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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Do 27.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Mein Verzweifeln geht leider weiter...
Ich versuche mal, während ich noch an den Vektorräumen knabbere, trotzdem ein bisschen in der Vorlesung voran zu kommen, und was kommt da - Untervektorräume :-(
Auch hier sind wieder Beispiele, und ich krieg es nicht hin, die Unterraum-Axiome zu prüfen...
Mein erstes Beispiel ist folgendes: $U= [mm] \{ 0_V \}$ [/mm] ist ein Unterraum von $V$.
So, ich hab ja folgende Eigenschaften, die gelten müssen:
a) [mm] $0_V \in [/mm] U$
b) [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] U: x+y [mm] \in [/mm] U$
c) [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U, a [mm] \in [/mm] K: a*x [mm] \in [/mm] U$
So, Punkt a) ist erfüllt: [mm] 0_V [/mm] ist in $U$ enthalten, da es ja in der Menge $U$ vorgegeben ist.
Nun zu Punkt b): Da würd ich zum einen gerne wissen, ob $x$ und $y$ verschieden sein müssen? Weil wenn ja, dann geht der Punkt ja nicht, weil ich nur ein Element in der Menge habe. Und dann würd ich gerne wissen, was das $+$ für eine Verknüpfung ist? Ist das Addition im Vektorraum $V$ oder im Unterraum (ist die dann anders als die Verknüpfung in $V$) oder in einem Körper [quasi das gleiche Thema wie im Vektorraum-Thread...]?
Zu Punkt c): Auch hier weiß ich nicht, wo die Verknüpfung jetzt stattfindet.
Vielen Dank für eure Mühe.
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
ich wollte dir vorhin schon antworten, hatte mir aber Kaffee über die Tastatur geschüttet :(
![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]")
> Hallo zusammen!
>
> Mein Verzweifeln geht leider weiter...
>
> Ich versuche mal, während ich noch an den Vektorräumen
> knabbere, trotzdem ein bisschen in der Vorlesung voran zu
> kommen, und was kommt da - Untervektorräume :-(
>
> Auch hier sind wieder Beispiele, und ich krieg es nicht
> hin, die Unterraum-Axiome zu prüfen...
>
> Mein erstes Beispiel ist folgendes: [mm]U= \{ 0_V \}[/mm] ist ein
> Unterraum von [mm]V[/mm].
>
> So, ich hab ja folgende Eigenschaften, die gelten müssen:
>
> a) [mm]0_V \in U[/mm]
> b) [mm]\forall x,y \in U: x+y \in U[/mm]
> c) [mm]\forall x \in U, a \in K: a*x \in U[/mm]
>
> So, Punkt a) ist erfüllt: [mm]0_V[/mm] ist in [mm]U[/mm] enthalten, da es ja in der Menge [mm]U[/mm] vorgegeben ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun zu Punkt b): Da würd ich zum einen gerne wissen, ob [mm]x[/mm]
> und [mm]y[/mm] verschieden sein müssen?
Nein, es muss nur für alle gelten, und hier hast du halt nur 1 Element
> Weil wenn ja, dann geht der Punkt ja nicht, weil ich nur ein Element in der Menge habe.
eben
> Und dann würd ich gerne wissen, was das [mm]+[/mm] für eine
> Verknüpfung ist? Ist das Addition im Vektorraum [mm]V[/mm] oder im
> Unterraum (ist die dann anders als die Verknüpfung in [mm]V[/mm])
> oder in einem Körper [quasi das gleiche Thema wie im
> Vektorraum-Thread...]?
Die Verknüpfung "+" (also die Vektoraddition) in U wird vererbt von V, es ist dieselbe innere Verknüpfung wie in V, nur eingeschränkt auf die Teilmenge U von V
>
> Zu Punkt c): Auch hier weiß ich nicht, wo die Verknüpfung
> jetzt stattfindet.
Das ist weiterhin die äußere Verknüpfung mit Skalaren aus dem Körper [mm] $\mathbb{K}$
[/mm]
Zum Nachweis von c):
Sei [mm] $\lambda\in\mathbb{K}$ [/mm] beliebig
Dann ist [mm] $\lambda\cdot{}0_V=0_V\in [/mm] U$
Das war's schon
>
> Vielen Dank für eure Mühe.
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Do 27.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus!
> ich wollte dir vorhin schon antworten, hatte mir aber
> Kaffee über die Tastatur geschüttet :(
Ui, das ist doof. Hoffentlich hat dein Rechner keinen Schaden davon getragen.
> > Nun zu Punkt b): Da würd ich zum einen gerne wissen, ob [mm]x[/mm]
> > und [mm]y[/mm] verschieden sein müssen?
> Nein, es muss nur für alle gelten, und hier hast du halt
> nur 1 Element
> > Weil wenn ja, dann geht der Punkt ja nicht, weil ich nur
> > ein Element in der Menge habe.
> eben
> > Und dann würd ich gerne wissen, was das [mm]+[/mm] für eine
> > Verknüpfung ist? Ist das Addition im Vektorraum [mm]V[/mm] oder im
> > Unterraum (ist die dann anders als die Verknüpfung in [mm]V[/mm])
> > oder in einem Körper [quasi das gleiche Thema wie im
> > Vektorraum-Thread...]?
> Die Verknüpfung "+" (also die Vektoraddition) in U wird
> vererbt von V, es ist dieselbe innere Verknüpfung wie in
> V, nur eingeschränkt auf die Teilmenge U von V
Hmm, gut.
Also vererbe ich die Verknüpfung $V [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ mit $(v,w) [mm] \mapsto [/mm] v [mm] \oplus [/mm] w$
Also angewendet auf meine Menge da oben wäre das ja dann [mm] $(0_V,0_V) \mapsto 0_V \oplus 0_V$.
[/mm]
So, und nun weiß ich wieder nicht, wie ich weiter machen muss. Wir haben in dem Beispiel keine Angaben darüber, wie man Elemente mit einer Vektorraum-Addition verknüpft. Und auch ansonsten finde ich in meiner Vorlesungmitschrift keine wirkliche Definition über eine allgemeine Regel für eine Vektorraum-Addition.
LG, Nadine
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus!
>
> > ich wollte dir vorhin schon antworten, hatte mir aber
> > Kaffee über die Tastatur geschüttet :(
>
> Ui, das ist doof. Hoffentlich hat dein Rechner keinen
> Schaden davon getragen.
Nein, lediglich die Tastatur ist hinüber, ich evrsuche mal, sie in die Spülmaschine zu tun, habe mal gehört, das könne helfen ...
>
>
>
> > > Nun zu Punkt b): Da würd ich zum einen gerne wissen, ob [mm]x[/mm]
> > > und [mm]y[/mm] verschieden sein müssen?
>
> > Nein, es muss nur für alle gelten, und hier hast du halt
> > nur 1 Element
>
> > > Weil wenn ja, dann geht der Punkt ja nicht, weil ich nur
> > > ein Element in der Menge habe.
>
> > eben
>
> > > Und dann würd ich gerne wissen, was das [mm]+[/mm] für eine
> > > Verknüpfung ist? Ist das Addition im Vektorraum [mm]V[/mm] oder im
> > > Unterraum (ist die dann anders als die Verknüpfung in [mm]V[/mm])
> > > oder in einem Körper [quasi das gleiche Thema wie im
> > > Vektorraum-Thread...]?
>
> > Die Verknüpfung "+" (also die Vektoraddition) in U wird
> > vererbt von V, es ist dieselbe innere Verknüpfung wie in
> > V, nur eingeschränkt auf die Teilmenge U von V
>
> Hmm, gut.
>
> Also vererbe ich die Verknüpfung [mm]V \times V \to V[/mm] mit
> [mm](v,w) \mapsto v \oplus w[/mm]
>
> Also angewendet auf meine Menge da oben wäre das ja dann
> [mm](0_V,0_V) \mapsto 0_V \oplus 0_V[/mm].
>
> So, und nun weiß ich wieder nicht, wie ich weiter machen
> muss. Wir haben in dem Beispiel keine Angaben darüber, wie
> man Elemente mit einer Vektorraum-Addition verknüpft. Und
> auch ansonsten finde ich in meiner Vorlesungmitschrift
> keine wirkliche Definition über eine allgemeine Regel für
> eine Vektorraum-Addition.
Die ganzen Dinge über die Unterräume gelten doch unabh. von einer speziellen Verknüpfung.
Mit einem VR $V$ über einem Körper [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] hast du immer 2 Verknüpfungen gegeben, eine innere von [mm] $V\times V\to [/mm] V$ und eine äußere Verknüpfung [mm] $\mathbb{K}\times V\to [/mm] V$
Wie die im Detail und genau aussehen, ist egal, Hautsache, sie erfüllen die VR-Axiome.
Auch müssen sie nicht [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] heißen ...
Mache dich davon mal etwas frei ...
Der Nullvektor [mm] $0_V$ [/mm] aus U ist ja insbesondere auch der Nullvektor in V, dh. mit der gegebenen inneren Verknüpfung (ich nenne sie nur "+") [mm] $+:V\times V\to [/mm] V, [mm] (a,b)\mapsto [/mm] a+b$ gilt insbesondere [mm] $0_V+0_V=0_V$
[/mm]
Der Nullvektor ist das neutrale Element bzgl. +, denke an das VR-Axiom $(V,+)$ ist abelsche Gruppe!
Das vererbt sich auf jeden Unterraum U, schaue bei Untergruppen nach ...
Ich weiß jetzt gar nciht so recht, wie weit ich ausholen soll und was ganz genau du wissen möchtest.
Vllt. fragst du nochmal ganz konkret, was du nicht ganz verstanden hast ...
>
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Do 27.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus!
Mein Problem ist, dass ich selber nicht so genau weiß, was ich fragen soll, einfach weil ich irgendwie maximal immer nur irgendwelche Bruchstücke verstehe. Ich sehe nicht mal ansatzweise ein Gesamtbild (nämlich das des Vektorraums).
Nochmal konkret zur Addition:
Woher weiß ich, dass das Ergebnis von [mm] 0_V \oplus 0_V [/mm] wieder in $U$ liegt, wenn ich gar nicht genau weiß, wie das zusammen addiert wird (weil ich keine Vektorraum-Addition kenne). Und wenn ich das nicht weiß, kenne ich nicht das Ergebnis und kann somit auch nicht sagen, ob es in $U$ liegt oder nicht.
Und das verstehe ich nicht, wie ich das jetzt prüfen soll, ob es in $U$ liegt.
LG, Nadine
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus!
>
> Mein Problem ist, dass ich selber nicht so genau weiß, was
> ich fragen soll, einfach weil ich irgendwie maximal immer
> nur irgendwelche Bruchstücke verstehe. Ich sehe nicht mal
> ansatzweise ein Gesamtbild (nämlich das des Vektorraums).
Ja, das sind auch abstrakte Biester, diese VRe, die kann man sich "plastisch" nicht so richtig gut vorstellen ...
>
> Nochmal konkret zur Addition:
>
> Woher weiß ich, dass das Ergebnis von [mm]0_V \oplus 0_V[/mm]
> wieder in [mm]U[/mm] liegt, wenn ich gar nicht genau weiß, wie das
> zusammen addiert wird (weil ich keine Vektorraum-Addition
> kenne). Und wenn ich das nicht weiß, kenne ich nicht das
> Ergebnis und kann somit auch nicht sagen, ob es in [mm]U[/mm] liegt
> oder nicht.
>
> Und das verstehe ich nicht, wie ich das jetzt prüfen soll,
> ob es in [mm]U[/mm] liegt.
Nun, ein Vektorraum über einem Körper [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] ist quasi ein 4-Tupel [mm] $(V,\oplus,\odot,\mathbb{K})$
[/mm]
wobei $V$ eine Menge von Vektoren ist, [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] ein Körper , [mm] $\oplus:V\times V\to [/mm] V$ eine innere Verknüpfung (Vektoraddition) und [mm] $\odot:\mathbb{K}\times V\to [/mm] V$ eine äüßere Verknüpfung, die die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren aus dem Körper [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] regelt.
Diese Operationen müssen nun gewisse Eigenschaften erfüllen, diese ganzen VR-Axiome ...
Eines besagt, dass [mm] $(V,\oplus)$ [/mm] eine abelsche Gruppe ist.
