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| Aufgabe | Welcher der folgenden Unterräume sind Unterräume des [mm] \IR^4?
[/mm]
[mm] U_{1}=\{\vektor{x\\ y\\z\\w}\vmat{2x+3y+w=0}}
[/mm]
[mm] U_{2}=\{\vektor{x\\ y\\z\\w}\vmat{2x+3y+w=1}} [/mm] |
hallo!
ich weiß nicht wie ich diese aufgabe lösen soll...ich kann das in meinem skriptum erklärte gram-schmidt´sche orthogonalisierungsverfahren auf dieses bsp nicht übertragen...
ich bitte um hilfe, sitz schon einen tag dabei und hab noch immer keine lösung... ;(
vielen dank
francis
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> Welcher der folgenden Unterräume sind Unterräume des
> [mm]\IR^4?[/mm]
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> [mm] U_{1}= [/mm] { [mm] \vektor{x\\ y\\z\\w}| [/mm] 2x+3y+w=0 }
> [mm] U_{2}= [/mm] { [mm] \vektor{x\\ y\\z\\w}| [/mm] 2x+3y+w=1 }
> hallo!
>
> ich weiß nicht wie ich diese aufgabe lösen soll...ich kann
> das in meinem skriptum erklärte gram-schmidt´sche
> orthogonalisierungsverfahren auf dieses bsp nicht
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren brauchst Du für die Lösung der Aufgabe nicht.
Wichtig ist hier der Begriff des Unterraumes.
Weißt Du, was ein Untervektorraum ist?
Es ist eine Teilmenge eines Vektorraumes, welche selbst wieder einen Vektorraum bildet.
Im Prinzip könntest Du dahergehen, und gucken, ob für [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] alle Bedingungen, die für einen Vektorraum gelten, erfüllt sind, also
kommutative Gruppe bzgl. +, Assoziativität, [mm] Distributivität,1\vec{a}= \vec{a}.
[/mm]
Wenn man eine Sache findet, die nicht erfüllt ist, kann man aufhören. Dann hat man keinen VR.
Zum Beispiel lohnt es sich immer, nachzuschauen, ob der Nullvektor in der fraglichen Menge liegt, was ich Dir sehr ans Herz legen möchte. Ohne neutrales Element kein (Unter-)Vektorraum...
Man kann sich die Sache vereinfachen, es gibt einen Satz, der bei Euch gewiß auch vorkam:
Eine nichtleere (!) Teilmenge U eines VRs V über K ist ein Untervektorraum genau dann, wenn U gegenüber den linearen Operationen abgeschlossen ist, d.h.
aus [mm] \vec{a}, \vec{b} \in [/mm] U folgt [mm] \vec{a}+\vec{b}\in [/mm] U und für alle k [mm] \in [/mm] K ist k [mm] \vec{a} \in [/mm] U.
Wir beginnen das jetzt für [mm] U_1 \subset \IR^4.
[/mm]
Leer ist [mm] U_1 [/mm] nicht, Du kannst bestimmt ein Element angeben, welches drin liegt.
Für die Abgeschlossenheit bzgl. + nimmst Du Dir 2 Vektoren [mm] \vektor{x_1\\ y_1 \\z_1 \\w_1},\vektor{x_2\\ y_2 \\z_2 \\w_2} \in U_1.
[/mm]
Weil sie in [mm] U_1 [/mm] sind gilt [mm] 2x_i [/mm] + [mm] 3y_i +0z_i [/mm] + [mm] 1w_i [/mm] =0, i=1,2.
Die Summe ist [mm] \vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \\ w_1+ w_2}
[/mm]
Nun mußt Du herausfinden, ob dieser Vektor in [mm] U_1 [/mm] liegt, ob also
[mm] 2(x_1+x_2) [/mm] + 3( [mm] y_1+y_2) [/mm] + 0( [mm] z_1+z_2) [/mm] + [mm] 1(w_1+ w_2)=0 [/mm] ist ...
Ebenso dann für [mm] k\vektor{x_1\\ y_1 \\z_1 \\w_1} [/mm] mit k [mm] \in \IR.
[/mm]
Gruß v. Angela
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hy
danke für die begrüßung!
ich versteh jetzt was vorrausetzung für einen vektorraum ist...
aber wie ich jetzt diesen lösungsansatz rechnerisch umsetzte wieß ich nicht...
vielen dank für die hilfe
mfg
francis
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> ich versteh jetzt was vorrausetzung für einen vektorraum
> ist...
