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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Di 09.11.2004 | | Autor: | Didi |
Hallo,
Ich komm mit folgender Aufgabe nicht so ganz klar:
Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement. Sei N ein halbeinfacher R-Modul. Sei M ein Untermodul von N. Zeigen Sie, dass ein Untermodul L [mm] \subset [/mm] N mit {0}= L [mm] \cap [/mm] M und N = L+M existiert.
Als Hinweis haben wir bekommen: Wenden Sie das Zornsche Lemma auf die Menge X={L | L ist Untermodul von N und {0}= L [mm] \cap [/mm] M } an.
Das heißt dann doch einfach, dass ich herausfinden muss, ob die Vorraussetzung für das Zornsche Lemma gegeben ist. Wenn dies der Fall ist, dann kann ich es anwenden (Hab nur auch noch keine Ahnung, wie ich es überhaupt auf die Menge anwenden kann.) und die Aufgabe müsste bewiesen sein. Oder irr' ich mich da? Wenn das so ist, wie finde ich denn heraus, ob ich es anwenden kann?
Für Hilfe wär ich echt dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Didi!
Naja, die Voraussetzungen für das Lemma von Zorn zu überprüfen sind ja nicht so schwer:
Die Menge $X$ ist teilweise geordnet durch Inklusion - jetzt mußt Du nur noch zeigen, dass jede vollständig geordnete Teilmenge von $X$ (also eine aufsteigende Kette von Moduln, mit det Eigenschaft) ein maximales Element besitzt - zum Beispiel könntest Du zeigen, dass ihre Vereinigung wieder ein Untermodul ist, der einen trivialen Schnitt mit $M$ hat.
Dann gibt es nach Zown ein maximales Element - und jetzt kommt der wichtigste Punkt: Du mußt (die Maximalität ausnutzend) zeigen, dass für diesen Modul $L$ wirklich gilt: $N = M + L$.
Gruß,
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Irrlicht |
Hm, in einem anderen Forum (www.matheboard.de) habe ich die Frage beantwortet. Sieh dich doch da mal um (oder soll ich Copy und Paste begnuegen?).
Zitat von dem anderen Board:
" Zum Beweis siehe
Falko Lorenz, Einführung in die Algebra II, 2. Auflage, §28, Lemma, S. 182
Um Zorns Lemma auf die Menge X anwenden zu können, musst du nachweisen, dass X nichtleer und induktiv geordnet ist. Das ist recht einfach (oder halb einfach *g*).
Sei L ein maximales Element von X.
Sei nun E ein einfacher Untermodul von N. Ist E eine Teilmenge von L, dann ist E auch Teilmenge von L+M.
Ist E nicht Teilmenge von L, dann ist E+L ein echter Obermodul von L und nach Wahl von L ist dann M geschnitten mit (L+E) nicht der Nullmodul. Es gibt also m aus M, l aus L, e aus E, mit m = l + e != 0. Weise nach, dass e ungleich 0 ist und deswegen E Teilmenge von M+L ist (hier geht ein, dass E einfach ist).
Zuletzt verwende, dass N halbeinfach ist, um zu zeigen, dass N Teilmenge von M+L ist."
Vielleicht kannst du dich ja mit dem Starter des anderen Threads irgendwie kurzschliessen. Zu zweit versteht es sich immer besser. :)
Liebe Gruesse,
Irrlicht
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