Diese hat als solche ein bzgl. [mm] \oplus$ [/mm] neutrales Element, das üblicherweise mit [mm] $0_V$ [/mm] bezeichnet wird, das ist der Nullvektor.
Für den gilt für alle [mm] $a\in [/mm] V$ (a ist ein Vektor!): [mm] $0_V\oplus a=a\oplus 0_V=a$
[/mm]
Das gilt insbesondere auch für den Vektor [mm] $a=0_V$, [/mm] also [mm] $0_V\oplus 0_V=0_V$
[/mm]
Nun hast du einen Unterraum U gegeben. Die Verknüpfungen werden beide "vererbt" und lediglich auf U eingeschränkt.
Es ist also [mm] $(U,\oplus|_U,\oplus|_U,\mathbb{K})$ [/mm] wieder ein VR, also muss [mm] $(U,\oplus|_U)$ [/mm] eine abelsche Gruppe sein.
Das neutrale Element wird vererbt, das ist [mm] $0_V$, [/mm] also ist wieder [mm] $0_V\oplus|_U [/mm] \ [mm] 0_V=0_V$
[/mm]
(Das gilt für jeden Unterraum U von V, also insbesondere für den hier gegebenen Unterraum [mm] $U=\{0_V\}$)
[/mm]
>
> LG, Nadine
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Do 27.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus!
> Nun hast du einen Unterraum U gegeben. Die Verknüpfungen
> werden beide "vererbt" und lediglich auf U eingeschränkt.
>
> Es ist also [mm](U,\oplus|_U,\oplus|_U,\mathbb{K})[/mm] wieder ein
> VR, also muss [mm](U,\oplus|_U)[/mm] eine abelsche Gruppe sein.
>
> Das neutrale Element wird vererbt, das ist [mm]0_V[/mm], also ist
> wieder [mm]0_V\oplus|_U \ 0_V=0_V[/mm]
Ok, ich denke, soweit hab ich das verstanden.
[mm] 0_V [/mm] ist das neutrale Element in $V$, das ändert sich ja nicht, wenn ich $V$ quasi auf $U$ einschränke [mm] 0_V [/mm] bleibt weiterhin das neutrale Element, es kann kein neues auftauchen, richtig? Und die ganzen VR-Axiome gelten ja auch noch, wenn ich $V$ auf $U$ einschränke, richtig?
Unabhängig davon, ob $U$ nun ein Unterraum ist, oder nicht, richtig?
[Also genauso, wie wenn ich die reellen Zahlen [mm] \IR [/mm] auf eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] einschränke, z.B. auf die Zahlen 1 bis 100, dann ändern sich die Rechenaxiome ja nicht.]
So, nun zur Skalarmultiplikation:
Aus $x [mm] \in [/mm] U$ und $a [mm] \in [/mm] K$ soll folgen, dass $a [mm] \odot [/mm] x [mm] \in [/mm] U$.
Ich hab nur ein Element, also ist [mm] x=0_V [/mm] und $a$ bleibt irgendein Element aus irgendeinem Körper.
Dann hab ich $a [mm] \odot 0_V$.
[/mm]
So, aber da kann ich ja nun nicht mit irgendeinem vererebten Vektorraum-Axiom komme, weil ich keins habe, dass mir sagt, was $a [mm] \odot 0_V$ [/mm] ist.
Wie muss ich nun hier vorgehen?
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo schachuzipus!
>
> > Nun hast du einen Unterraum U gegeben. Die Verknüpfungen
> > werden beide "vererbt" und lediglich auf U eingeschränkt.
> >
> > Es ist also [mm](U,\oplus|_U,\oplus|_U,\mathbb{K})[/mm] wieder ein
> > VR, also muss [mm](U,\oplus|_U)[/mm] eine abelsche Gruppe sein.
> >
> > Das neutrale Element wird vererbt, das ist [mm]0_V[/mm], also ist
> > wieder [mm]0_V\oplus|_U \ 0_V=0_V[/mm]
>
> Ok, ich denke, soweit hab ich das verstanden.
>
> [mm]0_V[/mm] ist das neutrale Element in [mm]V[/mm], das ändert sich ja
> nicht, wenn ich [mm]V[/mm] quasi auf [mm]U[/mm] einschränke [mm]0_V[/mm] bleibt
> weiterhin das neutrale Element, es kann kein neues
> auftauchen, richtig?
Ja, denn [mm] $(U,\oplus|_U)$ [/mm] ist Untergruppe von [mm] $(V,\oplus)$
[/mm]
> Und die ganzen VR-Axiome gelten ja
> auch noch, wenn ich [mm]V[/mm] auf [mm]U[/mm] einschränke, richtig?
> Unabhängig davon, ob [mm]U[/mm] nun ein Unterraum ist, oder nicht,
> richtig?
Nein, nur, wenn U ein Unterraum ist.
Bsp. [mm] $V=\IR$ [/mm] als [mm] $\IR$ [/mm] Vektorraum. dann ist [mm] $U=\{1\}$ [/mm] zwar ne Teilmenge von V, aber kein Unterraum von V, denn es erfüllt (mind.) eine der 3 Bedingungen, die du im ersten post genannt hast, nicht.
Wieso ist U konkret kein Unterraum?
>
> [Also genauso, wie wenn ich die reellen Zahlen [mm]\IR[/mm] auf eine
> Teilmenge von [mm]\IR[/mm] einschränke, z.B. auf die Zahlen 1 bis
> 100, dann ändern sich die Rechenaxiome ja nicht.]
Die nicht, aber diese Menge bildet ebenfalls keinen VR, die 0 ist nicht drin $100+100$ ist nicht drin ...
Bloß Teilmenge zu sein, genügt natürlich nicht. (siehe wieder die Unterraumkriterien oben)
>
> So, nun zur Skalarmultiplikation:
>
> Aus [mm]x \in U[/mm] und [mm]a \in K[/mm] soll folgen, dass [mm]a \odot x \in U[/mm].
>
> Ich hab nur ein Element, also ist [mm]x=0_V[/mm] und [mm]a[/mm] bleibt
> irgendein Element aus irgendeinem Körper.
Ja!
>
> Dann hab ich [mm]a \odot 0_V[/mm].
>
> So, aber da kann ich ja nun nicht mit irgendeinem
> vererebten Vektorraum-Axiom komme, weil ich keins habe,
> dass mir sagt, was [mm]a \odot 0_V[/mm] ist.
Eines der VR-Axiome besagt, dass für alle Skalare a aus dem Körper und alle Vektoren $v,w$ aus dem VR gelten muss [mm] $a\odot(v\oplus w)=(a\odot [/mm] v) \ [mm] \oplus [/mm] \ [mm] (a\odot [/mm] w)$
Hier also mit bel. a aus dem Körper und [mm] $v=w=0_V$
[/mm]
[mm] $\red{a\odot 0_V}=a\odot(0_V\oplus 0_V)=\red{(a\odot 0_V) \ \oplus \ (a\odot 0_V)}$
[/mm]
Also ...
> Wie muss ich nun hier vorgehen?
Du kannst es dir aus den VR-Axiomen herleiten (s.o.)
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Do 27.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus.
Oh man, ich hasse dieses Thema... :-(
> Ja, denn [mm](U,\oplus|_U)[/mm] ist Untergruppe von [mm](V,\oplus)[/mm]
Das gilt jetzt aber nur, wenn $U$ ein Unterraum ist, oder?
> > Und die ganzen VR-Axiome gelten ja
> > auch noch, wenn ich [mm]V[/mm] auf [mm]U[/mm] einschränke, richtig?
> > Unabhängig davon, ob [mm]U[/mm] nun ein Unterraum ist, oder
> nicht,
> > richtig?
>
> Nein, nur, wenn U ein Unterraum ist.
Ich meine nicht alle Axiome, sondern nur die Rechen-Axiome.
Wenn z.B. $V= [mm] \{ a,b,c,d,e,0 \}$ [/mm] und $U [mm] \subset [/mm] V$ mit $U= [mm] \{ a,b,e \}$.
[/mm]
Dann bleiben doch so Sachen wie Kommutativität, Assoziativität und so mit Sicherheit erhalten.
Nur so Sachen wie Rechenregeln für das neutrale Element gelten nicht in $U$, wenn das neutrale Element nicht Teil von $U$ ist, richtig?
> > Dann hab ich [mm]a \odot 0_V[/mm].
> >
> > So, aber da kann ich ja nun nicht mit irgendeinem
> > vererebten Vektorraum-Axiom komme, weil ich keins habe,
> > dass mir sagt, was [mm]a \odot 0_V[/mm] ist.
>
> Eines der VR-Axiome besagt, dass für alle Skalare a aus
> dem Körper und alle Vektoren [mm]v,w[/mm] aus dem VR gelten muss
> [mm]a\odot(v\oplus w)=(a\odot v) \ \oplus \ (a\odot w)[/mm]
>
> Hier also mit bel. a aus dem Körper und [mm]v=w=0_V[/mm]
>
> [mm]\red{a\odot 0_V}=a\odot(0_V\oplus 0_V)=\red{(a\odot 0_V) \ \oplus \ (a\odot 0_V)}[/mm]
>
>
> Also ...
Also ehrlich gesagt... ich weiss es nicht ![[knirsch]](/images/smileys/knirsch.gif "[knirsch]") ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo schachuzipus.
>
> Oh man, ich hasse dieses Thema... :-(
Nana, nicht verzagen!
>
>
>
> > Ja, denn [mm](U,\oplus|_U)[/mm] ist Untergruppe von [mm](V,\oplus)[/mm]
>
> Das gilt jetzt aber nur, wenn [mm]U[/mm] ein Unterraum ist, oder?
Ja!
>
>
>
> > > Und die ganzen VR-Axiome gelten ja
> > > auch noch, wenn ich [mm]V[/mm] auf [mm]U[/mm] einschränke, richtig?
> > > Unabhängig davon, ob [mm]U[/mm] nun ein Unterraum ist, oder
> > nicht,
> > > richtig?
> >
> > Nein, nur, wenn U ein Unterraum ist.
>
> Ich meine nicht alle Axiome, sondern nur die
> Rechen-Axiome.
> Wenn z.B. [mm]V= \{ a,b,c,d,e,0 \}[/mm] und [mm]U \subset V[/mm] mit [mm]U= \{ a,b,e \}[/mm].
Diese Menge U kann niemals zu einem Unterraum von V werden.
Nochmal, jeder Unterraum ist insbesondere selber auch ein VR, es müssen also auch für einen Unterraum die VR-Axiome gelten, es muss etwa ein neutrales Element bzgl. der Vektoraddition geben.
Das ist in deinem Bsp. in V die 0, die muss in jedem Untterraum von V drin sein!
Was meinst du denn überhaupt mit Rechenregeln, wenn nicht die VR-Axiome?
Der erste Teil der Axiome legt doch die Rechen- oder Verknüpfungsregeln in V fest (bzgl. der Vektoraddition)
Der ganze andere Teil legt die Rechenregeln für die Multiplikation mit Skalaren fest.
Und da jeder Unterraum ein Vektorraum ist, sind diese natürlich auch im Unterraum gültig
>
> Dann bleiben doch so Sachen wie Kommutativität,
> Assoziativität und so mit Sicherheit erhalten.
Ja, durch die Axiome
> Nur so Sachen wie Rechenregeln für das neutrale Element
> gelten nicht in [mm]U[/mm], wenn das neutrale Element nicht Teil von
> [mm]U[/mm] ist, richtig?
Das kann nicht sein. U muss die 0 (=neutrales Element=Nullvektor in V) enthalten, das wird immer von V auf jeden beliebigen Unterraum U von V "vererbt"
>
>
> > > Dann hab ich [mm]a \odot 0_V[/mm].
> > >
> > > So, aber da kann ich ja nun nicht mit irgendeinem
> > > vererebten Vektorraum-Axiom komme, weil ich keins habe,
> > > dass mir sagt, was [mm]a \odot 0_V[/mm] ist.
> >
> > Eines der VR-Axiome besagt, dass für alle Skalare a aus
> > dem Körper und alle Vektoren [mm]v,w[/mm] aus dem VR gelten muss
> > [mm]a\odot(v\oplus w)=(a\odot v) \ \oplus \ (a\odot w)[/mm]
> >
> > Hier also mit bel. a aus dem Körper und [mm]v=w=0_V[/mm]
> >
> > [mm]\red{a\odot 0_V}=a\odot(0_V\oplus 0_V)=\red{(a\odot 0_V) \ \oplus \ (a\odot 0_V)}[/mm]
>
> >
> >
> > Also ...
