als alle Elemente zu bestimmen und (wenn man die
> Muße besitzt) auch noch Abgeschlossenheit nachzuprüfen.
> Wie sähe also ein eleganterer Ansatz aus?
Es versuchen so abstrakt wie moeglich zu beschreiben, und "Rechenregeln" zu finden.
Nennen wir die Erzeuger die du gegeben hast $I := [mm] \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }$ [/mm] und $J := [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }$. [/mm] Dann haben beide die Ordnung 4. Weiterhin ist [mm] $I^2 [/mm] = -1 = [mm] J^2$, [/mm] wobei 1 die Einheitsmatrix sei. Weiterhin ist $I J = -J I$.
Damit kannst du jedes Element in der von $I$ und $J$ erzeugten Untergruppe schreiben als [mm] $I^a J^b$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] a, b < 4$ (warum?).
Jetzt musst du davon noch ein paar Elemente identifizieren bzw. zeigen, dass sie alle verschieden sind.
Zum Beispiel ist ja [mm] $I^2 J^2 [/mm] = 1 = [mm] I^0 J^0$; [/mm] ist also $a, b [mm] \ge [/mm] 2$, so kannst du $(a, b)$ durch $(a - 2, b - 2)$ ersetzen. Damit gibt es hoechstens so viele verschiedene Elemente wie Paare $(a, b) [mm] \in \{ 0, 1, 2, 3 \}^2$, [/mm] die nicht $a, b [mm] \ge [/mm] 2$ erfuellen. Ist also $a = 0, 1$, so kann $b = 0, 1, 2, 3$ sein, womit es hier 8 Moeglichkeiten gibt. Ist $a = 2, 3$, so muss $b < 2$ sein, womit es nochmal vier gibt. Damit haben wir 12 Moeglichkeiten.
Kann man das noch weiter reduzieren? Ja, gibt es, da etwa [mm] $I^a J^2 [/mm] = [mm] -I^a [/mm] = [mm] I^{a+2 \text{ mod } 4}$ [/mm] ist.
Jetzt arbeite das mal weiter aus...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
erstmal danke für deine Hilfe, hat mich schon sehr viel weiter gebracht.
> Nennen wir die Erzeuger die du gegeben hast [mm]I := \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }[/mm]
> und [mm]J := \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm]. Dann haben beide die
> Ordnung 4. Weiterhin ist [mm]I^2 = -1 = J^2[/mm], wobei 1 die
> Einheitsmatrix sei. Weiterhin ist [mm]I J = -J I[/mm].
>
> Damit kannst du jedes Element in der von [mm]I[/mm] und [mm]J[/mm] erzeugten
> Untergruppe schreiben als [mm]I^a J^b[/mm] mit [mm]0 \le a, b < 4[/mm]
> (warum?).
>
> Jetzt musst du davon noch ein paar Elemente identifizieren
> bzw. zeigen, dass sie alle verschieden sind.
>
> Zum Beispiel ist ja [mm]I^2 J^2 = 1 = I^0 J^0[/mm]; ist also [mm]a, b \ge 2[/mm],
> so kannst du [mm](a, b)[/mm] durch [mm](a - 2, b - 2)[/mm] ersetzen. Damit
> gibt es hoechstens so viele verschiedene Elemente wie Paare
> [mm](a, b) \in \{ 0, 1, 2, 3 \}^2[/mm], die nicht [mm]a, b \ge 2[/mm]
> erfuellen. Ist also [mm]a = 0, 1[/mm], so kann [mm]b = 0, 1, 2, 3[/mm] sein,
> womit es hier 8 Moeglichkeiten gibt. Ist [mm]a = 2, 3[/mm], so muss
> [mm]b < 2[/mm] sein, womit es nochmal vier gibt. Damit haben wir 12
> Moeglichkeiten.
>
> Kann man das noch weiter reduzieren? Ja, gibt es, da etwa
> [mm]I^a J^2 = -I^a = I^{a+2 \text{ mod } 4}[/mm] ist.
>
> Jetzt arbeite das mal weiter aus...
