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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Sa 12.01.2008 | | Autor: | iMeN |
| Aufgabe | Man prüfe, ob die folgenden Mengen Trägermengen eines Unterraums des [mm] \IR^{2} [/mm] sind.
a) M1 = {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : x + y - 1 = 0} |
Ich muss also Prüfen
1) M1 darf nicht leer sein!
- > M1 ist nicht leer, weil alle Vektoren x, y die die Gleichung x + y = 1 erfüllen in M1 liegen
2) Für x, y [mm] \in [/mm] M1 gilt: x + y = z, z [mm] \in [/mm] M1
-> (x1 + y1 - 1) + (x2 + y2 - 1) = (x1+x2) + (y1+y2) - 2 = z
z ist [mm] \in [/mm] M1 nur dann wenn (x1+x2) + (y1+y2) = 2
3) Für alle k [mm] \in \IR [/mm] und u [mm] \in [/mm] M1 muss gelten: k*u = l , l [mm] \in [/mm] M1
-> k(x + y - 1) = kx + ky - k [mm] \in [/mm] M1 genau dann wenn: k(x+y) = k, d.h. x=1-y oder y=1 - x.
Frage nun : da die Eigenschaften 2) und 3) nur für bestimmte x, y [mm] \in \IR^{2} [/mm] gilt und nicht für alle, folgere ich dass M1 kein Unterraum des [mm] \IR^{2} [/mm] ist!
oder ist M1 doch ein Unterraum des [mm] \IR^{2} [/mm] wenn ich mich auf Vektoren beschränke die die Eigenschaften 2) und 3) erfüllen?
Gruß an alle :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Sa 12.01.2008 | | Autor: | DaReava |
Hallo!
Wie du richtig geschrieben hast, muss ein Unter(verktor)raum (ich gehe davon aus dass das hier gefragt ist, die Aufgabenstellung hat mich leicht befremdet)
1) Nichtleer
2) Abgeschlossen bzgl der Addition, und
3) Abgeschlossen bzgl der Multiplikation mit Skalaren sein.
Wenn du den begründeten verdacht hast, eine Teilmenge sei kein Unterraum, ist es der einfachste Weg, das durch ein konkretes Gegenbeispiel zu beweisen.
wähle also
$ [mm] a:=(\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}) \in M_1 [/mm] $
Dann gilt: [mm] (a+a)=(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2})=(1,1)
[/mm]
Für dieses so gebildete Tupel namens (a+a) gilt:
$ (a+a)=(1,1) [mm] \not\in M_1 [/mm] $ , da $ 1+1-1 [mm] \not= [/mm] 0 $
Das zu zeigen reicht dann schon aus, da dann die Abgeschl. bzgl. der Addition nicht gegeben ist (und $ [mm] M_1 [/mm] $ somit kein Unterraum mehr sein kann).
Ein kleiner Fehler der mir an dieser Stelle in deinem Ansatz aufgefallen ist:
==
> -> (x1 + y1 - 1) + (x2 + y2 - 1) = (x1+x2) + (y1+y2) - 2 = z
==
du rechnet hier mitsamt dem ganzen Kriterium, desshalb steht am Ende bei dir auch "-2".
$ [mm] M_1 [/mm] = [mm] \{ (x,y) \in \IR^{2} | x + y - 1 = 0 \} [/mm] $
ist aber als eine (unendlich große) Menge von 2-Tupeln zu verstehen, die eine bestimmte Eigenschaft besitzen (eben $ x+y-1=0 $ )
P.S.: Das obige Beispiel wäre auch als Beispiel für Punkt 3) zu gebrauchen,
es entspricht $ (2*a) $ und es ist ja $ [mm] 2\in \IR [/mm] $
wenn das noch unklar ist, frag ruhig nach!
LG reava
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