>
> Also ehrlich gesagt... ich weiss es nicht
>
Na, das neutrale Element bzgl. [mm] $\oplus$ [/mm] ist [mm] $0_V$, [/mm] das kann ich also bedenkenlos linkerhand von rechts dranverknüpfen, ohne dass was kaputt geht. Damit bekomme ich
[mm] $\blue{(a\odot 0_V)} [/mm] \ [mm] \oplus [/mm] \ [mm] 0_V [/mm] \ = \ [mm] \blue{(a\odot 0_V)} [/mm] \ [mm] \oplus [/mm] \ [mm] (a\odot 0_V)$
[/mm]
Nun gilt in Gruppen (und das ist [mm] $(V,\oplus)$ [/mm] ja) die ![[]](/images/popup.gif) Kürzungsregel, also ...
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Do 27.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus.
> > > > Und die ganzen VR-Axiome gelten ja
> > > > auch noch, wenn ich [mm]V[/mm] auf [mm]U[/mm] einschränke, richtig?
> > > > Unabhängig davon, ob [mm]U[/mm] nun ein Unterraum ist,
> oder
> > > nicht,
> > > > richtig?
> > >
> > > Nein, nur, wenn U ein Unterraum ist.
> >
> > Ich meine nicht alle Axiome, sondern nur die
> > Rechen-Axiome.
> > Wenn z.B. [mm]V= \{ a,b,c,d,e,0 \}[/mm] und [mm]U \subset V[/mm] mit [mm]U= \{ a,b,e \}[/mm].
>
> Diese Menge U kann niemals zu einem Unterraum von V
> werden.
>
> Nochmal, jeder Unterraum ist insbesondere selber auch ein
> VR, es müssen also auch für einen Unterraum die VR-Axiome
> gelten, es muss etwa ein neutrales Element bzgl. der
> Vektoraddition geben.
>
> Das ist in deinem Bsp. in V die 0, die muss in jedem
> Untterraum von V drin sein!
>
> Was meinst du denn überhaupt mit Rechenregeln, wenn nicht
> die VR-Axiome?
>
> Der erste Teil der Axiome legt doch die Rechen- oder
> Verknüpfungsregeln in V fest (bzgl. der Vektoraddition)
>
> Der ganze andere Teil legt die Rechenregeln für die
> Multiplikation mit Skalaren fest.
>
> Und da jeder Unterraum ein Vektorraum ist, sind diese
> natürlich auch im Unterraum gültig
>
> >
> > Dann bleiben doch so Sachen wie Kommutativität,
> > Assoziativität und so mit Sicherheit erhalten.
>
> Ja, durch die Axiome
>
> > Nur so Sachen wie Rechenregeln für das neutrale Element
> > gelten nicht in [mm]U[/mm], wenn das neutrale Element nicht Teil von
> > [mm]U[/mm] ist, richtig?
>
> Das kann nicht sein. U muss die 0 (=neutrales
> Element=Nullvektor in V) enthalten, das wird immer von V
> auf jeden beliebigen Unterraum U von V "vererbt"
Ich glaube, hier haben wir uns missverstanden.
Ich meinte, dass wenn $U$ einfach nur eine Teilmenge (kein Unterraum) von $V$ ist, dass dann diese "Rechenregeln" Kommutativität, Assoziativität usw. in der Teilmenge auch vorhanden sind. Weil die ja für alle Elemente aus $V$ gelten, und das halt nur ein bestimmter Teildavon ist.
Das meinte ich, und das stimmt doch so, oder?
> > > > Dann hab ich [mm]a \odot 0_V[/mm].
> > > >
> > > > So, aber da kann ich ja nun nicht mit irgendeinem
> > > > vererebten Vektorraum-Axiom komme, weil ich keins habe,
> > > > dass mir sagt, was [mm]a \odot 0_V[/mm] ist.
> > >
> > > Eines der VR-Axiome besagt, dass für alle Skalare a aus
> > > dem Körper und alle Vektoren [mm]v,w[/mm] aus dem VR gelten muss
> > > [mm]a\odot(v\oplus w)=(a\odot v) \ \oplus \ (a\odot w)[/mm]
> >
> >
> > > Hier also mit bel. a aus dem Körper und [mm]v=w=0_V[/mm]
> > >
> > > [mm]\red{a\odot 0_V}=a\odot(0_V\oplus 0_V)=\red{(a\odot 0_V) \ \oplus \ (a\odot 0_V)}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > Also ...
> >
> > Also ehrlich gesagt... ich weiss es nicht
> >
>
> Na, das neutrale Element bzgl. [mm]\oplus[/mm] ist [mm]0_V[/mm], das kann ich
> also bedenkenlos linkerhand von rechts dranverknüpfen,
> ohne dass was kaputt geht. Damit bekomme ich
>
> [mm]\blue{(a\odot 0_V)} \ \oplus \ 0_V \ = \ \blue{(a\odot 0_V)} \ \oplus \ (a\odot 0_V)[/mm]
>
> Nun gilt in Gruppen (und das ist [mm](V,\oplus)[/mm] ja) die
> Kürzungsregel,
> also ...
Achso, und dann kann ich die beiden blauen Terme wegkürzen und es bleibt [mm] $(a\odot 0_V)=0_V$?
[/mm]
Wie schön, dass Gruppen bei uns erst in LAII dran kommen ![[boese]](/images/smileys/boese.gif "[boese]")
[Bitte frag nicht warum, ein anderes MR-Mitgleid hat es auch schon getan und ich konnte es nicht beantworten...]
Wahrscheinlich hätte ich es auch irgendwie aus den Körperaxiomen herleiten können, weil eine Gruppe ist doch soviel ich weiß eine "Teilmenge" (ich weiß den richtigen Begriff nicht) eines Körpers. Aber solche Sachen haben wir da gar nicht gemacht...
Körper waren auch bloß zwei Seiten in meiner Vorlesungsmitschrift... Definition, zwei/drei Beispiele und zwei/drei Rechenregeln, aber Kürzungsregel... keine Chance...
Irgendwie habe ich den Verdacht, dass meine Vorlesungsmitschrift nicht so dass allerbeste zum Lernen ist. Kannst du mir vielleicht ein gutes Buch empfehlen? Bei uns wurde der Bosch empfohlen, aber als Einstieg finde ich den irgendwie ungeeigenet.
LG, Nadine
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Hallo nochmal, wackere Kämpferin 
> Hallo schachuzipus.
>
>
>
> > > > > Und die ganzen VR-Axiome gelten ja
> > > > > auch noch, wenn ich [mm]V[/mm] auf [mm]U[/mm] einschränke, richtig?
> > > > > Unabhängig davon, ob [mm]U[/mm] nun ein Unterraum ist,
> > oder
> > > > nicht,
> > > > > richtig?
> > > >
> > > > Nein, nur, wenn U ein Unterraum ist.
> > >
> > > Ich meine nicht alle Axiome, sondern nur die
> > > Rechen-Axiome.
> > > Wenn z.B. [mm]V= \{ a,b,c,d,e,0 \}[/mm] und [mm]U \subset V[/mm] mit
> [mm]U= \{ a,b,e \}[/mm].
> >
> > Diese Menge U kann niemals zu einem Unterraum von V
> > werden.
> >
> > Nochmal, jeder Unterraum ist insbesondere selber auch ein
> > VR, es müssen also auch für einen Unterraum die VR-Axiome
> > gelten, es muss etwa ein neutrales Element bzgl. der
> > Vektoraddition geben.
> >
> > Das ist in deinem Bsp. in V die 0, die muss in jedem
> > Untterraum von V drin sein!
> >
> > Was meinst du denn überhaupt mit Rechenregeln, wenn nicht
> > die VR-Axiome?
> >
> > Der erste Teil der Axiome legt doch die Rechen- oder
> > Verknüpfungsregeln in V fest (bzgl. der Vektoraddition)
> >
> > Der ganze andere Teil legt die Rechenregeln für die
> > Multiplikation mit Skalaren fest.
> >
> > Und da jeder Unterraum ein Vektorraum ist, sind diese
> > natürlich auch im Unterraum gültig
> >
> > >
> > > Dann bleiben doch so Sachen wie Kommutativität,
> > > Assoziativität und so mit Sicherheit erhalten.
> >
> > Ja, durch die Axiome
> >
> > > Nur so Sachen wie Rechenregeln für das neutrale Element
> > > gelten nicht in [mm]U[/mm], wenn das neutrale Element nicht Teil von
> > > [mm]U[/mm] ist, richtig?
> >
> > Das kann nicht sein. U muss die 0 (=neutrales
> > Element=Nullvektor in V) enthalten, das wird immer von V
> > auf jeden beliebigen Unterraum U von V "vererbt"
>
> Ich glaube, hier haben wir uns missverstanden.
> Ich meinte, dass wenn [mm]U[/mm] einfach nur eine Teilmenge (kein
> Unterraum) von [mm]V[/mm] ist, dass dann diese "Rechenregeln"
> Kommutativität, Assoziativität usw. in der Teilmenge auch
> vorhanden sind. Weil die ja für alle Elemente aus [mm]V[/mm]
> gelten, und das halt nur ein bestimmter Teildavon ist.
> Das meinte ich, und das stimmt doch so, oder?
Ja, da hast du vollkommern recht
>
>
>
> > > > > Dann hab ich [mm]a \odot 0_V[/mm].
> > > > >
> > > > > So, aber da kann ich ja nun nicht mit irgendeinem
> > > > > vererebten Vektorraum-Axiom komme, weil ich keins habe,
> > > > > dass mir sagt, was [mm]a \odot 0_V[/mm] ist.
> > > >
> > > > Eines der VR-Axiome besagt, dass für alle Skalare a aus
> > > > dem Körper und alle Vektoren [mm]v,w[/mm] aus dem VR gelten muss
> > > > [mm]a\odot(v\oplus w)=(a\odot v) \ \oplus \ (a\odot w)[/mm]
> >
> >
> > >
> > > > Hier also mit bel. a aus dem Körper und [mm]v=w=0_V[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\red{a\odot 0_V}=a\odot(0_V\oplus 0_V)=\red{(a\odot 0_V) \ \oplus \ (a\odot 0_V)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > Also ...
> > >
> > > Also ehrlich gesagt... ich weiss es nicht
> > >
> >
> > Na, das neutrale Element bzgl. [mm]\oplus[/mm] ist [mm]0_V[/mm], das kann ich
> > also bedenkenlos linkerhand von rechts dranverknüpfen,
> > ohne dass was kaputt geht. Damit bekomme ich
> >
> > [mm]\blue{(a\odot 0_V)} \ \oplus \ 0_V \ = \ \blue{(a\odot 0_V)} \ \oplus \ (a\odot 0_V)[/mm]
>
> >
> > Nun gilt in Gruppen (und das ist [mm](V,\oplus)[/mm] ja) die
> > Kürzungsregel,
> > also ...
>
> Achso, und dann kann ich die beiden blauen Terme wegkürzen
> und es bleibt [mm](a\odot 0_V)=0_V[/mm]?
Genau, also genau das, was wir haben wollten
>
>
>
> Wie schön, dass Gruppen bei uns erst in LAII dran kommen
>
Das ist ja doof. Ich meine, die ganzen VR-Axiome, die die innere Verknüpfung beschreiben, besagen nichts anderes, als dass $(V,+)$ ne abelsche Gruppe ist ...
M.E. wäre es sinnvoller, Grundlagen der Gruppentheorie in einer LA-Vorlesung vorzuziehen ...
> [Bitte frag nicht warum, ein anderes MR-Mitgleid hat es
> auch schon getan und ich konnte es nicht beantworten...]
> Wahrscheinlich hätte ich es auch irgendwie aus den
> Körperaxiomen herleiten können, weil eine Gruppe ist doch
> soviel ich weiß eine "Teilmenge" (ich weiß den richtigen
> Begriff nicht) eines Körpers. Aber solche Sachen haben wir
> da gar nicht gemacht...
> Körper waren auch bloß zwei Seiten in meiner
> Vorlesungsmitschrift... Definition, zwei/drei Beispiele und
> zwei/drei Rechenregeln, aber Kürzungsregel... keine
> Chance...
