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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe.
a) Sei [mm] {U_{i}}_{i\inI} [/mm] eine Familie von Untergruppen von G. Zeige, dass der Durchschnitt [mm] \bigcap_{i\inI} U_{i} [/mm] wieder eine Untergruppe von G ist.
b) Zeige: Fuer eine beliebige Teilmenge M [mm] \subseteq [/mm] G ist
[M] := [mm] \bigcap [/mm] {U [mm] \le [/mm] G | M [mm] \subseteq [/mm] U}
die (bezueglich Inklusion) kleinste Untergruppe von G, die M enthält.
c) Sei U eine Untergruppe von G. Zeige, dass durch
g ~ h [mm] :\gdw hg^{-1} \in [/mm] U (g,h [mm] \in [/mm] G)
eine Aequivalenzrelation auf G definiert wird. Beschreibe die Aequivalenzklassen. |
Zu a)
[mm] U_{i} [/mm] = [mm] U_{1}, U_{2}, [/mm] ..., [mm] U_{i} [/mm] i [mm] \in [/mm] I
[mm] {I_{i}}_{i\inI} \subseteq [/mm] G
[mm] \bigcap_{i\inI} U_{i} \subseteq [/mm] G, falls gilt
(UG1) 0 [mm] \in \bigcap_{i\inI} U_{i}
[/mm]
(UG2) Aus x, y [mm] \in \bigcap_{i\inI} U_{i} [/mm] folgt x+y [mm] \in \bigcap_{i\inI} U_{i}
[/mm]
(UG3) Aus x [mm] \in \bigcap_{i\inI} U_{i} [/mm] folgt -x [mm] \in \bigcap_{i\inI} U_{i}
[/mm]
Gehört zum Beweis noch mehr dazu? Falls ja, weiß ich nicht was und wie ich das denn anstellen soll
zu b)
hab ich keine Ahnung! Kann mir jemand sagen, wie ich das zeigen soll?
zu c)
Aequivalenzrelation [mm] \gdw [/mm] R ist reflexiv, symmetrisch und transitiv
reflexiv [mm] \gdw \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G : (g,g) [mm] \in [/mm] R
symmetrisch [mm] \gdw [/mm] (g,h) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (h,g) [mm] \in [/mm] R [mm] \forall [/mm] g, h [mm] \in [/mm] G
transitiv [mm] \gdw [/mm] (g,h) [mm] \in [/mm] R und (h,i) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (g,i) [mm] \in [/mm] R [mm] \forall [/mm] g, h, i [mm] \in [/mm] G
Teilmengen h/~ := {g [mm] \in [/mm] G | g ~ h} (h [mm] \in [/mm] G) von G sind Aequivalenzklassen von ~
Reicht dies als Beweis? Wuesste sonst nocht, was ich wie zeigen soll.
Vielen Dank fuer Eure Hilfe
Mfg
Tobi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Do 16.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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