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| Aufgabe | | Geben Sie die Untergruppen von [mm] V_{4}, \IZ_{4} [/mm] und [mm] \IZ_{2}\times\IZ_{3} [/mm] an. |
Hallo Leute!
Ich weiß, dass Untergruppen die gleichen neutralen Elemente, gleiche Inverse haben. Für [mm] V_{4} [/mm] ist e neutral und jedes Element a, b, c selbstinvers. Wie kann ich daraus auf Untergruppen schließen, einfaches Ausprobieren?
Genauso bei [mm] \IZ_{4}. [/mm] Mein Problem ist, dass ja keine Verknüpfung gegeben ist, muss ich die nicht wissen? Es ist ja ein Unterschied, ob ich "mal modulo 4" oder "plus modulo 4" rechne. Gibt es also allgemein ein Schema, nach dem man vorgehen kann?
Ich könnte auch den Satz anwenden, dass wenn für a, b [mm] \in [/mm] U (für Untergruppe) auch [mm] a*b^{-1} \in [/mm] U folgt [mm] \Rightarrow [/mm] U = Untergruppe, aber das wäre ja auch eher Ausprobieren, oder?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Erdbeerrose
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 So 08.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Geben Sie die Untergruppen von [mm]V_{4}, \IZ_{4}[/mm] und
> [mm]\IZ_{2}\times\IZ_{3}[/mm] an.
>
> Hallo Leute!
> Ich weiß, dass Untergruppen die gleichen neutralen
> Elemente, gleiche Inverse haben. Für [mm]V_{4}[/mm] ist e neutral
> und jedes Element a, b, c selbstinvers. Wie kann ich daraus
> auf Untergruppen schließen, einfaches Ausprobieren?
Mach es etwas geschickter:
1) Wie gross sind die Untergruppen? (Lagrange)
2) Untergruppen von Primzahlordnung sind zyklisch! Um die zu finden brauchst du also ein Element aus der Gruppe welches diese Ordnung hat.
(Hier kommt nur 2 in Frage, im Allgemeinen koennen aber verschiedene Elemente der gleichen Ordnung die gleiche Untergruppe erzeugen. Hier kann das nicht sein, da eine Untergruppe dre Ordnung 2 nur aus dem neutralen Element und einem Element der Ordnung 2 besteht.)
> Genauso bei [mm]\IZ_{4}.[/mm] Mein Problem ist, dass ja keine
> Verknüpfung gegeben ist, muss ich die nicht wissen? Es ist
> ja ein Unterschied, ob ich "mal modulo 4" oder "plus modulo
> 4" rechne. Gibt es also allgemein ein Schema, nach dem man
> vorgehen kann?
[mm] $\IZ_4$ [/mm] mit Multiplikation modulo 4 ist keine Gruppe. Wenn man von Gruppen redet und [mm] $\IZ_4$ [/mm] schreibt, ist immer die Addition als Gruppenoperation gemeint.
Wenn man dagegen [mm] $\IZ_4^\ast$ [/mm] schreibt, ist die multiplikative Gruppe gemeint (die in diesem Fall nur zwei Elemente hat).
> Ich könnte auch den Satz anwenden, dass wenn für a, b [mm]\in[/mm]
> U (für Untergruppe) auch [mm]a*b^{-1} \in[/mm] U folgt [mm]\Rightarrow[/mm] U
> = Untergruppe, aber das wäre ja auch eher Ausprobieren,
> oder?
Nun, benutz lieber 1) und 2) von oben. Das geht hier sehr schnell.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke auch hier für die Antwort. Ein wenig stehe ich aber immer noch auf dem Schlauch...
Zu:
> 1) Wie gross sind die Untergruppen? (Lagrange)
Was meinst du in dem Zusammenhang mit Lagrange? Also, ich weiß, dass die Untergruppenordnung immer Teiler der Gruppenordnung ist, meinst du das? Also in diesem Fall ist die Ordnung der Gruppe 4, also kann die Untergruppenordnung nur trivial, also 1 bzw. 4 oder eben 2 sein. War das gemeint?
