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Hallo an Alle,
ich bin grad am Verzweifeln. Ich soll zeigen, dass die Menge
M={(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3),id}
ein Normalteiler der alternierenden Gruppe [mm] A_{4} [/mm] ist. Ich weiß, dass ich das Untergruppenkriterium hier anwenden muss und bekomme es aber nicht hin. Kann mir da vielleicht jemand helfen?
Zu dem Normalteiler. Ist M nach [mm] A_{4} [/mm] eine Untergruppe vom Index 2? Für solche Untergruppen haben wir in der Vorlesung gezeigt, dass sie Normalteiler sind. Das wäre dann also trivial. Gilt das?
Bitte um Hilfe!
VG mathmetzsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Man könnte es so zeigen:
Für alle $f [mm] \in A_4$ [/mm] gilt:
[mm] $f(i,j)(k,l)f^{-1} [/mm] = [mm] f(i,j)f^{-1}f(k,l)f^{-1} [/mm] = (f(i),f(j))(f(k),f(l)) [mm] \in [/mm] M$.
Das erscheint mir recht elegant *selbstlobend  *.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo,
danke für den Tipp. Das ist natürlich auch ne gute Variante das zu zeigen. Ich soll doch aber zeigen, dass M ein Normalteiler von [mm] A_{4} [/mm] ist. Geht das dafür analog? M enthält ja im Prinzip nur weniger Zykel als [mm] A_{4} [/mm] und zusätzlich die Identität.
Ach so, wir haben noch als Tipp bekommen, das folgende zu verwenden:
Sei (G,*) Gruppe und a,b aus G. Dann haben a und [mm] bab^{-1} [/mm] dieselbe Ordnung. Ich kann damit aber auch nicht so recht etwas anfangen und wollte daher plausibel machen, dass M den Index 2 hat.
Vielen Dank
mathmetzsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Sorry, ich hatte die Aufgabenstellung nicht richtig durchgelesen.
Ich editiere meine Antwort jetzt gleich mal...
Liebe Grüße
Stefan
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Super, elegant und einleuchtend.
Danke!
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