Unterhalbgruppe, Isomorphie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Di 29.08.2006 | | Autor: | DaSaver |
| Aufgabe | Es sei [mm]U := \left\{(x, y) \in \IN_{0}^{2} : (x, y) \not= (0, 0) , 5x \ge 2y\right\}[/mm]
Man zeige, dass U eine Unterhalbgruppe von [mm](\IN_{0}^{2}, +)[/mm] ist.
Man bestimme ein minimales Erzeugendensystem von U.
Ist U isomorph zu [mm]\IN_{0}^{2} - {(0, 0)}[/mm]? |
Hallo liebes Forum!
Also, von der Aufgabe oben ist mir nicht ganz klar, wie ich zeigen kann, dass U eine Unterhalbgruppe von [mm] \IN_{0}^{2} [/mm] ist. Ich meine, wenn ich ein Erzeugendensystem finde, das mir diese Unterhalbgruppe generiert, dann ist es auch automatisch eine, oder? Als Erzeugendensystem habe ich E = {(1,0), (1,1), (1,2), (2,5)}. Bin mir aber nicht sicher, ob das richtig ist... Die Frage zur Isomorphie verstehe ich auch nicht so ganz. Es gibt sowohl in U, als auch in [mm] \IN_{0}^{2} [/mm] unendlich viele Elemente und man kann zwischen den beiden Halbgruppen sicherlich eine bijektive Abbildung finden.. Aber wie zeige ich das nun genau?...:-/
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand mit ein paar Hinweisen oder Antworten helfen könnte!
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Hallo.
> Es sei [mm]U := \left\{(x, y) \in \IN_{0}^{2} : (x, y) \not= (0, 0) , 5x \ge 2y\right\}[/mm]
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> Man zeige, dass U eine Unterhalbgruppe von [mm](\IN_{0}^{2}, +)[/mm]
> ist.
> Man bestimme ein minimales Erzeugendensystem von U.
> Ist U isomorph zu [mm]\IN_{0}^{2} - {(0, 0)}[/mm]?
> Hallo liebes
> Forum!
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> Also, von der Aufgabe oben ist mir nicht ganz klar, wie ich
> zeigen kann, dass U eine Unterhalbgruppe von [mm]\IN_{0}^{2}[/mm]
> ist. Ich meine, wenn ich ein Erzeugendensystem finde, das
> mir diese Unterhalbgruppe generiert, dann ist es auch
> automatisch eine, oder?
Nope. Du mußt noch die Abgeschlossenheit zeigen.
> Als Erzeugendensystem habe ich E =
> {(1,0), (1,1), (1,2), (2,5)}. Bin mir aber nicht sicher, ob
> das richtig ist... Die Frage zur Isomorphie verstehe ich
> auch nicht so ganz. Es gibt sowohl in U, als auch in
> [mm]\IN_{0}^{2}[/mm] unendlich viele Elemente und man kann zwischen
> den beiden Halbgruppen sicherlich eine bijektive Abbildung
> finden.. Aber wie zeige ich das nun genau?...:-/
Konstruktiv. Indem Du einen Isomorphismus angibst.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Di 29.08.2006 | | Autor: | DaSaver |
> Nope. Du mußt noch die Abgeschlossenheit zeigen.
Aber wenn ich doch eine UHG erzeuge, dann können da keine Elemente vorkommen, die nicht in der UHG liegen, oder?
> Konstruktiv. Indem Du einen Isomorphismus angibst.
Könntest du mir auch nen Tipp geben, wie ich ihn finde? Komme grad irgendwie nicht drauf wo ich anfangen soll... (hat bei mir auch früher nicht so ganz geklappt mit den Isomorphismen )
Gruß,
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Di 29.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Michael!
> > Nope. Du mußt noch die Abgeschlossenheit zeigen.
> Aber wenn ich doch eine UHG erzeuge, dann können da keine
> Elemente vorkommen, die nicht in der UHG liegen, oder?
