Untergruppemn u. Normalteiler < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Mo 01.06.2015 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | (G, [mm] \circ) [/mm] ist eine Gruppe. Beweisen oder widerlegen Sie:
a) Sind U und V Untergruppen von (G, [mm] \circ), [/mm] so ist U [mm] \cup [/mm] V eine Untergruppe von (G, [mm] \circ).
[/mm]
b) Sind U und V Normalteiler von (G, [mm] \circ), [/mm] so ist U [mm] \cup [/mm] V ein Normalteiler von (G, [mm] \circ).
[/mm]
c) Sind U und V Untergruppen von (G, [mm] \circ), [/mm] so ist UV eine Untergruppe von (G, [mm] \circ).
[/mm]
d) Sind U und V Normalteiler von (G, [mm] \circ), [/mm] so ist UV ein Normalteiler von (G, [mm] \circ).
[/mm]
e) Ist U eine Untergruppe von (G, [mm] \circ) [/mm] und V eine Untergruppe von (U, [mm] \circ), [/mm] so ist V eine Untergruppe von [mm] (G,\circ).
[/mm]
f) Ist U ein Normalteiler von (G, [mm] \circ) [/mm] und V ein Normalteiler von (U, [mm] \circ), [/mm] so ist V ein Normalteiler von (G, [mm] \circ). [/mm] |
Also meine Vorschläge:
a) Hier habe ich ein Gegenbeispiel:
Gruppe: [mm] \IZ_{6}
[/mm]
Untergruppen: [mm] U_{0}=\{0\}, U_{1}=\{0,1,2,3,4,5\}, U_{2}=\{0,2,4\}, U_{3}=\{0,3\} [/mm]
[mm] U_{2} \cup U_{3} =\{0,2,3,4\} [/mm] und das ist keine Untergruppe von [mm] \IZ_{6}.
[/mm]
b) hier bräuchte ich einen Tipp
c) [mm] (UV) (UV)^{-1}=U V V^{-1} U^{-1} \subset U V U^{-1} = V U U^{-1} \subset VU = UV [/mm] somit ist UV eine Untergruppe
d) [mm] a UV a^{-1}= a U a^{-1} a V a^{-1} \subset UV [/mm] , daher Normalteiler
e) hier bräuchte ich auch einen Tipp
f) hier bräuchte ich ebenfalls einen Tipp
Vielen Dank
riju
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Mo 01.06.2015 | | Autor: | hippias |
> (G, [mm]\circ)[/mm] ist eine Gruppe. Beweisen oder widerlegen Sie:
> a) Sind U und V Untergruppen von (G, [mm]\circ),[/mm] so ist U [mm]\cup[/mm]
> V eine Untergruppe von (G, [mm]\circ).[/mm]
> b) Sind U und V Normalteiler von (G, [mm]\circ),[/mm] so ist U [mm]\cup[/mm]
> V ein Normalteiler von (G, [mm]\circ).[/mm]
> c) Sind U und V Untergruppen von (G, [mm]\circ),[/mm] so ist UV
> eine Untergruppe von (G, [mm]\circ).[/mm]
> d) Sind U und V Normalteiler von (G, [mm]\circ),[/mm] so ist UV ein
> Normalteiler von (G, [mm]\circ).[/mm]
> e) Ist U eine Untergruppe von (G, [mm]\circ)[/mm] und V eine
> Untergruppe von (U, [mm]\circ),[/mm] so ist V eine Untergruppe von
> [mm](G,\circ).[/mm]
> f) Ist U ein Normalteiler von (G, [mm]\circ)[/mm] und V ein
> Normalteiler von (U, [mm]\circ),[/mm] so ist V ein Normalteiler von
> (G, [mm]\circ).[/mm]
> Also meine Vorschläge:
> a) Hier habe ich ein Gegenbeispiel:
> Gruppe: [mm]\IZ_{6}[/mm]
> Untergruppen: [mm]U_{0}=\{0\}, U_{1}=\{0,1,2,3,4,5\}, U_{2}=\{0,2,4\}, U_{3}=\{0,3\}[/mm]
>
> [mm]U_{2} \cup U_{3} =\{0,2,3,4\}[/mm] und das ist keine Untergruppe
> von [mm]\IZ_{6}.[/mm]
Richtig.
>
> b) hier bräuchte ich einen Tipp
Beachte, dass in einer abelschen Gruppe jede Untergruppe Normalteiler ist. Nun siehe a)
>
> c) [mm](UV) (UV)^{-1}=U V V^{-1} U^{-1} \subset U V U^{-1} = V U U^{-1} \subset VU = UV[/mm]
> somit ist UV eine Untergruppe
Begruende bitte den Schritt $U V [mm] U^{-1} [/mm] = V U [mm] U^{-1}$.
[/mm]
>
> d) [mm]a UV a^{-1}= a U a^{-1} a V a^{-1} \subset UV[/mm] , daher
> Normalteiler
Mal angenommen c) gilt nicht: Weshalb ist ueberhaupt $UV$ Untergruppe von $G$?
>
> e) hier bräuchte ich auch einen Tipp
Untersuche direkt das Untergruppenkriterium.
>
> f) hier bräuchte ich ebenfalls einen Tipp
Untersuche ebenso das Normalteilerkriterium.
>
> Vielen Dank
> riju
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