>
> Irgendwie habe ich den Verdacht, dass meine
> Vorlesungsmitschrift nicht so dass allerbeste zum Lernen
> ist. Kannst du mir vielleicht ein gutes Buch empfehlen? Bei
> uns wurde der Bosch empfohlen, aber als Einstieg finde ich
> den irgendwie ungeeigenet.
Für LAI/II hatte ich mir seinerzeit das Standardbuch schlechthin geholt: "Fischer - Lineare Algebra"
Dazu habe ich mir 2 Bücher "Repetitorium der Linearen Algebra 1 und 2" vom Binomiverlag besorgt.
Die Bücher bieten eine gute Zusammenfassung der Theorie und haufenweise Aufgaben, die allesamt mal mehr mal weniger ausführlich vorgerechnet werden.
Schaue mal, ob du sie dir in einer Bib ausleihen kannst, das sind m.E. echt lohnenswerte Bücher, zumal sie nicht allzu viel kosten
> LG, Nadine
Einstweilen ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Fr 02.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus.
Ich muss diesen Thread hier nochmal rauskramen, weil mir beim Wiederholen aufgefallen ist, dass ich das doch noch so ganz verstanden :-(
Also das Ding mit Addition ist mir denke ich klar, [mm] 0_V+0_V=0_V [/mm] weil [mm] 0_V [/mm] das neutrale Element ist, und nach Unterraumdefinition in einem Unterraum enthalten sein muss, und wenn ich das irgendwo dran addiere, ändert sich nix.
So, aber bei der Skalarmultiplikation, das ist mir immer noch nicht so ganz klar. Wir hatten ja folgendes:
> > > > Dann hab ich [mm]a \odot 0_V[/mm].
> > > > So, aber da kann ich ja nun nicht mit irgendeinem
> > > > vererebten Vektorraum-Axiom komme, weil ich keins habe,
> > > > dass mir sagt, was [mm]a \odot 0_V[/mm] ist.
> > > Eines der VR-Axiome besagt, dass für alle Skalare a aus
> > > dem Körper und alle Vektoren [mm]v,w[/mm] aus dem VR gelten muss
> > > [mm]a\odot(v\oplus w)=(a\odot v) \ \oplus \ (a\odot w)[/mm]
> > > Hier also mit bel. a aus dem Körper und [mm]v=w=0_V[/mm]
> > > [mm]\red{a\odot 0_V}=a\odot(0_V\oplus 0_V)=\red{(a\odot 0_V) \ \oplus \ (a\odot 0_V)}[/mm]
> > > Also ...
> > Also ehrlich gesagt... ich weiss es nicht
> >
> Na, das neutrale Element bzgl. [mm]\oplus[/mm] ist [mm]0_V[/mm], das kann ich
> also bedenkenlos linkerhand von rechts dranverknüpfen,
> ohne dass was kaputt geht. Damit bekomme ich
>
> [mm]\blue{(a\odot 0_V)} \ \oplus \ 0_V \ = \ \blue{(a\odot 0_V)} \ \oplus \ (a\odot 0_V)[/mm]
>
> Nun gilt in Gruppen (und das ist [mm](V,\oplus)[/mm] ja) die
> Kürzungsregel,
> also ...
So, in unserer Vorlesung hatten wir ja diese Sachen mit Kürzungsregel und so noch nicht.
Und trotzem hat unser Prof ja die Aussage bebracht, dass [mm] $\{ 0_V \}$ [/mm] ein Unterraum vom Vektorraum $V$, und wahrschreinlich war es seine Absicht, dass wir das zu Hause nachprüfen.
Gibt es dann noch eine andere Möglichkeit zu prüfen, ob das Skalarprodukt [mm] a*0_V [/mm] als Ergebnis wieder [mm] 0_V [/mm] liefert?
Weil ohne zu wissen, dass es Gruppentheorie überhaupt gibt, kommt man ja nicht auf die Idee, danach zu suchen, und in den meisten Büchern steht dieses Beispiel ja auch ohne jegliche Begründung.
LG, Nadine
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> > [mm]\blue{(a\odot 0_V)} \ \oplus \ 0_V \ = \ \blue{(a\odot 0_V)} \ \oplus \ (a\odot 0_V)[/mm]
>
> >
> > Nun gilt in Gruppen (und das ist [mm](V,\oplus)[/mm] ja) die
> > Kürzungsregel,
> > also ...
>
>
>
> So, in unserer Vorlesung hatten wir ja diese Sachen mit
> Kürzungsregel und so noch nicht.
>
> Und trotzem hat unser Prof ja die Aussage bebracht, dass [mm]\{ 0_V \}[/mm]
> ein Unterraum vom Vektorraum [mm]V[/mm], und wahrschreinlich war es
> seine Absicht, dass wir das zu Hause nachprüfen.
>
> Gibt es dann noch eine andere Möglichkeit zu prüfen, ob
> das Skalarprodukt [mm]a*0_V[/mm] als Ergebnis wieder [mm]0_V[/mm] liefert?
>
> Weil ohne zu wissen, dass es Gruppentheorie überhaupt
> gibt, kommt man ja nicht auf die Idee, danach zu suchen,
> und in den meisten Büchern steht dieses Beispiel ja auch
> ohne jegliche Begründung.
Hallo,
egal, ob Ihr es jetzt "Gruppe " genannt habt oder nicht: V ist lt. VR-Axiomem mit der Addition eine Gruppe,
was u.a. beinhaltet, daß jeder Vektor einen Inversen bzgl der Addition hat.
Addierst Du nun in
> > [mm]\blue{(a\odot 0_V)} \ \oplus \ 0_V \ = \ \blue{(a\odot 0_V)} \ \oplus \ (a\odot 0_V)[/mm]
auf beiden Seiten das Inverse von [mm] (a\odot 0_V), [/mm] so bekommst Du mit einem Zwischenschritt die Behauptung.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Fr 02.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela.
Danke für deine Antwort.
> Hallo,
>
> egal, ob Ihr es jetzt "Gruppe " genannt habt oder nicht: V
> ist lt. VR-Axiomem mit der Addition eine Gruppe,
>
> was u.a. beinhaltet, daß jeder Vektor einen Inversen bzgl
> der Addition hat.
Ja, das Axiom heißt bei uns:
$ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V [mm] \quad \exists [/mm] (-x) [mm] \in [/mm] V : [mm] \quad x+(-x)=0_V$
[/mm]
Und dieses Axiom muss auch für die Elemente aus U gelten, weil die ja auch Elemente aus V sind?
> Addierst Du nun in
> > > [mm]\blue{(a\odot 0_V)} \ \oplus \ 0_V \ = \ \blue{(a\odot 0_V)} \ \oplus \ (a\odot 0_V)[/mm]
>
> auf beiden Seiten das Inverse von [mm](a\odot 0_V),[/mm] so bekommst
> Du mit einem Zwischenschritt die Behauptung.
Also ich versuchs jetzt mal von vorn:
Ausgangspunkt: $a [mm] \odot 0_V$
[/mm]
Für alle Elemente aus V, also insbesondere auch für die aus U, gilt, dass ich ein neutrales Element dazu addieren kann, was nix verändert: $a [mm] \odot 0_V [/mm] = a [mm] \odot (0_V \oplus 0_V)$
[/mm]
Für alle Elemente aus V, also insbesondere auch für die aus U, gilt das Distributivgesetz: $a [mm] \odot 0_V [/mm] = a [mm] \odot (0_V \oplus 0_V) [/mm] = (a [mm] \odot 0_V) \oplus [/mm] (a [mm] \odot 0_V)$
[/mm]
Also weiß ich jetzt, dass wenn ich den Teil in der Mitte mal weglasse, dass $a [mm] \odot 0_V [/mm] = (a [mm] \odot 0_V) \oplus [/mm] (a [mm] \odot 0_V)$
[/mm]
So, und nun addiere ich auf die linke Seite noch das neutrale Element: $(a [mm] \odot 0_V) \oplus 0_V [/mm] = (a [mm] \odot 0_V) \oplus [/mm] (a [mm] \odot 0_V)$
[/mm]
So, und jetzt soll ich auf beiden Seiten was addieren, kann ich das einfach so machen? Also ich meine, klar, das bleibt dann auf beiden Seiten gleich, aber der Wert an sich ändert sich ja, ist das egal? Kann es da nicht plötzlich passieren, dass zwar $a [mm] \odot 0_V$ [/mm] vielleicht wirklich wieder in U liegt, aber das wenn ich da jetzt auf beiden Seiten was draufrechne, dass der Wert dann nicht mehr in U liegt? Wär das egal? Versteht man überhaupt was ich meine...
Ich glaub, ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr...
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo Angela.
>
> Danke für deine Antwort.
>
>
>
> > Hallo,
> >
> > egal, ob Ihr es jetzt "Gruppe " genannt habt oder nicht: V
> > ist lt. VR-Axiomem mit der Addition eine Gruppe,
> >
> > was u.a. beinhaltet, daß jeder Vektor einen Inversen bzgl
> > der Addition hat.
>
> Ja, das Axiom heißt bei uns:
>
> [mm]\forall x \in V \quad \exists (-x) \in V : \quad x+(-x)=0_V[/mm]
>
> Und dieses Axiom muss auch für die Elemente aus U gelten,
> weil die ja auch Elemente aus V sind?
Na klar, $U$ ist ja eine Teilmenge von $V$
>
>
>
> > Addierst Du nun in
> > > > [mm]\blue{(a\odot 0_V)} \ \oplus \ 0_V \ = \ \blue{(a\odot 0_V)} \ \oplus \ (a\odot 0_V)[/mm]
>
> >
> > auf beiden Seiten das Inverse von [mm](a\odot 0_V),[/mm] so bekommst
> > Du mit einem Zwischenschritt die Behauptung.
>
> Also ich versuchs jetzt mal von vorn:
>
> Ausgangspunkt: [mm]a \odot 0_V[/mm]
>
> Für alle Elemente aus V, also insbesondere auch für die
> aus U, gilt, dass ich ein neutrales Element dazu addieren
> kann, was nix verändert: [mm]a \odot 0_V = a \odot (0_V \oplus 0_V)[/mm]
>
> Für alle Elemente aus V, also insbesondere auch für die
> aus U, gilt das Distributivgesetz: [mm]a \odot 0_V = a \odot (0_V \oplus 0_V) = (a \odot 0_V) \oplus (a \odot 0_V)[/mm]
>
> Also weiß ich jetzt, dass wenn ich den Teil in der Mitte
> mal weglasse, dass [mm]a \odot 0_V = (a \odot 0_V) \oplus (a \odot 0_V)[/mm]
bis hierhin
>
> So, und nun addiere ich auf die linke Seite noch das
> neutrale Element:
Addiere lieber das additiv Inverse zu [mm] $(a\odot 0_V)$, [/mm] also [mm] $\blue{(a\odot 0_V)^{-1}}$
[/mm]
Damit dann [mm] $\underbrace{(a\odot 0_V)\oplus \blue{(a\odot 0_V)^{-1}}}_{=0_V}=\left[(a \odot 0_V) \oplus (a \odot 0_V)\right]\oplus \blue{(a\odot 0_V)^{-1}}$
[/mm]
Nun rechterhand mal assoziativ umklammern, dann steht da [mm] $0_V=(a\odot 0_V)\oplus\underbrace{\left[((a \odot 0_V)\oplus \blue{(a\odot 0_V)^{-1}}\right]}_{=0_V}$
[/mm]
Also [mm] $0_V=(a\odot 0_V)\oplus 0_V$
[/mm]
Und [mm] $0_V$ [/mm] ist additiv neutral, also [mm] $0_V=a\odot 0_V$
[/mm]
> [mm](a \odot 0_V) \oplus 0_V = (a \odot 0_V) \oplus (a\odot 0_V)[/mm]
>
> So, und jetzt soll ich auf beiden Seiten was addieren, kann
> ich das einfach so machen? Also ich meine, klar, das bleibt
> dann auf beiden Seiten gleich, aber der Wert an sich
> ändert sich ja, ist das egal? Kann es da nicht plötzlich
> passieren, dass zwar [mm]a \odot 0_V[/mm] vielleicht wirklich wieder
> in U liegt, aber das wenn ich da jetzt auf beiden Seiten
> was draufrechne, dass der Wert dann nicht mehr in U liegt?
> Wär das egal? Versteht man überhaupt was ich meine...
