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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, mache gerade ein Übungsblatt und bin mir nicht sicher ob ich das Thema richtig verstanden habe.
Die Frage ist: G ist eine endliche Gruppe und [mm] e\not=a \in [/mm] G. Bezeichne mit <a> die von a erzeugte Untergruppe von G.
a)
M:={k [mm] \in \IN [/mm] \ {0} | [mm] a^{k}=e [/mm] }
Zeigen Sie, dass M nicht leer ist.
b)
Zeigen Sie: Es existiert ein l [mm] \in \IN, [/mm] so dass <a> = { [mm] e=a^{0},a=a^{1},a^{2},...,a^{l-1} [/mm] } und [mm] a^{i} \not= a^{j} [/mm] für alle i,j [mm] \in [/mm] {0,1,...,l-1}
Bei a) habe ich gesagt, dass e ja [mm] a^{0} [/mm] ist oder wenn a=1 ist auch [mm] 1^{1} [/mm] ein kann. Da k ja nicht Null sein darf muss k=1 : a=1 aber ein Element von M sein und somit ist M nicht leer.
Zu b) Muss ich da zeigen dass die Untergruppen Kriterien gelten? Also überprüfen auf
1) 0 [mm] \in [/mm] <a>
2) Aus x,y [mm] \in [/mm] <a> [mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] <a>
3) Aus x [mm] \in [/mm] <a> [mm] \Rightarrow [/mm] folgt -x [mm] \in [/mm] <a>
für l?
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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> Die Frage ist: G ist eine endliche Gruppe und [mm]e\not=a \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> G. Bezeichne mit <a> die von a erzeugte Untergruppe von
> G.
>
> a)
>
> M:={k [mm]\in \IN[/mm] \ {0} | [mm]a^{k}=e[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Zeigen Sie, dass M nicht leer ist.
> Bei a) habe ich gesagt, dass e ja [mm]a^{0}[/mm] ist oder wenn a=1
> ist auch [mm]1^{1}[/mm] ein kann. Da k ja nicht Null sein darf muss
> k=1 : a=1 aber ein Element von M sein und somit ist M nicht
> leer.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast also eine endliche Gruppe G. Aus dieser wird ein vom neutralen Element verschiedenes Element a genommen, und die von diesem erzeugte Untergruppe <a> betrachtet.
Ist Dir klar, welche Elemente in dieser Gruppe sind? Es ist [mm] =\{ a^n | n\in \IZ\}
[/mm]
Die Frage danach, ob nun die Menge M leer oder nichtleer ist, ist die Frage:
Gibt es eine natürliche Zahl mit [mm] a^n=e [/mm] ?
n=0 ist ausgeschlossen.
Du sagst nun: ja, es ist n=1, wenn a=1 ist, damit scheinst Du zu meinen a=e.
Aber dieser Fall ist auch ausgeschlossen, denn in der Aufgabenstellung steht ausdrücklich, daß man <a> für [mm] a\not=e [/mm] betrachten soll.
Du mußt Dir also etwas detailliertere Gedanken machen.
a ist ein beliebiges Element aus der endlichen Gruppe G. Ist für irgendein [mm] n\not=0 a^n=e?
[/mm]
Oder anders gefragt: kann es sein, daß es solch ein n nicht gibt?
In diese Richtung solltest Du weiterdenken.
> b)
>
> Zeigen Sie: Es existiert ein l [mm]\in \IN,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
so dass <a> = {
> [mm]e=a^{0},a=a^{1},a^{2},...,a^{l-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} und [mm]a^{i} \not= a^{j}[/mm]
> für alle i,j [mm]\in[/mm] {0,1,...,l-1}
> Zu b) Muss ich da zeigen dass die Untergruppen Kriterien
> gelten?
Nein.
Es geht darum zu zeigen, daß man solch ein l findet, daß also jedes Element von <a> in [mm] \{e=a^{0},a=a^{1},a^{2},...,a^{l-1}\} [/mm] liegt.
Aufmerke: [mm] \{e=a^{0},a=a^{1},a^{2},...,a^{l-1}\} [/mm] ist endlich!
Die Aufgabe ist eng verknüpft mit der ersten.
Gruß v. Angela
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Hey, danke für die schnelle und ausführliche Antwort. Leider stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch und brauche noch etwas Rückenwind.
Ich sehe ein, dass n nicht 0 und a auch nicht e sein darf.
Muss ich den Term erweitern oder wie komme ich da weiter?
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> Hey, danke für die schnelle und ausführliche Antwort.
> Leider stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch und brauche
> noch etwas Rückenwind.
> Ich sehe ein, dass n nicht 0 und a auch nicht e sein darf.
> Muss ich den Term erweitern oder wie komme ich da weiter?
Hallo,
nein, das ist keine Rechen- sondern eine Denkarbeit.
Überlege Dir mal, ob die [mm] a,a^2,a^3,a^4, a^5,... [/mm] alle verschieden sein können.
Gruß v. Angela
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kann das bedeuten, das [mm] a^{n} [/mm] das neutrale Element in der Gruppe <a> ist? .
Dann könnte ja gelten, dass: $ [mm] a=a^2=a^3=a^4=a^5=... [/mm] $
M ist dann nicht leer da ja das neutrale Element drin ist.
