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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Sa 06.11.2010 | | Autor: | malu90 |
| Aufgabe | | Sei L ein Unterkörper von K. Zu Zeigen: [mm] (K,0_{K},+_{K},*) [/mm] mit der Verknüpfung [mm] *:LxK\toK, (\lambda,x)\mapsto \lambda*x [/mm] := [mm] \lambda*_{K}x [/mm] ist ein Vektorraum über L. |
Ich weiß nicht wie ich anfangen soll, muss ich zeigen dass L ein Unterkörper von K ist? Und wie gehe ich vor, wenn ich zeigen soll, dass K ein Vektorraum über L ist, muss ich die Axiome eines Vektorraumes nachrechnen, wenn ja muss ich dann nur für "*" nachrechnen oder auch für "+"?
Hilfe...! ^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Sei L ein Unterkörper von K. Zu Zeigen: [mm](K,0_{K},+_{K},*)[/mm]
> mit der Verknüpfung [mm]*:LxK\toK, (\lambda,x)\mapsto \lambda*x[/mm]
> := [mm]\lambda*_{K}x[/mm] ist ein Vektorraum über L.
Gemeint ist folgendes :
Gegeben ist ein Körper K = { [mm] \xi, \upsilon, \zeta, [/mm] ...} und ein Unterkörper L von K. K soll jetzt nicht mehr als Körper, sondern als Vektorraum über L aufgefasst werden. Seine Elemente bleiben unverändert aber ihre Rolle ist eine andere, sie werden eben jetzt nicht mehr als "Zahlen" [mm] \xi, \upsilon, \zeta, [/mm] ..., sondern als Vektoren x, y, z angesehen (einschließlich der Elemente von L), L wird weiterhin als Zahlkörper L = { [mm] \lambda, \mu, \nu [/mm] ... } angesehen.
Ein berühmtes Beispiel ist [mm] \IC [/mm] als zweidimensionaler Vektorraum über [mm] \IR.
[/mm]
Die Addition der Vektoren x+y bleibt dieselbe, die sie auch als Zahlen war : [mm] \xi+_K\upsilon, [/mm] Analoges gilt für die Skalarmultiplikation [mm] \lambda*x [/mm] = [mm] \lambda*_K\xi.
[/mm]
> Ich weiß nicht wie ich anfangen soll, muss ich zeigen
> dass L ein Unterkörper von K ist?
Nein, das wird ja vorausgesetzt.
> Und wie gehe ich vor,
> wenn ich zeigen soll, dass K ein Vektorraum über L ist,
> muss ich die Axiome eines Vektorraumes nachrechnen, wenn ja
> muss ich dann nur für "*" nachrechnen oder auch für "+"?
Es muss alles nachgewiesen werden, die Überprüfung ist aber so elementar, dass das Wort "nachrechnen" schon fast zu hoch gegriffen ist.
> Hilfe...! ^^
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Sa 06.11.2010 | | Autor: | malu90 |
Also ich habe jetzt versucht die Voktoraxiome "nachzurechnen".
Bin ich dann damit fertig oder muss ich noch etwas beweisen?
Wie kann ich eigentlich das 4. Axiom beweisen?
4.Axiom: 1*k = k
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
also : $ [mm] \underbrace{1}_{\in L} \underbrace{*}_{Skalarmultiplikation} \underbrace{x}_{\in VR\ K} [/mm] = [mm] \underbrace{1}_{\in K} \*_K \underbrace{\xi}_{\in Kp\ K} [/mm] = x $
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Sa 06.11.2010 | | Autor: | malu90 |
ich dachte ich muss dann nur das mit der Verknüpfung * machen, da das ja in dem "zu seigen" steht?!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
das steht dort nicht.
(es wird lediglich die Skalarmultiplikation definiert)
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Sa 06.11.2010 | | Autor: | malu90 |
Hey, weißt du wie ich 1*k=k nachweisen kann?
gruß malu90
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