> aber wie ich jetzt diesen lösungsansatz rechnerisch
> umsetzte wieß ich nicht...
Zur Erinnerung:
Eine nichtleere (!) Teilmenge U eines VRs V über K ist ein Untervektorraum genau dann, wenn U gegenüber den linearen Operationen abgeschlossen ist, d.h.
aus $ [mm] \vec{a}, \vec{b} \in [/mm] $ U folgt $ [mm] \vec{a}+\vec{b}\in [/mm] $ U und für alle k $ [mm] \in [/mm] $ K ist k $ [mm] \vec{a} \in [/mm] $ U
Zu prüfen ist nun folgendes:
1. Ist [mm] U_1 [/mm] nichtleer?
2. Ist [mm] U_1 [/mm] abgeschloosen gegenüber der Vektoraddition?
3. Ist [mm] U_1 [/mm] abgeschlossen gegenüber der skalaren Multiplikation.
Zu 1. Wie bereits erwähnt, brauchst Du nur ein Element anzugeben, welches in [mm] U_1 [/mm] liegt, also ein
[mm] \vektor{x\\ y \\z \\w} \in \IR^4 [/mm] mit 2x+3y+w=0 .
Mach mal!
Zu 2. Das hatten "wir" doch schon begonnen!
Für die Abgeschlossenheit bzgl. + nimmst Du Dir 2 Vektoren $ [mm] \vektor{x_1\\ y_1 \\z_1 \\w_1},\vektor{x_2\\ y_2 \\z_2 \\w_2} \in U_1. [/mm] $
Weil sie in $ [mm] U_1 [/mm] $ sind gilt $ [mm] 2x_i [/mm] $ + $ [mm] 3y_i +0z_i [/mm] $ + $ [mm] 1w_i [/mm] $ =0, i=1,2.
Die Summe ist $ [mm] \vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \\ w_1+ w_2} [/mm] $
Nun mußt Du herausfinden, ob dieser Vektor in $ [mm] U_1 [/mm] $ liegt, ob also
$ [mm] 2(x_1+x_2) [/mm] $ + 3( $ [mm] y_1+y_2) [/mm] $ + 0( $ [mm] z_1+z_2) [/mm] $ + $ [mm] (1w_1+ w_2)=0 [/mm] $ ist ...
Wie kannst Du das herausfinden? Na, weil $ [mm] \vektor{x_1\\ y_1 \\z_1 \\w_1},\vektor{x_2\\ y_2 \\z_2 \\w_2} \in U_1 [/mm] $ ist ja $ [mm] 2x_i [/mm] $ + $ [mm] 3y_i +0z_i [/mm] $ + $ [mm] 1w_i [/mm] $ =0, i=1,2.
Da brauchst Du doch nur das hier $ [mm] 2(x_1+x_2) [/mm] $ + 3( $ [mm] y_1+y_2) [/mm] $ + 0( $ [mm] z_1+z_2) [/mm] $ + [mm] 1(w_1+ w_2) [/mm] umzuformen und die Voraussetzung einzusetzen. Wenn Null rauskommt, liegt $ [mm] \vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \\ w_1+ w_2} [/mm] $ drin in [mm] U_1.
[/mm]
3. Hierfür betrachtest Du ähnlich wie in 2. [mm] k\vektor{x\\ y \\z \\w} [/mm] und guckst, ob es drin liegt.
Gruß v. Angela
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danke!
ich hoffe nicht, dass ich deine nerven schon überstrapaziere...
habs jetzt so gemacht (bsp1)
2x+3y+w=0
ein paar werte eingesetzt (unter bed. der geg. gl.)
[mm] \vektor{1 \\ 0\\0\\-2} [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ 3\\0\\-13} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 3\\0\\-15} [/mm]
x=3 y=3 w=-15
2*3+3*3+(-15)=0
[mm] \vektor{1 \\ 0\\0\\-2} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 3\\0\\-13} [/mm] = [mm] \vektor{2\\ 0\\0\\26}=28
[/mm]
x=2 w=26
2*2+26=30
Zu prüfen ist nun folgendes:
1. Ist nichtleer?
2. Ist abgeschloosen gegenüber der Vektoraddition?
3. Ist abgeschlossen gegenüber der skalaren Multiplikation.
und da jetzt bei 3. nicht der gleiche wert rausgekommen ist, ist es kein unterraum oder?
ist dies jetzt die ganze rechnung?
danke
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Ogottogott!
