Untermannigfaltigkeiten prüfen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Do 21.07.2005 | | Autor: | Cassius |
Hi!
Wir sollen hier prüfen das die gegebenen Niveaumengen Untermannigfaltigkeiten sind.
c)die Schraubenlinie mit {(cost, sint, t) [mm] \in \IR^{3}|t \in \IR}
[/mm]
d)Oberfläche des Volltorus mit:
[mm] x(r,\alpha, \beta)=(R+rcos\beta)cos\alpha
[/mm]
[mm] y(r,\alpha, \beta)=(R+rcos\beta)sin\alpha
[/mm]
[mm] z(r,\alpha, \beta)=(rsin\beta)
[/mm]
Das ganze in den Grenzen:
r=r0,
0 [mm] \le \alpha \le 2\pi
[/mm]
0 [mm] \le \beta \le 2\pi
[/mm]
Was ich jetzt weiß ist, dass ich mit Hilfe des Differentials überprüfe, ob dies Untermannigfaltigkeiten sind. Also wenn das Differential surjektiv ist, dann ist es eine Untermannigfaltigkeit. Ist das Richtig???
Und dann hab ich da noch eine Frage. Ich hab nämlich absolut keine Ahnung, wie man den Tangentialraum zu eine Mannigfaltigkeit aufstellt und Karten bestimmt. Bei der Kreisgleichung geht es noch aber bei diesen Sachen bin ich etwas überfragt!
Wäre super wenn mir das jemand so praktisch wie möglich erklären könnte.
Danke schon mal im Voraus!
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Hallo Cassius,
Ich rechene Dir das einmal für die Schraubenlinie durch.
Du hast eine Parametrisierung gegeben. Um zu zeigen, dass es sich um eine Mannigfaltigkeit handelt, zeigen wir, dass diese Parametrisierung eine Immersion ist. D.h. Sie muss bijektiv auf die Linie gehen, und in beide Richtungen differenzierbar sein. Weiters muss die Matrix der Ableitung in jedem Punkt vollen Rang (Rang 1) haben.
Surjektiv: klar
Injektiv: Sei f(s) = f(t). Zeige s = t: Es ist f(s) = (cos(s),sin(s),s) = (cos(t),sin(t),t) = f (t). Insbesondere muss s = t gelten.
Diffbar: klar
[mm] $f^{-1}$ [/mm] diffbar: Es ist [mm] $f^{-1}(x,y,z)$ [/mm] = z. Also ist die Inverse diffbar.
Voller Rang: Es gilt $df(t)$ = (-sin(t),cos(t),1). In der dritten Komponente steht immer eine 1. Also hat die Matrix vollen Rang.
Damit ist die Schraubenlinie eine 1-dim. Untermannigfaltigkeit des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Zum Tangentialraum in f(t): Das ist auch immer relativ leicht, wenn man eine Parametrisieerung kennt. Er wird gerade von df(t) aufgespannt. Soll heißen: Sein Basisvektor ist [mm] $\pmat{ -sin(t) \\ cos(t) \\ 1 }$
[/mm]
Zu den Karten: Auch hier tut man sich besonders leicht, da man mit einer einzigen Karte auskommt. Das ist gerade die Umkehrabbildung von f.
Ich werde Dir jetzt noch erklären, wie die Sache beim Torus läuft. Der Definitionsbereich seiner Parametrisierung ist abgeschlossen. Eine Immersion verlangt aber eine offenen Definitionsbereich. Du musst daher 3 Parametrisierungen mit den folgenden Definitionsbereichen betrachten.
[mm] $f_1: [/mm] \ [mm] 0<\alpha<2*\pi \quad [/mm] 0 < [mm] \beta [/mm] < [mm] 2*\pi$
[/mm]
[mm] $f_2: [/mm] \ [mm] \pi/3<\alpha<2*\pi \quad [/mm] 0 < [mm] \beta [/mm] < [mm] 2*\pi [/mm] + [mm] \pi/3$
[/mm]
[mm] $f_3: [/mm] \ [mm] 2*\pi/3<\alpha<2*\pi [/mm] + [mm] 2*\pi/3 \quad 2*\pi/3 [/mm] < [mm] \beta [/mm] < [mm] 2*\pi [/mm] + [mm] 2*\pi/3$
[/mm]
So deckst du den ganzen Torus ab. Der Nachweis, dass das jeweils Immersionen sind geht in jedem Fall ähnlich. Die Inversen sind dann wieder die Karten.
Ich hoffe, damit ist Dir geholfen.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Fr 22.07.2005 | | Autor: | Cassius |
riesigen Dank ersteinmal! ISt nichts besser als mal ein Beispiel nachzuvollziehen. Ich glaube ich müsste so ziemlich alles verstanden haben.
Nur noch eine Frage zu Inversen. bei einer Abbildung vom R³ nach R² zum Beispiel berechne ich nur die Inverse Matrix oder?
Und dann ist da noch etwas!
Wir hatten auch die Ellipsoid mit dem Assistenten zusammengerechnet. Aber es reimt sich einfach auf nichts. Denn als er das Differential gebildet hatte kam bei ihm (2x/a²,2y/b²,2z/c²) also ein Vektor raus. Die Niveamenge ist aber eine Skalargleichung also: x²/a²+y²/b²+z²/c²=1 Also wenn er das Differential von dem Vektor genommen hätte wäre es(1,1,1) hätte er es von der Niveaumenge genommen so wäre es 2x/a²+2y/b²+2z/c² Also was hat er da gerechnet?
Die Parametrisierung war {(x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | x²/a²+y²/b²+z²/c²=1 }
Danke dir schon mal und mir viel Glück für die Klausur Morgen!
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