Du weisst erstmal gar nicht, ob $U$ eine Unterhalbgruppe ist. Damit weisst du insbesondere nicht, dass sie von $E$ oder von irgendetwas anderem erzeugt wird. (Und selbst wenn $U$ in der von $E$ erzeugten Unterhalbgruppe liegt: es koennte ja immer noch sein, dass $U$ echt kleiner ist!)
> > Konstruktiv. Indem Du einen Isomorphismus angibst.
> Könntest du mir auch nen Tipp geben, wie ich ihn finde?
> Komme grad irgendwie nicht drauf wo ich anfangen soll...
> (hat bei mir auch früher nicht so ganz geklappt mit den
> Isomorphismen)
Siehe mein anderes Posting.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Di 29.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei [mm]U := \left\{(x, y) \in \IN_{0}^{2} : (x, y) \not= (0, 0) , 5x \ge 2y\right\}[/mm]
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> Man zeige, dass U eine Unterhalbgruppe von [mm](\IN_{0}^{2}, +)[/mm]
> ist.
> Man bestimme ein minimales Erzeugendensystem von U.
> Ist U isomorph zu [mm]\IN_{0}^{2} - {(0, 0)}[/mm]?
Zwischen den beiden Mengen gibt es zwar eine Bijektion, es gibt aber keinen Isomorphismus. Das kannst du zeigen, indem du dir folgendes ueberlegst:
- Jedes Erzeugendensystem von $U$ enthaelt immer die Elemente $(1, 0), (1, 1), (1, 2)$.
- Es gibt ein Erzeugendensystem von [mm] $\IN_0^2 \setminus \{ (0, 0) \}$, [/mm] welches aus zwei Elementen besteht.
- Wenn [mm] $\varphi [/mm] : U [mm] \to [/mm] V$ ein Isomorphismus von Halbgruppen ist und $M [mm] \subseteq [/mm] U$ ein Erzeugendensystem von $U$, dann ist [mm] $\varphi(M) \subseteq [/mm] V$ ein Erzeugendensystem von $V$.
> Als Erzeugendensystem habe ich E =
> {(1,0), (1,1), (1,2), (2,5)}. Bin mir aber nicht sicher, ob
> das richtig ist...
Das ist richtig. Du kannst das auch beweisen: Mache eine Induktion nach $x$, und zeige, dass wenn jedes $(x', y') [mm] \in [/mm] U$ mit $x' < x$ in der von $E$ erzeugten Unterhalbgruppe liegt, dass dann auch jedes $(x, y) [mm] \in [/mm] U$ da drinnen liegt. (Der Induktionsanfang umfasst $x = 1$ und $x = 2$.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Di 29.08.2006 | | Autor: | DaSaver |
> Zwischen den beiden Mengen gibt es zwar eine Bijektion, es
> gibt aber keinen Isomorphismus. Das kannst du zeigen, indem
> du dir folgendes ueberlegst:
> - Jedes Erzeugendensystem von [mm]U[/mm] enthaelt immer die
> Elemente [mm](1, 0), (1, 1), (1, 2)[/mm].
> - Es gibt ein
> Erzeugendensystem von [mm]\IN_0^2 \setminus \{ (0, 0) \}[/mm],
> welches aus zwei Elementen besteht.
> - Wenn [mm]\varphi : U \to V[/mm] ein Isomorphismus von
> Halbgruppen ist und [mm]M \subseteq U[/mm] ein Erzeugendensystem von
> [mm]U[/mm], dann ist [mm]\varphi(M) \subseteq V[/mm] ein Erzeugendensystem
> von [mm]V[/mm].
Ok, danke für die schnellen Antworten! Wenn ich das richtig verstanden habe, kann man zwischen dem 2-elementigen Erzeugendensystem von [mm] \IN_0^2 [/mm] und 4-elementigem Erzeugendensystem von [mm]U[/mm] keinen Isomorphismus finden (was ja auch logisch ist), was bei Isomorphie der Fall sein sollte. Das hat mich jetzt weitergebracht. Danke nochmal! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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