> ich hoffe nicht, dass ich deine nerven schon
> überstrapaziere...
Nee, nee, ich schwächel bloß ein bißchen...
Pass' auf und merk' es Dir für alle (Mathe-)Zeiten und fürs Leben:
wenn Du etwas beweisen willst, reicht es nicht, ein paar Beispiele zu bringen. Im Leben mögen gelegentlich viele Beispiele Beweiskraft haben, in der Mathematik ist das nicht der Fall.
Ein Beispiel anzugeben reicht in der Mathematik aber in einem Fall: wenn man ein Beispiel findet dafür, daß eine Behauptung nicht gilt, hat man mit diesem Beispiel den Gegenbeweis erbracht.
Jetzt konkret zur Aufgabe:
> 1. Ist [mm] U_1 [/mm] nichtleer?
Ich sehe zwar unten, daß Du tatsächlich einen Vektor gefunden hast, der drinliegt,
[mm] \vektor{1 \\ 0\\0\\-2} [/mm] .
Nun müßtest Du aber schreiben [mm] \vektor{1 \\ 0\\0\\-2} \in U_1, [/mm] denn 2*1+3*0+(-2)=0.
Also ist [mm] U_1 [/mm] nichtleer.
Erst dann ist Punkt 1. abgearbeitet.
Der Korrektor darf sich die Informationen nicht zusammenreimen müssen. Du brauchst schlagkräftige Beweise und mußt die entsprechend präsentieren.
> 2. Ist [mm] U_1 [/mm] abgeschlossen gegenüber der Vektoraddition?
> habs jetzt so gemacht (bsp1)
>
> 2x+3y+w=0
>
> ein paar werte eingesetzt (unter bed. der geg. gl.)
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0\\0\\-2}[/mm] + [mm]\vektor{2 \\ 3\\0\\-13}[/mm] =
> [mm]\vektor{3 \\ 3\\0\\-15}[/mm]
>
> x=3 y=3 w=-15
>
> 2*3+3*3+(-15)=0
Das ist ein hübsches Beispiel dafür, wie die Addition läuft, und es ist auch insofern wichtig, weil Du hieran verstehen kannst, wieso die Summe in [mm] U_1 [/mm] liegt. Es ist etwas, was man mit Gewinn als Vorübung auf Schmierpapier macht.
Als Beweis taugt es absolut nicht, denn Du mußt zeigen, daß für zwei beliebige Vektoren aus [mm] U_1 [/mm] die Summe in [mm] U_1 [/mm] liegt.
"Wir" machen das jetzt.
Seien $ [mm] \vektor{x_1\\ y_1 \\z_1 \\w_1},\vektor{x_2\\ y_2 \\z_2 \\w_2} \in U_1. [/mm] $
Weil sie in $ [mm] U_1 [/mm] $ sind gilt
$ [mm] 2x_1$ [/mm] + $ [mm] 3y_1 +0z_1 [/mm] $ + $ [mm] 1w_1$ [/mm] =0 und
$ [mm] 2x_2$ [/mm] + $ [mm] 3y_2 +0z_2 [/mm] $ + $ [mm] 1w_2$ [/mm] =0
Es ist
[mm] \vektor{x_1\\ y_1 \\z_1 \\w_1}+\vektor{x_2\\ y_2 \\z_2 \\w_2}
[/mm]
[mm] =\vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \\ w_1+ w_2} [/mm]
Es ist
$2 [mm] (x_1+x_2) [/mm] $ + 3( $ [mm] y_1+y_2) [/mm] $ + 0( $ [mm] z_1+z_2) [/mm] $ + $ [mm] 1(w_1+ w_2) [/mm] $
=($ [mm] 2x_1$ [/mm] + $ [mm] 3y_1 +0z_1 [/mm] $ + $ [mm] 1w_1$ [/mm] )+($ [mm] 2x_2$ [/mm] + $ [mm] 3y_2 +0z_2 [/mm] $ + $ [mm] 1w_2$)= [/mm] ...
Also ist [mm] \vektor{x_1\\ y_1 \\z_1 \\w_1}+\vektor{x_2\\ y_2 \\z_2 \\w_2} \in [/mm] ...
und somit ist [mm] U_1 [/mm] abgeschlossen bzgl. der Addition.