Du kannst doch nur Elemente aus U dazuaddieren, was anderes ist ja nicht definiert.
Und damit kommst du aus U auch nicht raus, denn U ist ja bzgl Addition abgeschlossen.
Meintest du das in etwa?
>
>
>
> Ich glaub, ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht
> mehr...
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Fr 02.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus!
> > So, und jetzt soll ich auf beiden Seiten was addieren, kann
> > ich das einfach so machen? Also ich meine, klar, das bleibt
> > dann auf beiden Seiten gleich, aber der Wert an sich
> > ändert sich ja, ist das egal? Kann es da nicht plötzlich
> > passieren, dass zwar [mm]a \odot 0_V[/mm] vielleicht wirklich wieder
> > in U liegt, aber das wenn ich da jetzt auf beiden Seiten
> > was draufrechne, dass der Wert dann nicht mehr in U liegt?
> > Wär das egal? Versteht man überhaupt was ich meine...
>
> Du kannst doch nur Elemente aus U dazuaddieren, was anderes
> ist ja nicht definiert.
>
> Und damit kommst du aus U auch nicht raus, denn U ist ja
> bzgl Addition abgeschlossen.
>
> Meintest du das in etwa?
Ja, in etwa das meinte ich.
> Du kannst doch nur Elemente aus U dazuaddieren, was anderes
> ist ja nicht definiert.
Für einen Unterraum ist das so definiert, ja.
Aber ich weiß ja noch gar nicht, ob $U= [mm] \{ 0_V \}$ [/mm] überhapt ein Unterraum ist, das will ich ja grad erst beweisen (oder widerlegen).
Wir addieren ja hier jetzt $ [mm] \blue{(a\odot 0_V)^{-1}} [/mm] $ dazu.
Woher weiß ich denn, dass das auch ein Element aus U ist?
Ich mein, ich bin grade dabei zu prüfen, ob [mm] $(a\odot [/mm] V)$ ein Element aus U ist, woher weiß ich dann, dass $ [mm] \blue{(a\odot 0_V)^{-1}} [/mm] $ aus U ist?
Also, ich weiß, dass jedes Element aus V, und somit auch jedes Element aus U, ein additiv inverses in V hat.
Aber muss dieses additiv inverse Element auch in U enthalten sein?
In meiner Unterraumdefinition steht zumindest nix davon (oder ich seh es vielleicht auch einfach nicht...)
Aber selbst wenn es so ist, dann kann ich doch über $ [mm] \blue{(a\odot 0_V)^{-1}} [/mm] $ noch gar keine Aussage machen, weil ich eben noch nicht mal weiß, ob [mm] $(a\odot [/mm] V)$ überhaupt in U liegt.
> Und damit kommst du aus U auch nicht raus, denn U ist ja
> bzgl Addition abgeschlossen.
Ja, aber U ist doch nur abgeschlossen, wenn es ein Unterraum ist.
Aber ob es ein Unterraum ist, das weiß ich ja noch gar nicht, das prüfe ich ja grade erst.
Das ist alles so kompliziert...
Vielen Dank, dass ihr solche Geduld mit mir habt 
LG, Nadine
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Hallo
Du machst alles komplizierter als es eigentlich ist ;)
Zuerst mal erinnern wir uns wieder an die Untervektorraum-Axiome:
1) U [mm] \not= \varnothing
[/mm]
2) U abgeschlossen bezüglich der Addition
3) U abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar
So, das wäre im Prinzip alles, was wir wissen müssen... somit weisst du jetzt auch (das war eine deiner Fragen), dass (a [mm] \odot 0_{v}) \in [/mm] U.
Gut... Nehmen wir also U = [mm] {0_{v}}. [/mm] Wir prüfen die Axiome
1) U [mm] \not= \varnothing [/mm] ist klar.. geht ja aus der oberen Definition von U hervor.
2) [mm] 0_{v} [/mm] + [mm] 0_{v} [/mm] = [mm] 0_{v} \in [/mm] U ist auch klar (sagtest du ja zumindest..).
3) a [mm] \odot 0_{v} [/mm] = [mm] 0_{v} [/mm] kannst du jetzt mit dem, was dir in den letzten Beiträgen geraten wurde überprüfen. Bei welchem Schritt kommst du nicht mehr mit?
> Also, ich weiß, dass jedes Element aus V, und somit auch
> jedes Element aus U, ein additiv inverses in V hat.
> Aber muss dieses additiv inverse Element auch in U
> enthalten sein?
Nun, dein Unterraum muss ja abgeschlossen sein (bez. Addition und Skalarmultiplikation). Das neutrale Element des Vektorraumes, in dem sich der Unterraum befindet, ist auch im Unterraum enthalten (und zwar beide). Jetzt muss ja dieses Element erreicht werden und hierfür brauchst du das Inverse Element.
> Das ist alles so kompliziert...
Wie gesagt.. ich glaube du hockst zu lange davor.. eigentlich sind es klar definierte Axiome, die es zu prüfen gibt. ;)
>
> Vielen Dank, dass ihr solche Geduld mit mir habt
>
> LG, Nadine
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Fr 02.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro!
> Du machst alles komplizierter als es eigentlich ist ;)
Dieses Gefühl habe ich auch so langsam.
Ich versuche das schon zu vermeiden und es ganz nüchtern zu betrachten, aber irgendwie klappts nicht... :-(
> Zuerst mal erinnern wir uns wieder an die
> Untervektorraum-Axiome:
>
> 1) U [mm]\not= \varnothing[/mm]
> 2) U abgeschlossen bezüglich der
> Addition
> 3) U abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit einem
> Skalar
Ja, das habe ich verstanden!
> So, das wäre im Prinzip alles, was wir wissen müssen...
> somit weisst du jetzt auch (das war eine deiner Fragen),
> dass (a [mm]\odot 0_{v}) \in[/mm] U.
Das ist das was ich nicht verstehe.
Woher weiß ich, dass $a [mm] \odot 0_V [/mm] $ in $U= [mm] \{ 0_V \}$ [/mm] liegt?
Wenn U ein Unterraum ist, ja, dann muss es drinne liegen, weil ein Unterraum ja bzgl. der Multipliaktion mit einem Skalar abgeschlossen ist.
Aber ich weiß ja noch nicht, ob U ein Unterraum ist, das will ich doch gerade erst beweisen.
> Gut... Nehmen wir also U = [mm]{0_{v}}.[/mm] Wir prüfen die Axiome
>
> 1) U [mm]\not= \varnothing[/mm] ist klar.. geht ja aus der oberen
> Definition von U hervor.
Ok, das ist klar
> 2) [mm]0_{v}[/mm] + [mm]0_{v}[/mm] = [mm]0_{v} \in[/mm] U ist auch klar (sagtest du ja
> zumindest..).
Ja, weil [mm] $0_V \oplus 0_V$ [/mm] ist ja die Summe aus dem Element [mm] 0_V [/mm] und dem neutralen Element der Addition, also krieg ich als Ergebnis wieder das Element, als [mm] 0_V [/mm] , und da das ein Element der Menge U ist, ist die Addition abgeschlossen.
> 3) a [mm]\odot 0_{v}[/mm] = [mm]0_{v}[/mm] kannst du jetzt mit dem, was dir
> in den letzten Beiträgen geraten wurde überprüfen. Bei
> welchem Schritt kommst du nicht mehr mit?
Ich komme bei dem Schritt nicht mehr mit, bei dem auf beiden Seiten der Gleichung das Inverse von $(a [mm] \odot 0_V)$, [/mm] also $(a [mm] \odot 0_V)^{-1}$ [/mm] dazu addiert wird.
Zum einen versteh ich generell nicht, warum ich einfach auf beiden Seiten etwas draufaddieren darf. Das ändert zwar an der Gleichheit nix, aber ja doch an dem Wert.
Zum anderen versteh ich nicht, dass ich da gerade $(a [mm] \odot 0_V)^{-1}$ [/mm] draufaddierern darf.
Kann ich da jedes Element draufaddieren, oder darf es nur eins sein, was auch in der Menge U enthalten ist, von der ich zeigen will, dass sie ein Unterraum ist.
Wenn es ein Element aus der Menge U sein muss, dann frage ich mich, woher ich jetzt weiß, dass $(a [mm] \odot 0_V)^{-1}$ [/mm] in U liegt. Ich weiß, dass in der Menge U nur das Element [mm] 0_V [/mm] drin ist, ich weiß aber nicht, ob das Ergebnis von $(a [mm] \odot 0_V)^{-1}$ [/mm] eben diese [mm] 0_V [/mm] ist oder nicht. Von daher weiß ich doch gar nicht, ob ich das verwenden kann.
Ja, das ist mir nicht klar, ich hoffe, dass man das einigermaßen versteht?
> Wie gesagt.. ich glaube du hockst zu lange davor..
Ja, ich weiß, aber ich weiß auch nicht, was ich anders machen soll...
Wenn mich nicht davor setze, dann krieg ich's nie in den Kopf...
Ich hab hier zwar auch ein paar Bücher rumliegen, aber mit denen komm ich auch nicht weiter.
Und mit Lerngruppen siehts an der Uni zur Zeit auch schlecht aus...
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Fr 02.10.2009 | | Autor: | iks |
Hallo Nadine!
Ich glaube dich verwirrt die Geschichte mit den Unterräumen - darum lassen wir sie erst einmal aussen vor und kommen später auf sie zurück.
Schau dir nochmal die genau die VR Axiome an.
Sei $K$ ein Körper. Ein VR ist ist eine Menge $V$ mit einer Verknüpfung [mm] $+:V\times V\to [/mm] V [mm] (v,w)\to [/mm] v+ w [mm] (v,w\in [/mm] V)$ und einer Abbildung [mm] $\odot:K\times V\to V,(a,v)\toa\odot [/mm] v [mm] (a\in K,v\in [/mm] V)$ mit folgenden Eigenschaften:
A1) für [mm] $u,v,w\in [/mm] V: (u+v)+w=u+(v+w)$
A2) es existiert genau ein [mm] $0_V\in [/mm] V$ mit [mm] $v+0_V=0_V+v=v$ [/mm] für alle [mm] $v\in [/mm] V$
A3) es existiert zu [mm] $v\in [/mm] V$ genau ein [mm] $(-v)\in [/mm] V$ mit [mm] v+(-v)=(-v)+v=0_v
[/mm]
A4) $v+w=w+v$ für alle [mm] $v,w\in [/mm] V$
M1) für [mm] $\alpha\odot(\beta\odot v)=\alpha*\beta\odot(v)$ [/mm] für [mm] $(\alpha,\beta\in K,v\in [/mm] V)$
M2) [mm] $\alpha\odot(v+w)=\alpha\odot v+\alpha\odot [/mm] w$
M3) [mm] $(\alpha+\beta)\odot v=\alpha\odot v+\beta\odot [/mm] v$ für [mm] $(\alpha,\beta\in K,v,w\in [/mm] V)$
M4) [mm] $1_K\odot [/mm] v=v$ für alle [mm] $v\in [/mm] V$ wobei [mm] $1_K$ [/mm] das neutrale Element bzgl $*$ in $K$ ist.
Allein aus diesen Axiomen lassen sich Rechenregeln herleiten, die in allen VR gelten:
1) [mm] $0_V$ [/mm] ist eindeutig bestimmt
2) $(-v)$ ist eindeutig bestimmt
3) [mm] $0_K\odot v=0_V$ [/mm] für alle [mm] $v\in [/mm] V$
4) [mm] $\alpha\odot 0_V=0_V$ [/mm] für alle [mm] $\alpha\in [/mm] K$ und für [mm] $0_V\in [/mm] V$
5) [mm] $\alpha\neq0_K,v\neq0_V\Rightarrow\alpha\odot V\neq 0_V$ [/mm] für alle [mm] $\alpha\in K,v\in [/mm] V$
[mm] 6)$(-1_K)\odot [/mm] v=(-v)$ für alle [mm] $v\in [/mm] V$
Diese beweist du ähnlich wie hier.
So nun zu deiner Aufgabe.
Du sollst eine gegebene Menge [mm] $U\subset [/mm] V$ daraufhin untersuchen, ob sie ein Unterraum von $V$ ist. Dazu genügt es zu prüfen, ob $U$ die "Unterraumdefinition", die du in diesem Fred schon benannt hast, erfüllt. Sollte sich herausstellen, das $U$ ein Unterraum von $V$ ist, so ist $U$ selbst auch wieder ein VR und erfüllt die oben stehenden VR-Axiome.
