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| Aufgabe | Wir betrachten die Gruppe G = R\ {0} der von Null verschiedenen reellen
Zahlen mit der Gruppenoperation Multiplikation. Welche der folgenden Teilmengen
U [mm] \subset [/mm] G ist eine Untergruppe. Begründen Sie Ihre Aussagen!
U1= { u [mm] \in [/mm] G | u>0}
U2= { u [mm] \in [/mm] G | |u| = 1}
U3= { u [mm] \in [/mm] G | u > [mm] \bruch{1}{2} [/mm] }
U4= { u [mm] \in [/mm] G | u [mm] \in \IQ [/mm] }
U5= { u [mm] \in [/mm] G | ln(|u|) [mm] \in \IQ [/mm] }
U6= { u [mm] \in [/mm] G | u>0 und ln(u) [mm] \in \IZ [/mm] } |
Hi,
so nun habe ich mal die Untergrp-Kriterien zusammen gesucht:
1. a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] U und [mm] a\in [/mm] U [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] U und U [mm] \not= [/mm] {}
2. a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \circ b^{-1} \in [/mm] U
Ich hatte auch gesehen, dass das 2. Krit. eine Folgerung des ersten ist. Das bedeutet doch, es genügt, das 2. Krit. zu zeigen, oder?
Mein Ansatz für i:
1. Krit.: seien a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] ab=c mit c>0 weil a>0 und b>0 [mm] \Rightarrow [/mm] ab=c [mm] \in [/mm] U
a [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow a^{-1} [/mm] = 1/a > 0 für alle a [mm] \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] U ist Untergrp.
2. Krit.: seien a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow b^{-1} [/mm] = 1/b >0 und somit [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \bruch{1}{b} [/mm] = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] mit a,b>0 [mm] \Rightarrow \bruch{a}{b} [/mm] > 0 und somit [mm] \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] U ist Untergrp.
Stimmen meine Aussagen? Und kann ich entweder Weg 1. oder 2. wählen?
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> Wir betrachten die Gruppe G = R\ {0} der von Null
> verschiedenen reellen
> Zahlen mit der Gruppenoperation Multiplikation. Welche der
> folgenden Teilmengen
> U [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G ist eine Untergruppe. Begründen Sie Ihre
> Aussagen!
>
> U1= { u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G | u>0}
>
> U2= { u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G | |u| = 1}
>
> U3= { u [mm]\in[/mm] G | u > [mm]\bruch{1}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> U4= { u [mm]\in[/mm] G | u [mm]\in \IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> U5= { u [mm]\in[/mm] G | ln(|u|) [mm]\in \IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> U6= { u [mm]\in[/mm] G | u>0 und ln(u) [mm]\in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Hi,
>
Hallo,
> so nun habe ich mal die Untergrp-Kriterien zusammen
> gesucht:
>
> 1. a,b [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\circ[/mm] b [mm]\in[/mm] U und [mm]a\in[/mm] U [mm]\Rightarrow a^{-1} \in[/mm] U und U [mm]\not=[/mm] {}
>
> 2. a,b [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\circ b^{-1} \in[/mm] U
Auch hier ist wichtig, daß [mm] U\not=\emptyset.
[/mm]
>
> Ich hatte auch gesehen, dass das 2. Krit. eine Folgerung
> des ersten ist.
Ja, das hast Du nicht nur gesehen, Du kannst sicher auch zeigen, daß die Kriterien äquivalent sind.
>Das bedeutet doch, es genügt, das 2. Krit.
> zu zeigen, oder?
Klar.
>
> Mein Ansatz für i:
>
> 1. Krit.: seien a,b [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] ab=c mit c>0 weil a>0
> und b>0 [mm]\Rightarrow[/mm] ab=c [mm]\in[/mm] U
Ich würd's lieber so schreiben:
seien a,b [mm] $\in$ [/mm] U [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ab>0, denn a>0 und b>0.
Also ist [mm] ab\in [/mm] U.
>
> a [mm]\in[/mm] U .
Weil [mm] a\not=0 [/mm] gibt es das Inverse
> [mm] a^{-1}[/mm] = 1/a
und weil a>0 ist nach ...