> 2) Untergruppen von Primzahlordnung sind zyklisch! Um die
> zu finden brauchst du also ein Element aus der Gruppe
> welches diese Ordnung hat.
Wie denn EIN Element der Gruppe mit der Ordnung? Das habe ich noch nie gehört... zyklisch heißt ja, ich finde ein einziges Element, mit dem ich alle anderen Elemente erzeugen kann. Soweit ist mir das klar, aber wie gesagt, ich weiß nicht, was du mit "Element der Ordnung 2" meinst...
> (Hier kommt nur 2 in Frage, im Allgemeinen koennen aber
> verschiedene Elemente der gleichen Ordnung die gleiche
> Untergruppe erzeugen. Hier kann das nicht sein, da eine
> Untergruppe dre Ordnung 2 nur aus dem neutralen Element und
> einem Element der Ordnung 2 besteht.)
>
> > Genauso bei [mm]\IZ_{4}.[/mm] Mein Problem ist, dass ja keine
> > Verknüpfung gegeben ist, muss ich die nicht wissen? Es ist
> > ja ein Unterschied, ob ich "mal modulo 4" oder "plus modulo
> > 4" rechne. Gibt es also allgemein ein Schema, nach dem man
> > vorgehen kann?
>
> [mm]\IZ_4[/mm] mit Multiplikation modulo 4 ist keine Gruppe. Wenn
> man von Gruppen redet und [mm]\IZ_4[/mm] schreibt, ist immer die
> Addition als Gruppenoperation gemeint.
>
Ach natürlich, da hast du recht!!!
> Wenn man dagegen [mm]\IZ_4^\ast[/mm] schreibt, ist die
> multiplikative Gruppe gemeint (die in diesem Fall nur zwei
> Elemente hat).
>
> > Ich könnte auch den Satz anwenden, dass wenn für a, b [mm]\in[/mm]
> > U (für Untergruppe) auch [mm]a*b^{-1} \in[/mm] U folgt [mm]\Rightarrow[/mm] U
> > = Untergruppe, aber das wäre ja auch eher Ausprobieren,
> > oder?
>
> Nun, benutz lieber 1) und 2) von oben. Das geht hier sehr
> schnell.
Und in welchen Fällen geht das nicht so schnell? Wahrscheinlich bei größeren Gruppen, aber hilft mir der Satz dann weiter?
Vielen Dank bereits jetzt!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mo 09.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Erdbeerrose
> > 1) Wie gross sind die Untergruppen? (Lagrange)
>
> Was meinst du in dem Zusammenhang mit Lagrange? Also, ich
> weiß, dass die Untergruppenordnung immer Teiler der
> Gruppenordnung ist, meinst du das? Also in diesem Fall ist
> die Ordnung der Gruppe 4, also kann die Untergruppenordnung
> nur trivial, also 1 bzw. 4 oder eben 2 sein. War das
> gemeint?
Ja, das war gemeint.
> > 2) Untergruppen von Primzahlordnung sind zyklisch! Um die
> > zu finden brauchst du also ein Element aus der Gruppe
> > welches diese Ordnung hat.
>
> Wie denn EIN Element der Gruppe mit der Ordnung? Das habe
> ich noch nie gehört... zyklisch heißt ja, ich finde ein
> einziges Element, mit dem ich alle anderen Elemente
> erzeugen kann. Soweit ist mir das klar, aber wie gesagt,
> ich weiß nicht, was du mit "Element der Ordnung 2"
> meinst...
Wie sieht die erzeugte Untergruppe von einem Element mit Ordnung 2 aus?
> > Nun, benutz lieber 1) und 2) von oben. Das geht hier sehr
> > schnell.
> Und in welchen Fällen geht das nicht so schnell?
Z.B. bei $G = [mm] S_{10}$.
[/mm]
> Wahrscheinlich bei größeren Gruppen, aber hilft mir der
> Satz dann weiter?
Der Satz hilft dir nicht wirklich weiter. Das ist die normale Charakterisierung wie eine Untergruppe aussieht. Im Detail hilft er vielleicht an manchen Ecken und Kanten (wenn man ihn nicht eh schon als selbstversteandlich ansieht). Aber bei der eigenlichten Aufgabe (Untergruppen finden) hilft er dir nicht wirklich weiter...