>
> LG Felix
>
Ich habe mit deinen Tipps jetzt rausgefunden, dass die Gruppe aus 8 Elementen besteht, nämlich: [mm] $\{E,I,I^2,I^3,J,IJ,I^2J,I^3J\}$. [/mm] Die Ordnung der Elemente ist jeweils 4, mit Ausnahme von $I²$, das hat die Ordnung 2.
Weiterhin sind alle Untergruppen zyklisch, alle haben die Ordnung 4, außer die trivialen und die von $I²$ erzeugte, welche die Ordnung 2 hat. Es gilt außerdem [mm] $=, [/mm] <J>=<I^2J>, <IJ>=<I^3J>$. Damit gibt es insgesamt 6 Untergruppen, wobei die Gruppe selbst und [mm] $\{E\}$ [/mm] mitgezählt wurden.
Stimmt das so?
Nun soll ich in einer weiteren Teilaufgabe einen injektiven Gruppenhomomorphismus von G nach [mm] $S_n$, [/mm] mit einem $n [mm] \in \IN$ [/mm] finden. Nun ist G leider nicht isomorph zur [mm] $D_4$. [/mm] Ich weiß, dass es bis auf Isomorphie nur noch eine weitere nicht abelsche Gruppe der Ordnung 8 gibt, die Quaternionengruppe. Nun weiß ich jedoch nicht wie ich in einer symmetrischen Gruppe eine zur Quaternionengruppe isomorphe Gruppe finden kann. Habe es in der [mm] $S_8$ [/mm] versucht zu konstruieren, bin aber leider gescheitert. Wie kann ich hier vorgehen?
Vielen Dank für die Hilfe.
Grüße, Lippel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mi 17.11.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Ich habe mit deinen Tipps jetzt rausgefunden, dass die
> Gruppe aus 8 Elementen besteht, nämlich:
> [mm]\{E,I,I^2,I^3,J,IJ,I^2J,I^3J\}[/mm]. Die Ordnung der Elemente
> ist jeweils 4, mit Ausnahme von [mm]I^2[/mm], das hat die Ordnung
> 2.
> Weiterhin sind alle Untergruppen zyklisch, alle haben die
> Ordnung 4, außer die trivialen und die von [mm]I^2[/mm] erzeugte,
> welche die Ordnung 2 hat. Es gilt außerdem [mm]=, =, =[/mm].
> Damit gibt es insgesamt 6 Untergruppen, wobei die Gruppe
> selbst und [mm]\{E\}[/mm] mitgezählt wurden.
> Stimmt das so?
Das sieht gut aus.
> Nun soll ich in einer weiteren Teilaufgabe einen injektiven
> Gruppenhomomorphismus von G nach [mm]S_n[/mm], mit einem [mm]n \in \IN[/mm]
> finden. Nun ist G leider nicht isomorph zur [mm]D_4[/mm]. Ich weiß,
> dass es bis auf Isomorphie nur noch eine weitere nicht
> abelsche Gruppe der Ordnung 8 gibt, die Quaternionengruppe.
> Nun weiß ich jedoch nicht wie ich in einer symmetrischen
> Gruppe eine zur Quaternionengruppe isomorphe Gruppe finden
> kann. Habe es in der [mm]S_8[/mm] versucht zu konstruieren, bin aber
> leider gescheitert. Wie kann ich hier vorgehen?
Jede Gruppe der Ordnung n operiert durch Linksmultiplikation auf sich selbst und permutiert die Elemente, macht also genau das, was auch die [mm] S_n [/mm] machen würde. In diesem Falle: Du nimmst deine 8 Elemente wie oben, multiplizierst sie von links mit I (z. B.) und schaust, in welcher Reihenfolge sie jetzt stehen. Das gibt das Bild von I in [mm] S_8. [/mm] Usw.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Do 18.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo Dieter,
vielen Dank für deie Hilfe. So konnte man das ganze ja wirklich recht abstrakt zeigen ohne genau die Bilder der einzelnen Elemente in der [mm] $S_8$ [/mm] anzugeben, daran bin ihc nämlich verzweifelt.
Viele Grüße, Lippel
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