Und darum:
>
> > Zuerst mal erinnern wir uns wieder an die
> > Untervektorraum-Axiome:
> >
> > 1) U [mm]\not= \varnothing[/mm]
> > 2) U abgeschlossen bezüglich
> der
> > Addition
> > 3) U abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit
> einem
> > Skalar
>
> Ja, das habe ich verstanden!
>
>
>
> > So, das wäre im Prinzip alles, was wir wissen müssen...
> > somit weisst du jetzt auch (das war eine deiner Fragen),
> > dass (a [mm]\odot 0_{v}) \in[/mm] U.
>
> Das ist das was ich nicht verstehe.
> Woher weiß ich, dass [mm]a \odot 0_V[/mm] in [mm]U= \{ 0_V \}[/mm] liegt?
> Wenn U ein Unterraum ist, ja, dann muss es drinne liegen,
> weil ein Unterraum ja bzgl. der Multipliaktion mit einem
> Skalar abgeschlossen ist.
> Aber ich weiß ja noch nicht, ob U ein Unterraum ist, das
> will ich doch gerade erst beweisen.
>
richtig. Da du nicht weißt ob $U$ Unterraum ist, kannst du die Abgeschlossenheit von $U$ bzgl [mm] $\odot$ [/mm] nich benutzen
>
> > Gut... Nehmen wir also U = [mm]{0_{v}}.[/mm] Wir prüfen die Axiome
> >
> > 1) U [mm]\not= \varnothing[/mm] ist klar.. geht ja aus der oberen
> > Definition von U hervor.
>
> Ok, das ist klar
>
>
und somit wäre Punkt 1) der Unterraumdefinition auch gezeigt
>
> > 2) [mm]0_{v}[/mm] + [mm]0_{v}[/mm] = [mm]0_{v} \in[/mm] U ist auch klar (sagtest du ja
> > zumindest..).
>
> Ja, weil [mm]0_V \oplus 0_V[/mm] ist ja die Summe aus dem Element
> [mm]0_V[/mm] und dem neutralen Element der Addition, also krieg ich
> als Ergebnis wieder das Element, als [mm]0_V[/mm] , und da das ein
> Element der Menge U ist, ist die Addition abgeschlossen.
>
>
das ist Unterraumdefinitionspunkt 2)
>
> > 3) a [mm]\odot 0_{v}[/mm] = [mm]0_{v}[/mm] kannst du jetzt mit dem, was dir
> > in den letzten Beiträgen geraten wurde überprüfen. Bei
> > welchem Schritt kommst du nicht mehr mit?
>
> Ich komme bei dem Schritt nicht mehr mit, bei dem auf
> beiden Seiten der Gleichung das Inverse von [mm](a \odot 0_V)[/mm],
> also [mm](a \odot 0_V)^{-1}[/mm] dazu addiert wird.
>
> Zum einen versteh ich generell nicht, warum ich einfach auf
> beiden Seiten etwas draufaddieren darf. Das ändert zwar an
> der Gleichheit nix, aber ja doch an dem Wert.
>
> Zum anderen versteh ich nicht, dass ich da gerade [mm](a \odot 0_V)^{-1}[/mm]
> draufaddierern darf.
>
> Kann ich da jedes Element draufaddieren, oder darf es nur
> eins sein, was auch in der Menge U enthalten ist, von der
> ich zeigen will, dass sie ein Unterraum ist.
>
Da die oben genannte Rechenregel für alle VR gilt, ist es wieder besser wenn du die Aufgabe für den Augenblick gedanklich beseite legst und dir eine neue formulierst.
Sei $V$ ein VR. Zeige das [mm] $\alpha\odot 0_V=0_V$ [/mm] für alle [mm] $\alpha\in [/mm] K$ gilt. Hierzu darfst du die VR Axiome für $V$ und die Körperaxiome für $K$ benutzen.
schachuzupus schrieb bereits:
$ [mm] \red{a\odot 0_V}=a\odot(0_V\oplus 0_V)=\red{(a\odot 0_V) \ \oplus \ (a\odot 0_V)} [/mm] $
Überleg dir mal Welche der VR- bzw Körperaxiome wann verwendet wurden und schreib sie dir über die Gleichheitszeichen.
Nun zum letzten Schritt der finalen Addition des Inversen. Die benutzt doch nur eine schon aus der Schule bekannte Aussage:
Eine Gleichung bleibt gleich, wenn auf beiden Seiten das selbe addiert [mm] wird.($a=b\gdw [/mm] a+c=b+c$) und dieses $c$ muss man nun geschickt auswählen damit die gewünschte Aussage gezeigt ist ($c$= Apfel wäre auch richtig brächte uns aber nicht weiter).
[mm] $c=(-(\alpha\odot 0_V))$ [/mm] scheint aber brauchbar zu sein.
beachte [mm] $(-(\alpha\odot 0_V))\in [/mm] V$ wir wenden also VR Axiome an. ergibt:
$ [mm] (a\odot 0_V)\oplus (-(a\odot 0_V))=a\odot(0_V\oplus 0_V)=(a\odot 0_V)\oplus (a\odot 0_V)\oplus (-(a\odot 0_V)) [/mm] $
Nun wird nochmals VR Axiom A3 angewendet [mm] $(a\odot 0_V)\oplus(-(a\odot0_V))=0_V$ [/mm] und es steht da:
[mm] $0_V=(a\odot 0_V)$ [/mm] die gewünschte Rechenregel
d.h. Ist $V$ ein VR, so gilt für alle [mm] $a\in K:a\odot0_V=0_V$.
[/mm]
Nun wieder zurück zur eigentlichen Aufgabe.
Weil doch [mm] $0_V$ [/mm] auch in $V$ liegt und $V$ VR, gilt die oben genannte Rechenregel [mm] $\alpha\odot 0_V=0_V$ [/mm] für alle [mm] $\alpha\in [/mm] K$ und da nach Voraussetzung (Definition von $U$) [mm] $0_V\in [/mm] U$ gilt ist Punkt 3) der Unterraumdefinition gezeigt.
Puh..schnauf also sind letzendlich alle drei Punkte der Unterraumdefinition gezeigt und [mm] $U=\{0_V\}$ [/mm] ist Unterraum von $V$.
Im Endeffekt werden in dieser Aufgabe die Beweise der Rechenregeln abgefordert. Das [mm] $U=\{0_V\}$ [/mm] der triviale Unterraum von $V$ ist, ist dann nur noch eine Nebensache. Wichtig ist meiner Meinung nur genau zwischen die Begriffe Körper, VR und UR zu trennen, was manchmal nicht einfach ist.
alle Klarheiten beseitigt??
mFg iks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Fr 02.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo iks!
Danke für deine ausführliche Antwort.
> Ich glaube dich verwirrt die Geschichte mit den
> Unterräumen - darum lassen wir sie erst einmal aussen vor
> und kommen später auf sie zurück.
Ok.
> Schau dir nochmal die genau die VR Axiome an.
>
> Sei [mm]K[/mm] ein Körper. Ein VR ist ist eine Menge [mm]V[/mm] mit einer
> Verknüpfung [mm]+:V\times V\to V (v,w)\to v+ w (v,w\in V)[/mm] und
> einer Abbildung [mm]\odot:K\times V\to V,(a,v)\toa\odot v (a\in K,v\in V)[/mm]
> mit folgenden Eigenschaften:
>
> A1) für [mm]u,v,w\in V: (u+v)+w=u+(v+w)[/mm]
> A2) es existiert
> genau ein [mm]0_V\in V[/mm] mit [mm]v+0_V=0_V+v=v[/mm] für alle [mm]v\in V[/mm]
> A3)
> es existiert zu [mm]v\in V[/mm] genau ein [mm](-v)\in V[/mm] mit
> [mm]v+(-v)=(-v)+v=0_v[/mm]
> A4) [mm]v+w=w+v[/mm] für alle [mm]v,w\in V[/mm]
>
> M1) für [mm]\alpha\odot(\beta\odot v)=\alpha*\beta\odot(v)[/mm]
> für [mm](\alpha,\beta\in K,v\in V)[/mm]
> M2)
> [mm]\alpha\odot(v+w)=\alpha\odot v+\alpha\odot w[/mm]
> M3)
> [mm](\alpha+\beta)\odot v=\alpha\odot v+\beta\odot v[/mm] für
> [mm](\alpha,\beta\in K,v,w\in V)[/mm]
> M4) [mm]1_K\odot v=v[/mm] für alle
> [mm]v\in V[/mm] wobei [mm]1_K[/mm] das neutrale Element bzgl [mm]*[/mm] in [mm]K[/mm] ist.
Ja, die sind mir klar
> Allein aus diesen Axiomen lassen sich Rechenregeln
> herleiten, die in allen VR gelten:
>
> 1) [mm]0_V[/mm] ist eindeutig bestimmt
> 2) [mm](-v)[/mm] ist eindeutig bestimmt
> 3) [mm]0_K\odot v=0_V[/mm] für alle [mm]v\in V[/mm]
> 4) [mm]\alpha\odot 0_V=0_V[/mm]
> für alle [mm]\alpha\in K[/mm] und für [mm]0_V\in V[/mm]
> 5)
> [mm]\alpha\neq0_K,v\neq0_V\Leftarrow\alpha\odot V\neq 0_V[/mm] für
> alle [mm]\alpha\in K,v\in V[/mm]
> 6)[mm](-1_K)\odot v=(-v)[/mm] für alle
> [mm]v\in V[/mm]
>
> Diese beweist du ähnlich wie
> hier.
Ok.
> So nun zu deiner Aufgabe.
>
> Du sollst eine gegebene Menge [mm]U\subset V[/mm] daraufhin
> untersuchen, ob sie ein Unterraum von [mm]V[/mm] ist. Dazu genügt
> es zu prüfen, ob [mm]U[/mm] die "Unterraumdefinition", die du
> in diesem Fred schon
> benannt hast, erfüllt.
Ja, das ist mir klar.
> Sollte sich herausstellen, das [mm]U[/mm]
> ein Unterraum von [mm]V[/mm] ist, so ist [mm]U[/mm] selbst auch wieder ein VR
> und erfüllt die oben stehenden VR-Axiome.
Woher weiß ich, dass wenn U ein Unterraum ist, auch die ganzen Axiome A1 bis A4 und M1 bis M4 gelten? Einfach, weil das Recheneregeln sind, die für alle Elemente aus V gelten, und somit auch für alle aus U, weil U ja eine Teilmenge von V ist?
Was wäre, wenn sich herausstellt, das U kein Unterraum ist?
Würden die ganzen Axiome trotzdem noch für die Elemente in U gelten? Nur ohne Abgeschlossenheit ists halt kein Unterraum?
> Da die oben genannte Rechenregel für alle VR gilt, ist es
> wieder besser wenn du die Aufgabe für den Augenblick
> gedanklich beseite legst und dir eine neue formulierst.
Welche Rechenregel meinst du jetzt genau? Die vierte?
> Sei [mm]V[/mm] ein VR. Zeige das [mm]\alpha\odot 0_V=0_V[/mm] für alle
> [mm]\alpha\in K[/mm] gilt. Hierzu darfst du die VR Axiome für [mm]V[/mm] und
> die Körperaxiome für [mm]K[/mm] benutzen.
Aha, ok.
> schachuzupus schrieb bereits:
>
> [mm]\red{a\odot 0_V}=a\odot(0_V\oplus 0_V)=\red{(a\odot 0_V) \ \oplus \ (a\odot 0_V)}[/mm]
>
> Überleg dir mal Welche der VR- bzw Körperaxiome wann
> verwendet wurden und schreib sie dir über die
> Gleichheitszeichen.
Also beim ersten Gleichheitszeichen addiere ich einfach das neutrale Element dazu (A2). Beim zweiten Gleichheitszeichen wende ich das Distibutivgesetz an (M2).
> Nun zum letzten Schritt der finalen Addition des Inversen.
> Die benutzt doch nur eine schon aus der Schule bekannte
> Aussage:
>
> Eine Gleichung bleibt gleich, wenn auf beiden Seiten das
> selbe addiert wird.([mm]a=b\gdw a+c=b+c[/mm]) und dieses [mm]c[/mm] muss man
> nun geschickt auswählen damit die gewünschte Aussage
> gezeigt ist ([mm]c[/mm]= Apfel wäre auch richtig brächte uns aber
> nicht weiter).
