Untergruppe der Ordnung 12 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Mo 02.07.2007 | | Autor: | PaulP |
| Aufgabe | | [mm] S_4 [/mm] hat nur eine Untergruppe der Ordnung 12, nämlich [mm] A_4. [/mm] |
Hallo!
das dem so ist, ist mir klar. Ich hätte gerne eine Hilfestellung, wie ich das auch "schön" zeigen kann (also ohne Aufschreiben aller Untergruppen von [mm] S_4).
[/mm]
Geht das überhaupt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Mo 02.07.2007 | | Autor: | PaulP |
Danke!
gruß,
Paul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Mo 02.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Paul
> [mm]S_4[/mm] hat nur eine Untergruppe der Ordnung 12, nämlich [mm]A_4.[/mm]
Beachte, dass [mm] $S_4$ [/mm] genau $24 = 4!$ Elemente hat, also doppelt so viele wie [mm] $A_4$.
[/mm]
> Hallo!
> das dem so ist, ist mir klar. Ich hätte gerne eine
> Hilfestellung, wie ich das auch "schön" zeigen kann (also
> ohne Aufschreiben aller Untergruppen von [mm]S_4).[/mm]
Da der Index von [mm] $A_4$ [/mm] in [mm] $S_4$ [/mm] gerade 2 ist, ist [mm] $A_4$ [/mm] ein Normalteiler in [mm] $S_4$ [/mm] (das hattest du evtl. schonmal in der Vorlesung oder als Uebung; wenn nicht, das kann man einfach zeigen).
Nun ist es jedoch so, dass [mm] $S_4$ [/mm] nur vier Normalteiler hat: die triviale Untergruppe, [mm] $S_4$ [/mm] selber, [mm] $A_4$ [/mm] und eine Untergruppe mit vier Elementen. Daraus folgt also die Behauptung.
Aber warum ist das so? Das findest du z.B. hier 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:08 Di 03.07.2007 | | Autor: | PaulP |
Hmm, das mit dem Normalteiler sehe ich ein, aber warum gibt es nur eine Untergruppe der Ordnung 12? Ich sehe da keinen direkten Zusammenhang zum Normalteiler.
Gruß,
Paul
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> Hmm, das mit dem Normalteiler sehe ich ein, aber warum gibt
> es nur eine Untergruppe der Ordnung 12? Ich sehe da keinen
> direkten Zusammenhang zum Normalteiler.
Hallo,
wenn U mit |U|=12 eine Untergruppe von [mm] S_4 [/mm] ist, so ist Ihr Index =2, woraus folgt, daß U ein Normalteiler ist.
[mm] S_4 [/mm] hat aber nur einen Normalteiler mit 12 Elementen, nämlich [mm] A_4, [/mm] also ist [mm] U=A_4.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Do 05.07.2007 | | Autor: | PaulP |
Sorry, ich stehe immer noch aufm Schlauch...
Könnte es nicht eine Unterguppe der Ordnung 12 geben, die kein Normalteiler von [mm] S_4 [/mm] ist? Ich habe alle Untergruppen durchgerechnet, finde den Weg aber nicht so toll...
Gruß,
Paul
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> Könnte es nicht eine Unterguppe der Ordnung 12 geben, die
> kein Normalteiler von [mm]S_4[/mm] ist?
Hm. Ich dachte, ich hätte das beantwortet.
Also nochmal:
Nimm an, Du hast eine Untergruppe U mit 12 Elementen. Dann ist ihr Index=24/12=2.
Aus Index=2 folgt, daß U ein Normalteiler ist.
Du kannst also keine Untergruppe mit 12 Elementen finden, die kein Normalteiler ist.
Gruß v. Angela
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