Ist weit hergeholt und wahrscheinlich nicht richtig aber meine letzte Hoffnung.
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> kann das bedeuten, das [mm]a^{n}[/mm] das neutrale Element in der
> Gruppe <a> ist? .
Hallo,
was meinst Du denn mit n, und was hast Du Dir überlegt?
Wenn Du etwas mitteilsamer bist, kann man besser entscheiden, ob es falsch oder richtig ist.
Du darfst hier ruhig auch falsche Gedanken äußern, das Schlimmste, was passieren kann, ist, daß Du vom etwaigen Stöhnen etwas merkst. Oft wirst Du mit Fragen rechnen müssen, die Dich in die richtige Richtung führen sollen.
Von der Tendenz her: richtige Richtung.
> M ist dann nicht leer da ja das neutrale Element drin ist.
Was meinst Du damit?
Vergegenwärtige Dir nochmal, was in M gesammelt wird - die Null ist gewiß nicht drin und auch nicht die 1.
Gruß v. Angela
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Wir haben uns überlegt, dass [mm] a^{k} [/mm] = e nur gelten kann, wenn [mm] a^{k} [/mm] das neutrale Element ist für alle k /in /IN .
Dann sind aber alle k in M bis auf 0, da das ja ausgeschlossen wurde.
Kann das sein?
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> Wir haben uns überlegt, dass [mm]a^{k}[/mm] = e nur gelten kann,
> wenn [mm]a^{k}[/mm] das neutrale Element ist für alle k /in /IN .
Hallo,
nein, das stimmt erstens nicht, und zweitens würde das bedeuten, daß [mm] a^1=e [/mm] ist, und dieser Fall wird ausdrücklich nicht betrachtet.
Ich habe das dumpfe Gefühl, daß Du oder Ihr gar nicht wißt, worum es geht.
Wir machen jetzt ein Beispiel.
Wir betrachten die Gruppe G, die die Drehungen um den Nullpunkt um 0° [mm] (e),60°(d_1),120°(d_2), 180°(d_3), 240°(d_4), [/mm] 300° [mm] (d_5) [/mm] enthält, die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung.
Diese Gruppe G ist von endlicher Ordnung, sie enthält nur 6 Elemente.
Jetzt schauen wir die von [mm] d_1 [/mm] erzeugte Untergruppe an.
Sie enthält (schau unbedingt nach, ob das zu dem paßt, was Ihr irgendwo aufgeschrieben habt), sämtliche ganzzahlige Potenzen von [mm] d_1.
[/mm]
Also ist [mm] =\{... d_1^{-2}, d_1^{-1}, e, d_1,d_1^2, d_1^3, d_1^4, d_1^5, d_1^6, d_1^7...\}.
[/mm]
Schauen wir uns die Elemente in [mm] [/mm] an, so stellen wir fest:
[mm] d_1^7: [/mm] 7mal nacheinander um 120°gedreht ist dasselbe wie um 120° gedreht, also [mm] d_2
[/mm]
[mm] d_1^6: [/mm] 6mal nacheinander um 120°gedreht ist dasselbe wie um 0° gedreht, also e
Stop! Hier haben wir ein Element der Menge M gefunden, welche die ganzen Zahlen k aufnimmt, für welche [mm] d_1^k=e [/mm] ist. (Daß es solch ein Element gibt, ist in Aufg. a) zu zeigen. Für den konkreten Fall wären wir fertig.)
Ich denke, an diesem Beispiel wird Dir klar, daß die Menge M durchaus "viele" Elemente enthält - und 0 und 1 sind nicht dabei, genauso wenig, wie [mm] d_1=e [/mm] ist.
In Aufgabe b) sollst Du zeigen, daß Du diese erzeugte Untergruppe die Menge ist, die alle positiven Potenzen bis zu einer bestimmten enthält, und daß man dies bestimmte Potenz so wählen kann, daß alle Potenzen von [mm] d_1 [/mm] bis zu dieser verschieden sind.
Für unser Beispiel gelingt das sehr gut, es ist ja [mm] =\{e, d_1,d_1^1\}, [/mm] in unserem Fall wäre das l der Aufgabenstellung =3. Das erste pos. l übrigens, für welches [mm] d_1^l=e [/mm] ist.
Ich habe die große Hoffnung, daß Du jetzt ansatzweise verstanden hast, worum es überhaupt geht.
Laß uns nun zur Aufgabe zurückkehren und die Sache etwas in Schwung bringen.
zu a)
<a> enthält alle ganzzahligen Potenzen von a. Nun ist die Gruppe G, der a entnommen ist, endlich.
Kann es denn sein, daß all diese Potenzen von a verschieden sind? Wohl kaum.
Also sind mindestens zwei gleich. Etwa [mm] a^r=a^s [/mm] für [mm] r\not=s.
[/mm]
An dieser Stelle mach weiter. Du mußt die Untergruppeneigenschaften verwenden, insbesondere die Tatsache, daß in Gruppen jedes Element ein inverses hat. Dann hast Du bald ein Element in den Händen, welches Du in die Menge M stecken kannst.
zu b)
Hier ist es ein brandheißer Tip, sich das kleinste Element der Menge M zu schnappen.
Gruß v. Angela
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