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in [mm] \IR^{3} [/mm] sind die Teilmengen [mm] U_{a}:= [/mm] { [mm] \vektor{x_{1}\\x_{2}\\x_{3}} \in \IR [/mm] | [mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=a,a \in \IR [/mm] }
so dass hab ich und zeigen soll ich nun das für welche a [mm] \in \IR, U_{a} [/mm] ein Unterraum von [mm] \IR^{3} [/mm] ist und für diese a jeweils eine basis [mm] U_{a} [/mm] angeben.
ALso hab nicht wirklich einen plan wie ich das lösen soll kan mir einer von euch da helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Di 07.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Du willst also prüfen, für welche reellen Zahlen a die Menge [mm] $U_a:=\{\vektor{x_1\\ x_2\\ x_3}\in\IR^3|x_1+x_2+x_3=a\}$ [/mm] ein Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist, richtig?
Betreiben wir doch mal ein wenig Heuristik, damit du beim nächsten Mal von selbst auf die Lösung kommst: welche Kriterien werden an einen Unterraum gestellt? Eine Möglichkeit wäre, zu zeigen, dass sowohl die Addition von Vektoren als auch die Skalarmutiplikation abgeschlossen sind. Nun, wie macht man das? Zur Abgeschlossenheit der Addition greifst du dir einfach zwei beliebige Vektoren [mm] $u\in U_a, u:=\vektor{u_1\\ u_2\\ u_3}$ [/mm] und [mm] $v\in U_a, v:=\vektor{v_1\\ v_2\\ v_3}$ [/mm] aus der Menge [mm] $U_a$ [/mm] heraus, und prüfst nun, ob auch ihre Summe noch in [mm] $U_a$ [/mm] liegt. Wann ist das der Fall? Genau dann, wenn die Summe der Komponenten den Wert a ergibt. Probier' das mal aus und überlege ruhig mal ein paar Minuten bevor die nächste Frage kommt, ok? Es ist kein weiter Weg mehr.
Für die Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation gehst du analog vor: du nimmst dir einen Vektor aus [mm] $u\in U_a$, [/mm] dann einen Skalar [mm] $\lambda\in \IR$, [/mm] errechnest das Produkt und prüfst, wann die Summe der Komponenten a ergibt.
So, nun bist du dran!
Grüße und Viel Erfolg,
Hanno
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Ich habe jetzt die Untervektorraumkriterien überprüft.
also
1. [mm] U_{a} [/mm] ist nicht die leere Menge, weiss nur nicht, ob es da ausreicht, wenn ich sage, dass ja [mm] x_{1} ,x_{2} ,x_{3} [/mm] =a darin liegt.
2. Addition
stimmt, wenn a=0
3. Multiplikation
stimmt, wenn [mm] \lambda [/mm] =1
Stimmt das so?
Ich habe jetzt nur ein Problem damit, wie ich eine Basis angebe??
Kann mir dazu bitte jemand helfen?
mfg
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Die Frage hat sich erledigt, habe inzwischen eine Darstellung für die Basis gefunden, hoffe nur, dass es auch richtig ist
mfg
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