> 3. Ist [mm] U_1 [/mm] abgeschlossen gegenüber der skalaren Multiplikation Multiplikation mit Skalaren?
Hier hatte ich mich zuvor mißverständlich ausgedrückt. Es ist hier nicht ein Skalarprodukt zweier Vektoren gemeint, sondern das Produkt von Vektoren mit "normalen" Zahlen. So:
Sei k [mm] \in \IR [/mm] und sei [mm] \vektor{x\\ y \\z \\w} \in U_1.
[/mm]
Es ist 2x+3y+w=0.
[mm] k\vektor{x\\ y \\z \\w}=... [/mm]
(Das kriegst Du hin, oder? Als nächstes addierst Du die Komponenten und zeigst, daß Null rauskommt, woaus folgt, daß das Produkt in [mm] U_1 [/mm] liegt, und diese Menge bzgl. der Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist.)
Zum Schluß gehört ein abschließender Satz hin, so in Richtung:
Wie gezeigt ist [mm] U_1 [/mm] eine nichtleere, bzgl. der Addition und Multiplikation abgeschlossene Teilmenge des [mm] \IR^4, [/mm] also ein Untervektorraum.
Gruß v. Angela
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dass man in der mathematik alles beweisen muss und dies nicht mit ein paar bsp. möglich ist, ist mir in meinen ersten 3wochen uni schon aufgefallen...aber dies ist mir kurzzeitig wieder entfallen
entschuldige mir meinen "ausrutscher" 
[mm]\vektor{x_1\\ y_1 \\z_1 \\w_1},\vektor{x_2\\ y_2 \\z_2 \\w_2} \in U_1.[/mm]
Weil sie in [mm]U_1[/mm] sind gilt
[mm]x_1[/mm] + [mm]y_1 +z_1[/mm] + [mm]w_1[/mm] =0 und
[mm]x_2[/mm] + [mm]y_2 +z_2[/mm] + [mm]w_2[/mm] =0
Es ist
[mm]\vektor{x_1\\ y_1 \\z_1 \\w_1}+\vektor{x_2\\ y_2 \\z_2 \\w_2}[/mm][mm] =\vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \\ w_1+ w_2} [/mm]
Es ist
[mm](x_1+x_2)[/mm] + ( [mm]y_1+y_2)[/mm] + ( [mm]z_1+z_2)[/mm] + [mm](w_1+ w_2)[/mm]
=([mm] x_1[/mm] + [mm]y_1 +z_1[/mm] + [mm]w_1[/mm] )+([mm] x_2[/mm] + [mm]y_2 +z_2[/mm] + [mm]w_2[/mm])=0
[mm] x_1+y_1+z_1+w_1=x_2+y_2+z_2+w_2=0
[/mm]
Also ist [mm] \vektor{x_1\\ y_1 \\z_1 \\w_1}+\vektor{x_2\\ y_2 \\z_2 \\w_2} \in U_1
[/mm]
Das war jetzt alles bezüglich addition(?)
Sei k [mm]\in \IR[/mm] und sei [mm]\vektor{x\\ y \\z \\w} \in U_1.[/mm]
Es ist 2x+3y+w=0.
[mm] k\vektor{x\\ y \\z \\w}
[/mm]
[mm] \vektor{x\\ y \\z \\w} \in U_1 [/mm] und da das oben dazugeschrieben ist reicht es zu schreiben kx+ky+kz+kw=0 und nicht 2kx+3ky+kw=0 oder?
wie rechne ich am besten nach ob [mm] u_1 [/mm] nich leer ist? einfach mit ein paar zahlen probieren? oder soll man das irgendwie rechnerisch nachweisen?
wie würden denn eine gleichung aussehen damit ein unterraum leer wäre?denn man kann ja immer irgenwelche zahlen einsetzen damit hinter dem = das passende steht...
ich möcht mich bei dir nochmal recht herzlich für deine hilfe und mühe bedanken!!!
