Untermannigfaltigkeiten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Fr 23.01.2015 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^{4} \to \IR^{3} [/mm] definiert durch
[mm] f(x_{1},...,x_{4})=(x_{1}x_{3}-x_{2}^{2},x_{2}x_{4}-x_{3}^{2},x_{4}-x_{2}x_{3}).
[/mm]
Zeigen Sie, dass M = [mm] f(0)^{-1}\backslash\{0\} [/mm] eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit auf [mm] \IR^{4} [/mm] ist. |
Hallo,
da taucht schon in der Aufgabenstellung die erste Verständnisfrage bei mir auf:
Untermannigfaltigkeit ist folgendermaßen definiert:
Eine Teilmenge M [mm] \subset \IR^{n} [/mm] heißt k-dimensionale Untermannigfaltigkeit der Klasse [mm] C^{\alpha}, [/mm] wenn es zu jedem Punkt a [mm] \in [/mm] M eine offene Umgebung U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] und [mm] \alpha [/mm] -mal stetig differenzierbare Funktionen
[mm] f_{1},...,f_{n-k}:U \to \IR
[/mm]
gibt, so das gilt:
a) M [mm] \cap [/mm] U = [mm] \{x \in U:f_{1}(x)=...=f_{n-k}(x)=0\},
[/mm]
b) Rang der Funktionalmatrix [mm] \bruch{\partial(f_{1},...f_{n-k})}{\partial(x_{1},...,x_{n})} [/mm] = n-k.
Ok, soweit so gut.
Aber hier haben wir doch [mm] f_{1}=(x_{1}x_{3}-x_{2}^{2}), f_{2}=(x_{2}x_{4}-x_{3}^{2}), f_{3}=(x_{1}x_{4}-x_{2}x_{3})
[/mm]
Also wenn, dann würde es sich hier doch um eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit handeln (k=1, n=4, n-k=3). Wo ist mein Denkfehler? 
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Di 27.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Kann keiner helfen? :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Di 27.01.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Topologe,
ich nutze gerne folgende Definition einer k-dimensionalen Untermannigfaltigkeit, der sich aus dem
Satz über implizite Funktionen ergibt:
M ist k-dim. differenzierbare
Untermannigfaltigkeit genau dann, wenn gilt:
[mm] $\forall a\in M\exists \mbox{ Umgebung }U\subseteq \IR^n
[/mm]
[mm] \mbox{ und injektive }C^1-\mbox{Abbildung (lokale Prametrisierung)}
[/mm]
[mm] \phi:V\to [/mm] U [mm] \mbox{ mit offener Menge } V\subseteq \IR^k:M\cap
[/mm]
[mm] U=\phi(V).$
[/mm]
Löst man das nichtlineare Gleichungssystem, das sich durch [mm] f^{-1}(0)\setminus\{0\} [/mm] ergibt, so erhält man:
[mm] f^{-1}(0)\setminus\{0\}=\{(\varphi(t)|\varphi(t):=(1,t,t^2,t^3), t\in\IR\}, [/mm] wobei [mm] C^1\ni\varphi:\IR\to\IR^4.
[/mm]
Es gilt [mm] D\varphi=\varphi'. [/mm] Zudem ist [mm] \varphi [/mm] offensichtlich injektiv (benutze dafür die Definition und lese aus dem 2. Eintrag der Vektoren Injektivität ab).
Man muss nur noch zeigen, dass zu jedem [mm] a\in [/mm] M eine Umgebung U ex. und [mm] \varphi:V\to [/mm] U mit [mm] V\subseteq \IR [/mm] offen, sodass [mm] M\cap U=\varphi(V).
[/mm]
Ich vermute, dass es diesbezüglich einen Argumentationsweg über die Bijektivität von [mm] \varphi:\IR\to Im(\varphi(\IR)) [/mm] gibt.
Da ich hier nicht weitergedacht habe (schreib vom Smartphone), lasse ich die Frage mal auf halb beantwortet.
Fazit: k=1.
LG
Ladon
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Ok, danke, das ist schonmal ein interessanter Weg.
Nur das Ding ist, dass wohl eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit vorliegen soll, also k=2, was ich so überhaupt nicht nachvollziehen kann....
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:40 Do 29.01.2015 | | Autor: | Ladon |
Warum bist du dir so sicher, dass die Aufgabe korrekt ist?
Entweder haben wir beide einen Fehler gemacht oder die Aufgabe ist wirklich inkorrekt.
LG
Ladon
PS: Vielleicht liest jemand mit, der dies beurteilen kann. Ich würde mich über eine Korrektur oder Bestätigung freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Topologe |
Ok, dann frage ich am Montag mal den Übungsleiter. Wurmt mich doch jetzt ein wenig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 30.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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