Untergruppen der ganzen Zahlen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Mi 28.10.2015 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Zu zeigen ist folgende Aussage:
Ist (A +) eine Untergruppe von [mm] (\IZ [/mm] +) , so muss A für irgendein [mm] d\in\IN_{0} [/mm] von der Form dA sein. |
Den "herkömmlichen" Beweis für diese Aufgabe kenne ich bereits. Ich würde es gerne anders beweisen, bevor ich mir jedoch die Mühe gebe, wollte ich hier mal nachfragen ob das so geht von meiner Konstruktion her:
Sei Q irgendeine Menge für die gilt [mm] d\IZ\cap\\Q=\{\}
[/mm]
desweiteren soll [mm] (d\IZ\cup\\Q [/mm] +) eine Untergruppe von [mm] (\IZ [/mm] +) sein. Ich will jetzt eine Induktion nach d führen und dann zeigen, dass für jedes d dann automatisch Q={} folgt.
Damit würde ich ja sagen, dass wenn ich [mm] d\IZ [/mm] mit einer anderen Menge disjunkt vereinige, dass diese dann leer ist, denn sonst hätte ich ja eine Untergruppe gefunden, die sich nicht durch [mm] d\IZ [/mm] darstellen ließe oder?
Danke im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mi 28.10.2015 | | Autor: | hippias |
Fuer Deinen Gedankengang setzt Du also voraus, dass [mm] $Q\cap d\IZ=\emptyset$ [/mm] fuer alle $d$ ist (und sicherlich [mm] $Q\subseteq \IZ$). [/mm] Dann ist $Q= [mm] \emptyset$ [/mm] trivial: waehle $d=1$.
Aber was ich nicht verstehe: was hat $Q$ mit $A$ zu tun?
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