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Hi, Prince,
> [mm]\vektor{x_1\\ y_1 \\z_1 \\w_1},\vektor{x_2\\ y_2 \\z_2 \\w_2} \in U_1.[/mm]
>
>
> Weil sie in [mm]U_1[/mm] sind gilt
> [mm]x_1[/mm] + [mm]y_1 +z_1[/mm] + [mm]w_1[/mm] =0 und
> [mm]x_2[/mm] + [mm]y_2 +z_2[/mm] + [mm]w_2[/mm] =0
Das z in der Gleichung hat angela aus Versehen dazugeschrieben; es war in Deiner Aufgabe zu Beginn nicht vorhanden! Lass' es also in Deiner Rechnung einfach raus!
>
> Es ist
> [mm]\vektor{x_1\\ y_1 \\z_1 \\w_1}+\vektor{x_2\\ y_2 \\z_2 \\w_2}[/mm][mm] =\vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \\ w_1+ w_2}[/mm]
>
> Es ist
> [mm](x_1+x_2)[/mm] + ( [mm]y_1+y_2)[/mm] + ( [mm]z_1+z_2)[/mm] + [mm](w_1+ w_2)[/mm]
> =([mm] x_1[/mm] + [mm]y_1 +z_1[/mm] + [mm]w_1[/mm] )+([mm] x_2[/mm] + [mm]y_2 +z_2[/mm] + [mm]w_2[/mm])=0
>
> [mm]x_1+y_1+z_1+w_1=x_2+y_2+z_2+w_2=0[/mm]
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> Also ist [mm]\vektor{x_1\\ y_1 \\z_1 \\w_1}+\vektor{x_2\\ y_2 \\z_2 \\w_2} \in U_1[/mm]
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> Das war jetzt alles bezüglich addition(?)
>
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>
> Sei k [mm]\in \IR[/mm] und sei [mm]\vektor{x\\ y \\z \\w} \in U_1.[/mm]
> Es
> ist 2x+3y+w=0.
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> [mm]k\vektor{x\\ y \\z \\w}[/mm]
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> [mm]\vektor{x\\ y \\z \\w} \in U_1[/mm] und da das oben
> dazugeschrieben ist reicht es zu schreiben kx+ky+kz+kw=0
???
Nein!
> und nicht 2kx+3ky+kw=0 oder?
Doch! Das wäre OK!
Eben weil gilt:
2(kx) + 3(ky) + (kw) = 0
liegt der Vektor [mm] \vektor{ kx \\ ky \\ kz \\ kw} [/mm] in [mm] U_{1} [/mm] !
> wie rechne ich am besten nach ob [mm]u_1[/mm] nich leer ist? einfach
> mit ein paar zahlen probieren?
Ja, aber "geschickt! Z.B. x=y=z=w=0, also: Nullvektor! (Wenn der schon nicht drinliegt, war Deine ganze vorherige Rechnerei vergebens! Daher nächstes Mal: Damit anfangen!)
mfG!
Zwerglein
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> > Weil sie in [mm]U_1[/mm] sind gilt
> > [mm]x_1[/mm] + [mm]y_1 +z_1[/mm] + [mm]w_1[/mm] =0 und
> > [mm]x_2[/mm] + [mm]y_2 +z_2[/mm] + [mm]w_2[/mm] =0
>
> Das z in der Gleichung hat angela aus Versehen
> dazugeschrieben; es war in Deiner Aufgabe zu Beginn nicht
> vorhanden! Lass' es also in Deiner Rechnung einfach raus!
Oh weh, da ist ein dummer Fehler drin, welchen ich dank ständigen Kopierens immer weiter geschleppt habe:
[mm]2x_1[/mm] + [mm]3y_1 +0z_1[/mm] + [mm]1w_1[/mm] =0
muß es an dieser und vergleichbaren Stellen, in denen geprüft wird, ob ein Vektor in [mm] U_1 [/mm] liegt heißen!
Ich hab's in meinen bisherigen Antworten verbessert.
Entschuldigung, falls ich damit für Verwirrung gesort habe, was ich befürchte.
Gruß v. Angela
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Hi, Prince,
eine kleine Hilfe auch von mir:
Wenn Du vermutest, dass U KEIN Unterraum ist
[mm] (U_{2} [/mm] ist vermutlich kein Unterraum des [mm] \IR^{4}), [/mm] dann brauchst Du nur eines der Vektorraum-Axiome zu widerlegen.
Am häufigsten geht dabei die Existenz des Nullelements "flöten":
Du musst also nur zeigen, dass [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\0} [/mm] nicht in [mm] U_{2} [/mm] liegt und Du hast bewiesen, dass es KEIN Unterraum ist.
mfG!
Zwerglein
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