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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Do 14.08.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Seien [mm] W_1 [/mm] und [mm] W_2 [/mm] Unterräume eines Vektorraumes V mit einer symmetrischen Bilinearform.
a) Man beweise: [mm] (W_1 [/mm] + [mm] W_2)^{\perp} [/mm] = [mm] W_{1}^{\perp} \cap W_2^{\perp}
[/mm]
b) Man beweise: W [mm] \subseteq W^{\perp^{\perp}} [/mm] |
Die Definition von [mm] W^{\perp} [/mm] ist mir klar:
[mm] W^{\perp} [/mm] = {v [mm] \in [/mm] V | < v, W > = 0 }.
Kann ich nun die beiden Behauptungen mit Hilfe dieser Definition lösen, oder wie kann ich am besten vorgehen?
Blicke gerade überhaupt nicht durch....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Do 14.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal die Inklusion " [mm] \subseteq [/mm] " bei a) vor:
Sei x [mm] \in [/mm] $ [mm] (W_1 [/mm] $ + $ [mm] W_2)^{\perp} [/mm] $. Dann: [mm] [/mm] = 0 für jedes [mm] w_1 \in W_{1} [/mm] und jedes [mm] w_2 \in W_2.
[/mm]
Damit: [mm] [/mm] = 0 für jedes [mm] w_1 \in W_{1}, [/mm] also x [mm] \in W_1^{\perp}
[/mm]
und [mm] [/mm] = 0 für jedes [mm] w_2 \in W_{2}, [/mm] also x [mm] \in W_2^{\perp}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Do 14.08.2008 | | Autor: | jokerose |
>
> Sei x [mm]\in[/mm] [mm](W_1[/mm] + [mm]W_2)^{\perp} [/mm]. Dann: [mm][/mm] = 0
> für jedes [mm]w_1 \in W_{1}[/mm] und jedes [mm]w_2 \in W_2.[/mm]
> Damit:
> [mm][/mm] = 0 für jedes [mm]w_1 \in W_{1},[/mm] also x [mm]\in W_1^{\perp}[/mm]
>
> und [mm][/mm] = 0 für jedes [mm]w_2 \in W_{2},[/mm] also x [mm]\in W_2^{\perp}[/mm]
>
Mir ist noch nicht ganz klar, wie du aus < x , [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2 [/mm] > = 0 folgern kannst, dass < x , [mm] w_1 [/mm] > = 0.
Es gilt ja < x , [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2 [/mm] > = 0
[mm] \gdw [/mm] < x , [mm] w_1 [/mm] > + < x, [mm] w_2 [/mm] > = 0
[mm] \gdw [/mm] < x , [mm] w_1 [/mm] > = - < x , [mm] w_2 [/mm] >
Weshalt ist dann < x , [mm] w_1 [/mm] > = 0 und < x , [mm] w_2 [/mm] > = 0 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Do 14.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Du hast
[mm] [/mm] = 0 für jedes [mm] w_1 \in W_1 [/mm] und jedes [mm] w_2 \in W_2 [/mm] .
Mit [mm] w_2 [/mm] = 0 folgt [mm] [/mm] = 0 für jedes [mm] w_1 \in W_1.
[/mm]
Mit [mm] w_1 [/mm] = 0 folgt .................................
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Do 14.08.2008 | | Autor: | jokerose |
Für b) hätte ich dann folgenden Vorschlag:
Sei w [mm] \in [/mm] W , x [mm] \in W^{\perp} [/mm] und y [mm] \in W^{\perp^{\perp}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] < x, w > = 0 und < x , y > = 0 für jedes w [mm] \in [/mm] W , jedes x [mm] \in W^{\perp} [/mm] und jedes y [mm] \in W^{\perp^{\perp}}.
[/mm]
Also w = y und daraus folgt die Behauptung....!
Ist dies korrekt?
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> Für b) hätte ich dann folgenden Vorschlag:
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> Sei w [mm]\in[/mm] W , x [mm]\in W^{\perp}[/mm] und y [mm]\in W^{\perp^{\perp}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] < x, w > = 0 und < x , y > = 0 für jedes w [mm]\in[/mm]
> W , jedes x [mm]\in W^{\perp}[/mm] und jedes y [mm]\in W^{\perp^{\perp}}.[/mm]
>
> Also w = y und daraus folgt die Behauptung....!
> Ist dies korrekt?
Nein, ich denke dies ist nicht richtig. Du kannst nicht erwarten, dass $w=y$ ist: denn Du hast ja [mm] $w\in [/mm] W$ und [mm] $y\in \left(W^\perp\right)^\perp$ [/mm] beliebig gewählt.
Mein Gegenvorschlag für einen Beweis: Sei [mm] $w\in [/mm] W$ beliebig. Zu zeigen ist, dass [mm] $w\in \left(W^\perp\right)^\perp$ [/mm] gilt: Sei [mm] $x\in W^\perp$ [/mm] beliebig. Wegen [mm] $w\in [/mm] W$ folgt $<x,w>=0$ und daher auch $<w,x>=0$. Da [mm] $x\in W^\perp$ [/mm] beliebig war, ist also [mm] $w\in \left(W^\perp\right)^\perp$, [/mm] wie behauptet.
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