LG Felix
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Hallo Felix!
Danke für deine Antwort, aber obwohl mir einige Lichtlein aufgegangen sind, habe ich das folgende noch nicht ganz verstanden...
Also...
> Wie sieht die erzeugte Untergruppe von einem Element mit
> Ordnung 2 aus?
Ich kann mir nach wie vor nichts unter "Element mit Ordnung 2" vorstellen. Eine Untergruppe der Ordnung 2 hat zwei Elemente, soweit das. Meinst du damit, dass ich ein Element habe, was dann ein WEITERES erzeugen kann, so dass ich zwei erhalte? Ist also ein Element der Ordnung 2 ein Element, was natürlich sich selbst und ein weiteres ergibt?
Ich danke dir!!!
LG Erdbeerrose
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> Ich kann mir nach wie vor nichts unter "Element mit Ordnung
> 2" vorstellen.
Hallo,
ein Element der Orndung 2 ist vom neutralen Element verschieden und ergibt mit sich selbst verknüpft das neutrale.
Gruß v. Angela
Eine Untergruppe der Ordnung 2 hat zwei
> Elemente, soweit das. Meinst du damit, dass ich ein Element
> habe, was dann ein WEITERES erzeugen kann, so dass ich zwei
> erhalte? Ist also ein Element der Ordnung 2 ein Element,
> was natürlich sich selbst und ein weiteres ergibt?
>
> Ich danke dir!!!
> LG Erdbeerrose
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Hallo!
Danke für die Hilfe!
> ein Element der Orndung 2 ist vom neutralen Element
> verschieden und ergibt mit sich selbst verknüpft das
> neutrale.
Noch eine Verständnisfrage dazu: Ein Element der Ordnung 3 ist dann also ein Element, was auch verschieden vom neutralen Element ist und mit sich selbst verknüpft ein weiteres Element ergibt oder wie geht die Regel weiter?
Danke!
LG Erdbeerrose
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> Noch eine Verständnisfrage dazu: Ein Element der Ordnung 3
> ist dann also ein Element, was auch verschieden vom
> neutralen Element ist und mit sich selbst verknüpft ein
> weiteres Element ergibt oder wie geht die Regel weiter?
Hallo,
solche Fragen beantworten sich am besten, indem man einen Blick in die Definition von "Ordnung eines Gruppenelementes" wirft.
Vielleicht sagst Du mal, was dort steht, und stellst dann konkret dazu Deine Frage, damit man sieht, wo genau das Problem liegt.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:46 Sa 11.04.2009 | | Autor: | Lorence |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Okay, ich versuche mich auch mal an der Aufgabe,
Ich suche die Untergruppen von Z4, diese können nur die Ordnung bzw. Anzahl der Elemente 1,2,4 haben ???
Untergruppe 1: Das neutrale Element, also die Mege {0]
Untergruppe 2: Die ganze Gruppe Z4 (trivale Untergruppe)
Untergruppe 3: Eine Untergruppe mit 2 Elementen, wegen der Abgeschlossenheit kann die {3} und die {1} nicht in der Untergruppe liegen, da sie ja in Z4 ein erzeuger ist! Es bleiben also nur die {0} und die {2} als 2 elementige Untergruppe übrig.???
Noch eine Frage: Wann ist mit der "Ordnung" eigentlich die Anzahl der Elemente in einer Gruppe gemeint und wann ist damit das "r" gemeint: mit a^r=1???
Zu Z2 * Z3
Wie gehe ich hier am besten vor? also in Z2 sind ja nur 2 elemente, und es gibt hier sogar 2 untergruppen, einmal die {1} und einmal die {0}, und in Z3 sind es 3 elemente , und als Untergruppe kommen in Frage: ja nur die Trivialen, da in einer additiven Gruppe mit Primzahlordnung ja alle Elemente erzeugend sind und somit die Abgeschlossenheit ja nie gewährleistet ist?
Also gibt es keine Untergruppe im Produkt von Z2 und Z3?
Gruß und danke für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 13.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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