Ok, klar
> [mm]c=(-(\alpha\odot 0_V))[/mm] scheint aber brauchbar zu sein.
> beachte [mm](-(\alpha\odot 0_V))\in V[/mm]
Woher weißt du, dass [mm](-(\alpha\odot 0_V))\in V[/mm]? Weil in einem Vektorraum immer die Abgeschlossenheit mit Skalaren gilt, und da V ein Vektorraum ist, muss das Produkt von [mm] \alpha [/mm] und [mm] 0_V [/mm] auch in V sein? Und dann das gleiche nochmal mit dem Skalar $-1$?
> wir wenden also VR Axiome
> an. ergibt:
> [mm](a\odot 0_V)\oplus (-(a\odot 0_V))=a\odot(0_V\oplus 0_V)=(a\odot 0_V)\oplus (a\odot 0_V)\oplus (-(a\odot 0_V))[/mm]
Müsste hier nicht auch im mittleren Teil [mm](-(\alpha\odot 0_V))\in V[/mm] dazu addiert werden?
> Nun wird nochmals VR Axiom A3 angewendet [mm](a\odot 0_V)\oplus(-(a\odot0_V))=0_V[/mm]
> und es steht da:
>
> [mm]0_V=(a\odot 0_V)[/mm] die gewünschte Rechenregel
>
> d.h. Ist [mm]V[/mm] ein VR, so gilt für alle [mm]a\in K:a\odot0_V=0_V[/mm].
Ja, bis hierhin kann ich das alles nachvollziehen!
Für einen Vektorraum V könnt ich das nun also alleine nochmal zeigen, dass $a [mm] \odot 0_V=0_V$ [/mm] gilt.
> Nun wieder zurück zur eigentlichen Aufgabe.
> Weil doch [mm]0_V[/mm] auch in [mm]V[/mm] liegt und [mm]V[/mm] VR, gilt die oben
> genannte Rechenregel [mm]\alpha\odot 0_V=0_V[/mm] für alle
> [mm]\alpha\in K[/mm] und da nach Voraussetzung (Definition von [mm]U[/mm])
> [mm]0_V\in U[/mm] gilt ist Punkt 3) der Unterraumdefinition
> gezeigt.
Hier hackts noch.
Die Übertragung der Gültigkeit der Rechenregel auf U ist mir noch nicht klar.
Also irgendwie... klar, diese Rechenregel gilt für alle Elemente in V, da U eine Teilmenge von V ist, muss die Rechenregel auch für diese gelten, oder?
Aber irgendwie hatte ich die ganze Zeit das Gefühl, dass der Beweis nicht im Vektorraum V geführt wurde, sondern direkt im möglichen Unterraum U. War dem nicht so?
> Wichtig ist meiner Meinung nur genau zwischen die Begriffe
> Körper, VR und UR zu trennen, was manchmal nicht einfach
> ist.
> alle Klarheiten beseitigt??
Mehr oder weniger denke ich
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Fr 02.10.2009 | | Autor: | iks |
Moin Nadine!
> Hallo iks!
>
> Danke für deine ausführliche Antwort.
>
Gerne!
> Woher weiß ich, dass wenn U ein Unterraum ist, auch die
> ganzen Axiome A1 bis A4 und M1 bis M4 gelten? Einfach, weil
> das Recheneregeln sind, die für alle Elemente aus V
> gelten, und somit auch für alle aus U, weil U ja eine
> Teilmenge von V ist?
>
> Was wäre, wenn sich herausstellt, das U kein Unterraum
> ist?
> Würden die ganzen Axiome trotzdem noch für die Elemente
> in U gelten? Nur ohne Abgeschlossenheit ists halt kein
> Unterraum?
>
Der Knackpunkt liegt im ersten Satz der VR Definition. $V$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen [mm] $\oplus,\odot$ [/mm] die in eindeutigerweise jedem Tupel $(v,w)$ mit [mm] $v,w\in [/mm] V$ ein Element [mm] $z\in [/mm] V$ mit $z=v+w$ zuweisen
(bei [mm] $\odot$ [/mm] dan jedem Tupel [mm] $(\alpha,v)$ [/mm] ein Element [mm] $u\in [/mm] V$ mit [mm] $u=\alpha\odot [/mm] v$ [mm] $\alpha\in K,v\in [/mm] V$).
Wenn du nun [mm] $U\subset [/mm] V$ dahingehend untersuchst ob $U$ UR von $V$ ist - mußt du prüfen ob sich die beiden auf $V$ definierten Verknüpfungen auch auf $U$ sauber definieren lassen.
(Salopp gesagt dürfen die in $U$ liegenden Elemente auch, wenn die Verknüpfungen auf sie einwirken, nicht merken, dass es außerhalb von $U$ noch was anderes gibt)
Wenn nun ein [mm] $z\in [/mm] V$ existiert, so das zwar [mm] $v,w\in [/mm] U$ und $z=v+w$ aber [mm] $z\notin [/mm] U$ gilt - kann [mm] $\oplus$ [/mm] so nicht auf $U$ definiert werden.
Meint [mm] $\oplus$ [/mm] führt aus $U$ hinaus oder $U$ ist nicht abgeschlossen bzgl [mm] $\oplus$ [/mm] und die VR Axiome machen - auf $U$ eingeschränkt - keinen Sinn, da die Grundvoraussetzung Menge mit zwei wohldefinierten Verknüpfungen nicht gegeben ist.
Sollte sich bei der Überprüfung herausstellen da $U$ UR ist - dann gelten die VR Axiome für $U$ einfach weil sie ja schon für $V$ gelten und für [mm] $u\in [/mm] U$ auch [mm] $u\in [/mm] V$ gilt.
>
>
> > Da die oben genannte Rechenregel für alle VR gilt, ist es
> > wieder besser wenn du die Aufgabe für den Augenblick
> > gedanklich beseite legst und dir eine neue formulierst.
>
> Welche Rechenregel meinst du jetzt genau? Die vierte?
>
>
>
> > Sei [mm]V[/mm] ein VR. Zeige das [mm]\alpha\odot 0_V=0_V[/mm] für alle
> > [mm]\alpha\in K[/mm] gilt. Hierzu darfst du die VR Axiome für [mm]V[/mm] und
> > die Körperaxiome für [mm]K[/mm] benutzen.
>
> Aha, ok.
>
>
>
> > schachuzupus schrieb bereits:
> >
> > [mm]\red{a\odot 0_V}=a\odot(0_V\oplus 0_V)=\red{(a\odot 0_V) \ \oplus \ (a\odot 0_V)}[/mm]
>
> >
> > Überleg dir mal Welche der VR- bzw Körperaxiome wann
> > verwendet wurden und schreib sie dir über die
> > Gleichheitszeichen.
>
> Also beim ersten Gleichheitszeichen addiere ich einfach das
> neutrale Element dazu (A2). Beim zweiten Gleichheitszeichen
> wende ich das Distibutivgesetz an (M2).
>
>
>
> > Nun zum letzten Schritt der finalen Addition des Inversen.
> > Die benutzt doch nur eine schon aus der Schule bekannte
> > Aussage:
> >
> > Eine Gleichung bleibt gleich, wenn auf beiden Seiten das
> > selbe addiert wird.([mm]a=b\gdw a+c=b+c[/mm]) und dieses [mm]c[/mm] muss man
> > nun geschickt auswählen damit die gewünschte Aussage
> > gezeigt ist ([mm]c[/mm]= Apfel wäre auch richtig brächte uns aber
> > nicht weiter).
>
>
> Ok, klar
>
>
>
> > [mm]c=(-(\alpha\odot 0_V))[/mm] scheint aber brauchbar zu sein.
> > beachte [mm](-(\alpha\odot 0_V))\in V[/mm]
>
> Woher weißt du, dass [mm](-(\alpha\odot 0_V))\in V[/mm]? Weil in
> einem Vektorraum immer die Abgeschlossenheit mit Skalaren
> gilt, und da V ein Vektorraum ist, muss das Produkt von
> [mm]\alpha[/mm] und [mm]0_V[/mm] auch in V sein? Und dann das gleiche nochmal
> mit dem Skalar [mm]-1[/mm]?
>
Auf Grund der Definition von [mm] $\odot$ [/mm] ist [mm] $w=(\alpha\odot v)\in [/mm] V$ und da $V$ VR existiert das zu $w$ additiv Inverse [mm] $(-w)\in [/mm] V$ mit [mm] $(-w)=(-(\alpha\odot [/mm] v))$.
>
>
> > wir wenden also VR Axiome
> > an. ergibt:
> > [mm](a\odot 0_V)\oplus (-(a\odot 0_V))=a\odot(0_V\oplus 0_V)=(a\odot 0_V)\oplus (a\odot 0_V)\oplus (-(a\odot 0_V))[/mm]
>
> Müsste hier nicht auch im mittleren Teil [mm](-(\alpha\odot 0_V))\in V[/mm]
> dazu addiert werden?
>
>
[oh] ja klaro da hast du recht
>
> > Nun wird nochmals VR Axiom A3 angewendet [mm](a\odot 0_V)\oplus(-(a\odot0_V))=0_V[/mm]
> > und es steht da:
> >
> > [mm]0_V=(a\odot 0_V)[/mm] die gewünschte Rechenregel
> >
> > d.h. Ist [mm]V[/mm] ein VR, so gilt für alle [mm]a\in K:a\odot0_V=0_V[/mm].
>
> Ja, bis hierhin kann ich das alles nachvollziehen!
> Für einen Vektorraum V könnt ich das nun also alleine
> nochmal zeigen, dass [mm]a \odot 0_V=0_V[/mm] gilt.
>
>
>
> > Nun wieder zurück zur eigentlichen Aufgabe.
> > Weil doch [mm]0_V[/mm] auch in [mm]V[/mm] liegt und [mm]V[/mm] VR, gilt die oben
> > genannte Rechenregel [mm]\alpha\odot 0_V=0_V[/mm] für alle
> > [mm]\alpha\in K[/mm] und da nach Voraussetzung (Definition von [mm]U[/mm])
> > [mm]0_V\in U[/mm] gilt ist Punkt 3) der Unterraumdefinition
> > gezeigt.
>
> Hier hackts noch.
> Die Übertragung der Gültigkeit der Rechenregel auf U ist
> mir noch nicht klar.
> Also irgendwie... klar, diese Rechenregel gilt für alle
> Elemente in V, da U eine Teilmenge von V ist, muss die
> Rechenregel auch für diese gelten, oder?
>
Naja du zeigst zunächst das die Rechenregel in $V$ gilt. Da nun [mm] $U\subset [/mm] V$ gilt kannst du sie auch auf alle Elemente in $U$ anwenden und erhältst eigentlich nur ein Ergebnis, das nur auf "enthaltensein" in $U$ geprüft wird.
Das die Regel gezeigt werden mußte ist also nur Mittel zum Zweck mehr nicht, wie solltest du denn sonst dein Ergebnis erhalten und dann auch überprüfen??
> Aber irgendwie hatte ich die ganze Zeit das Gefühl, dass
> der Beweis nicht im Vektorraum V geführt wurde, sondern
> direkt im möglichen Unterraum U. War dem nicht so?
>
>
:)
mFg iks
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo iks!
> Naja du zeigst zunächst das die Rechenregel in [mm]V[/mm] gilt. Da
> nun [mm]U\subset V[/mm] gilt kannst du sie auch auf alle Elemente in
> [mm]U[/mm] anwenden und erhältst eigentlich nur ein Ergebnis, das
> nur auf "enthaltensein" in [mm]U[/mm] geprüft wird.
> Das die Regel gezeigt werden mußte ist also nur Mittel
> zum Zweck mehr nicht, wie solltest du denn sonst dein
> Ergebnis erhalten und dann auch überprüfen??
Ich versuche zusammen zu fassen:
Wenn ich prüfen soll, ob die Summe oder die Skalarmultiplikation (genauer: das Ergebnis der Summe/Skalarmultiplikation) zweier Elemente aus U bzw. eines Elementes aus U und eines Elementes aus dem zugrundeliegenden Körper wieder in U liegen, gehe ich wie folgt vor:
Ich wähle mir Elemente aus dem Vektorraum V (bzw. aus dem Vektorraum V und dem Körper K), die auch in der Menge U enthalten sind.