> [mm] a^{-1}> [/mm] 0 für alle a [mm]\in[/mm] U
Also ist [mm] a^{-1}\in [/mm] U für alle [mm] a\in [/mm] U.
Du mußt noch ein Element nennen, welches in U ist oder zumindest schreiben, daß U "offensichtlich nichtleer" ist.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] U ist Untergrp.
>
> 2. Krit.: seien a,b [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow b^{-1}[/mm] = 1/b >0 und
> somit [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\bruch{1}{b}[/mm] = [mm]\bruch{a}{b}[/mm] mit
> a,b>0 [mm]\Rightarrow \bruch{a}{b}[/mm] > 0 und somit [mm]\in[/mm] U
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] U ist Untergrp.
Auch hier würde ich noch sagen, warum das Inverse existiert.
LG Angela
>
> Stimmen meine Aussagen? Und kann ich entweder Weg 1. oder
> 2. wählen?
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Hu hu, da bin ich wieder. ;)
U1, U2, habe ich dann in den Griff bekommen und
U3 sieht so aus:
sei a=3 [mm] \in [/mm] U3 [mm] \Rightarrow a^{-1} [/mm] = 1/3 <1/2 , also [mm] a^{-1} \not\in [/mm] U3 [mm] \Rightarrow [/mm] U3 ist nicht Untergrp.
Nun U4:
U4 [mm] \not= [/mm] {}
u = [mm] \bruch{m}{n} \in \IQ [/mm] , mit m,n [mm] \in \IZ
[/mm]
seien a,b [mm] \in \IQ \Rightarrow [/mm] a= [mm] \bruch{m}{n} [/mm] und b= [mm] \bruch{k}{l} [/mm] , mit m,n,k,l [mm] \in \IZ
[/mm]
ab= [mm] \bruch{m}{n} [/mm] * [mm] \bruch{k}{l} [/mm] = [mm] \bruch{mk}{nl} [/mm] mit mk, nl [mm] \in \IZ \Rightarrow [/mm] ab= [mm] \bruch{mk}{nl} \in \IQ [/mm] , also ab [mm] \in [/mm] U4
a = [mm] \bruch{m}{n} \in \IQ \Rightarrow a^{-1} =\bruch{n}{m} \in \IQ [/mm] , also [mm] a^{-1} \in [/mm] U4
[mm] \Rightarrow [/mm] U4 ist Untergrp.
Stimmt das?
Und jetzt U5, da hänge ich etwas...mein Vorschlag:
U5 [mm] \not= [/mm] {}
sei a [mm] \in [/mm] U5 [mm] \Rightarrow [/mm] ln(|a|)= [mm] \bruch{m}{n} [/mm] mit m,n [mm] \in \IN
[/mm]
a [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow |a^{-1}| [/mm] = | [mm] \bruch{1}{a} [/mm] | > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] ln(| [mm] \bruch{1}{a} [/mm] |) = ln(1) - ln(|a|) = 0- ln(|a|) = - [mm] \bruch{m}{n} \in \IQ [/mm] also [mm] a^{-1} \in [/mm] U5
seien [mm] a,b^{-1} \in [/mm] U5 [mm] \Rightarrow ln(|ab^{-1}|)=ln(| \bruch{a}{b}|)=ln(|a|)-ln(|b|)= \bruch{m}{n} -\bruch{k}{l} [/mm] = [mm] \bruch{ml-kn}{nl}
[/mm]
mit ml-kn [mm] \in \IZ [/mm] und nl [mm] \in \IN \Rightarrow \bruch{ml-kn}{nl} \in \IQ [/mm] also [mm] \bruch{ml-kn}{nl} \in [/mm] U5
[mm] \Rightarrow [/mm] U5 ist Untergrp.
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Mi 02.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Big_Head,
> U3 sieht so aus:
>
> sei a=3 [mm]\in[/mm] U3 [mm]\Rightarrow a^{-1}[/mm] = 1/3 <1/2 , also [mm]a^{-1} \not\in[/mm]
> U3 [mm]\Rightarrow[/mm] U3 ist nicht Untergrp.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun U4:
>
> U4 [mm]\not=[/mm] {}
>
> u = [mm]\bruch{m}{n} \in \IQ[/mm] , mit m,n [mm]\in \IZ[/mm]
>
> seien a,b [mm]\in \IQ \Rightarrow[/mm] a= [mm]\bruch{m}{n}[/mm] und b=
> [mm]\bruch{k}{l}[/mm] , mit m,n,k,l [mm]\in \IZ[/mm]
>
> ab= [mm]\bruch{m}{n}[/mm] * [mm]\bruch{k}{l}[/mm] = [mm]\bruch{mk}{nl}[/mm] mit mk,
> nl [mm]\in \IZ \Rightarrow[/mm] ab= [mm]\bruch{mk}{nl} \in \IQ[/mm] , also ab
> [mm]\in[/mm] U4
>
> a = [mm]\bruch{m}{n} \in \IQ \Rightarrow a^{-1} =\bruch{n}{m} \in \IQ[/mm]
> , also [mm]a^{-1} \in[/mm] U4
> [mm]\Rightarrow[/mm] U4 ist Untergrp.
> Und jetzt U5, da hänge ich etwas...mein Vorschlag:
>
> U5 [mm]\not=[/mm] {}
(Warum?)
> sei a [mm]\in[/mm] U5 [mm]\Rightarrow[/mm] ln(|a|)= [mm]\bruch{m}{n}[/mm] mit m,n [mm]\in \IN[/mm]
[mm] $\IZ$ [/mm] statt [mm] $\IN$ [/mm] (Logarithmen können auch negativ sein.)
> a [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow |a^{-1}|[/mm] = | [mm]\bruch{1}{a}[/mm] | > 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] ln(| [mm]\bruch{1}{a}[/mm] |) = ln(1) - ln(|a|) = 0-
> ln(|a|) = - [mm]\bruch{m}{n} \in \IQ[/mm] also [mm]a^{-1} \in[/mm] U5
(Das bräuchtest du gar nicht, wenn du Kriterium 2. anwendest.)
> seien [mm]a,b^{-1} \in[/mm] U5 [mm]\Rightarrow ln(|ab^{-1}|)=ln(| \bruch{a}{b}|)=ln(|a|)-ln(|b|)= \bruch{m}{n} -\bruch{k}{l}[/mm]
> = [mm]\bruch{ml-kn}{nl}[/mm]
>
> mit ml-kn [mm]\in \IZ[/mm] und nl [mm]\in \IN \Rightarrow \bruch{ml-kn}{nl} \in \IQ[/mm]
> also [mm]\bruch{ml-kn}{nl} \in[/mm] U5
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] U5 ist Untergrp.
Viele Grüße
Tobias
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U5 [mm] \not= [/mm] {} , weil z.B. [mm] ln(e^{\bruch{3}{4}})= \bruch{3}{4} \in [/mm] U5 mit [mm] e^{\bruch{3}{4}} \in \IR
[/mm]
Muss man beim 2. Krit. nicht wenigstens die Existens des Inversen zeigen?
Und für U6 habe ich:
sei [mm] a=e^{-2} [/mm] > 0 und [mm] \in \IR \Rightarrow ln(e^{-2})=-2 \in \IZ
[/mm]
U6={...; -2 ;...} [mm] \not= [/mm] {}
sei a [mm] \in [/mm] U6, a>0 [mm] \Rightarrow a^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} \Rightarrow [/mm] ln(1/a)=ln(a) [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] U6
seien [mm] a,b^{-1} \in [/mm] U6
[mm] \Rightarrow [/mm] ln( [mm] ab^{-1})=\underbrace{ln(a)}_{=\in \IZ}- \underbrace{ln(b)}_{=\in \IZ} \in \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] U6 ist Untergruppe
Jetzt passt das ja nicht mit dem was vorhin mal über U6 gesagt wurde... :(
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 17:28 Mi 02.05.2012 | | Autor: | tau |
U5 ist eine GRuppe und U6 ist keine Gruppe, weil hier die Abgeschlossenheit völlig versagt!
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