Dann verrechne ich die Elemente im Vektorraum miteinander, also in V, mit allen Regeln, die in V gelten.
Dann überprüfe ich, ob das Ergebnis, welches ich erhalte, auch in der Menge U drin liegt.
Tut es das, dann ist U ein Unterraum, wenn nicht, dann nicht.
> > Aber irgendwie hatte ich die ganze Zeit das Gefühl, dass
> > der Beweis nicht im Vektorraum V geführt wurde, sondern
> > direkt im möglichen Unterraum U.
Was ich da vermutet habe, war also falsch?
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Ich versuche zusammen zu fassen:
>
> Wenn ich prüfen soll, ob die Summe oder die
> Skalarmultiplikation (genauer: das Ergebnis der
> Summe/Skalarmultiplikation) zweier Elemente aus U bzw.
> eines Elementes aus U und eines Elementes aus dem
> zugrundeliegenden Körper wieder in U liegen, gehe ich wie
> folgt vor:
>
> Ich wähle mir zwei beliebige Elemente aus dem Vektorraum V (bzw. aus dem
> Vektorraum V und dem Körper K), die auch in der Menge U
> enthalten sind.
also zwei beliebige Elemente aus $U$
> Dann verrechne ich die Elemente im Vektorraum miteinander,
> also in V, mit allen Regeln, die in V gelten.
Ja, bzgl. der Vektoraddition, also der inneren Verknüpfung, die du [mm] $\oplus$ [/mm] nennst
> Dann überprüfe ich, ob das Ergebnis, welches ich
> erhalte, auch in der Menge U drin liegt.
Dasselbe mit einem beliebigen Skalar aus dem Körper und einem beliebigen Vektor aus U (dann nat. bzgl. der äußeren Verknüpfung [mm] $\odot$)
[/mm]
> Tut es das, dann ist U ein Unterraum, wenn nicht, dann
> nicht.
Fast, zudem sollte die Menge U nicht leer sein, bzw. äquivalent dazu: U muss den Nullvektor (den aus dem "Oberraum") enthalten.
>
>
>
> > > Aber irgendwie hatte ich die ganze Zeit das Gefühl, dass
> > > der Beweis nicht im Vektorraum V geführt wurde, sondern
> > > direkt im möglichen Unterraum U.
Ja natürlich, das hast du ja oben auch geschrieben:
Elemente, die in V liegen und glz. in U liegen in U
Nochmal in Zeichen: Sei [mm] $V=(V,\oplus,\odot,\IK)$ [/mm] ein [mm] $\IK$-Vektorraum
[/mm]
[mm] $U\subset [/mm] V$ heißt Unterraum, falls:
(1) [mm] $U\neq\emptyset$ [/mm] (bzw. äquivalent dazu und leicht zu prüfen: [mm] $0_V\in [/mm] U$)
(2) [mm] $\forall a,b\in [/mm] U$ (!!) : [mm] $a\oplus b\in [/mm] U$
(3) [mm] $\forall \lambda\in\IK [/mm] \ [mm] \forall a\in [/mm] U: [mm] \lambda\odot a\in [/mm] U$
Es spielt sich also alles in U bzw. zwischen U und [mm] \IK [/mm] ab
>
> Was ich da vermutet habe, war also falsch?
Was war die Vermutung? Der thread ist zu lang, um alles zu lesen ..
>
>
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus!
> > Ich versuche zusammen zu fassen:
> >
> > Wenn ich prüfen soll, ob die Summe oder die
> > Skalarmultiplikation (genauer: das Ergebnis der
> > Summe/Skalarmultiplikation) zweier Elemente aus U bzw.
> > eines Elementes aus U und eines Elementes aus dem
> > zugrundeliegenden Körper wieder in U liegen, gehe ich wie
> > folgt vor:
> >
> > Ich wähle mir zwei beliebige Elemente aus dem Vektorraum V
> (bzw. aus dem
> > Vektorraum V und dem Körper K), die auch in der Menge U
> > enthalten sind.
>
> also zwei beliebige Elemente aus [mm]U[/mm]
>
> > Dann verrechne ich die Elemente im Vektorraum miteinander,
> > also in V, mit allen Regeln, die in V gelten.
>
> Ja, bzgl. der Vektoraddition, also der inneren
> Verknüpfung, die du [mm]\oplus[/mm] nennst
>
> > Dann überprüfe ich, ob das Ergebnis, welches ich
> > erhalte, auch in der Menge U drin liegt.
>
> Dasselbe mit einem beliebigen Skalar aus dem Körper und
> einem beliebigen Vektor aus U (dann nat. bzgl. der
> äußeren Verknüpfung [mm]\odot[/mm])
>
> > Tut es das, dann ist U ein Unterraum, wenn nicht, dann
> > nicht.
>
> Fast, zudem sollte die Menge U nicht leer sein, bzw.
> äquivalent dazu: U muss den Nullvektor (den aus dem
> "Oberraum") enthalten.
Gut, also merke ich mir: Ich verrechne die Elemente ich V
> > > > Aber irgendwie hatte ich die ganze Zeit das Gefühl, dass
> > > > der Beweis nicht im Vektorraum V geführt wurde, sondern
> > > > direkt im möglichen Unterraum U.
> Es spielt sich also alles in U bzw. zwischen U und $ [mm] \IK [/mm] $ ab
> > Was ich da vermutet habe, war also falsch?
>
> Was war die Vermutung? Der thread ist zu lang, um alles zu
> lesen ..
Meine Vermutung war, dass ich die gewählten Elemente nicht im Vektorraum V mit all seinen Rechenregeln verrechne, sondern nur in U selber.
Und irgendwie dachte ich dann, dass das problematisch werden könnte wenn die Beweisführung "nur in U" läuft, weil wenn ich z.B. bei ner Gleichung auf beiden Seiten was addiere, dann könnte das ja evtl. aus U rausschießen, und das wäre vielleicht problematisch, auch wenn das noch gar nicht das Ergebnis war.
Klingt jetzt komisch, ich weiß, aber wenn ich jetzt weiß, dass ich einfach alle gewählten Elemente in V verrechne und dann "nur" prüfe, ob das Ergebnis in U liegt, dann ist das jetzt denke ich in Ordnung für mich und ich kann vielleicht endlich meinen Frieden mit den Unterräumen schließen
So kann ich das doch machen, oder?
Zumindest habe ich iks so verstanden:
> Naja du zeigst zunächst das die Rechenregel in $V$ gilt. Da nun
> [mm] $U\subset [/mm] V$ gilt kannst du sie auch auf alle Elemente in $U$
> anwenden und erhältst eigentlich nur ein Ergebnis, das nur auf
> "enthaltensein" in $U$ geprüft wird.
LG Nadine
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus!
>
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>
> > > Ich versuche zusammen zu fassen:
> > >
> > > Wenn ich prüfen soll, ob die Summe oder die
> > > Skalarmultiplikation (genauer: das Ergebnis der
> > > Summe/Skalarmultiplikation) zweier Elemente aus U bzw.
> > > eines Elementes aus U und eines Elementes aus dem
> > > zugrundeliegenden Körper wieder in U liegen, gehe ich wie
> > > folgt vor:
> > >
> > > Ich wähle mir zwei beliebige Elemente aus dem Vektorraum V
> > (bzw. aus dem
> > > Vektorraum V und dem Körper K), die auch in der Menge U
> > > enthalten sind.
> >
> > also zwei beliebige Elemente aus [mm]U[/mm]
> >
> > > Dann verrechne ich die Elemente im Vektorraum miteinander,
> > > also in V, mit allen Regeln, die in V gelten.
> >
> > Ja, bzgl. der Vektoraddition, also der inneren
> > Verknüpfung, die du [mm]\oplus[/mm] nennst
> >
> > > Dann überprüfe ich, ob das Ergebnis, welches ich
> > > erhalte, auch in der Menge U drin liegt.
> >
> > Dasselbe mit einem beliebigen Skalar aus dem Körper und
> > einem beliebigen Vektor aus U (dann nat. bzgl. der
> > äußeren Verknüpfung [mm]\odot[/mm])
> >
> > > Tut es das, dann ist U ein Unterraum, wenn nicht, dann
> > > nicht.
> >
> > Fast, zudem sollte die Menge U nicht leer sein, bzw.
> > äquivalent dazu: U muss den Nullvektor (den aus dem
> > "Oberraum") enthalten.
>
> Gut, also merke ich mir: Ich verrechne die Elemente ich V
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]")
Wieso das? Du willst doch prüfen, ob $U$ ein UVR ist, ich hatte doch oben geschrieben, dass du zeigen musst, dass die Verknüpfung zweier beliebiger Elemente $a, b$ aus $U$, also [mm] $a\oplus [/mm] b$ wieder in $U$ sein muss und ebenso für beliebiges [mm] $\lambda\in\IK$ [/mm] und [mm] $a\in [/mm] U$ auch [mm] $\lambda\odot a\in [/mm] U$ sein muss.
Das nennt man Abgeschlossenheit, das kennst du doch sicher ...
>
;-(
>
>
> > > > > Aber irgendwie hatte ich die ganze Zeit das Gefühl, dass
> > > > > der Beweis nicht im Vektorraum V geführt wurde, sondern
> > > > > direkt im möglichen Unterraum U.
>
> > Es spielt sich also alles in U bzw. zwischen U und [mm]\IK[/mm] ab
>
> > > Was ich da vermutet habe, war also falsch?
> >
> > Was war die Vermutung? Der thread ist zu lang, um alles zu
> > lesen ..
>
> Meine Vermutung war, dass ich die gewählten Elemente nicht
> im Vektorraum V mit all seinen Rechenregeln verrechne,
> sondern nur in U selber.
>
> Und irgendwie dachte ich dann, dass das problematisch
> werden könnte wenn die Beweisführung "nur in U" läuft,
> weil wenn ich z.B. bei ner Gleichung auf beiden Seiten was
> addiere, dann könnte das ja evtl. aus U rausschießen, und
> das wäre vielleicht problematisch, auch wenn das noch gar
> nicht das Ergebnis war.
>
> Klingt jetzt komisch, ich weiß, aber wenn ich jetzt weiß,
> dass ich einfach alle gewählten Elemente in V verrechne
> und dann "nur" prüfe, ob das Ergebnis in U liegt, dann ist
Nein, du verrechnest die Elemente aus V, die auch in U liegen, das sind genau die Elemente aus U
Lies mal die Definition, die ich in der Antwort vorher hingeschrieben habe, langsam und sorgfältig durch ...
> das jetzt denke ich in Ordnung für mich und ich kann
> vielleicht endlich meinen Frieden mit den Unterräumen
> schließen
Amen !
Einfach Ruhe bewahren und die Dinge langsam und sorgfälig angehen.
>
> So kann ich das doch machen, oder?
> Zumindest habe ich iks so verstanden:
>
>
> > Naja du zeigst zunächst das die Rechenregel in [mm]V[/mm] gilt. Da
> nun
> > [mm]U\subset V[/mm] gilt kannst du sie auch auf alle Elemente in [mm]U[/mm]
> > anwenden und erhältst eigentlich nur ein Ergebnis, das nur
> auf
> > "enthaltensein" in [mm]U[/mm] geprüft wird.
>
> LG Nadine
Wenn du magst, noch ein Bsp., an dem du es ausprobieren kannst
Ist [mm] $U=\left\{\vektor{x\\y\\z}\in\IR^3\mid x+y+z=0\right\}$ [/mm] ein Unterraum des [mm] $\IR^3$?
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus!
>
>
> Wieso das? Du willst doch prüfen, ob [mm]U[/mm] ein UVR ist, ich
> hatte doch oben geschrieben, dass du zeigen musst, dass die
> Verknüpfung zweier beliebiger Elemente [mm]a, b[/mm] aus [mm]U[/mm], also
> [mm]a\oplus b[/mm] wieder in [mm]U[/mm] sein muss und ebenso für beliebiges
> [mm]\lambda\in\IK[/mm] und [mm]a\in U[/mm] auch [mm]\lambda\odot a\in U[/mm] sein
> muss.
>
> Das nennt man Abgeschlossenheit, das kennst du doch sicher
> ...
>
>
>
> ;-(
> Nein, du verrechnest die Elemente aus V, die auch in U
> liegen, das sind genau die Elemente aus U
STOP
Mit "Elemente in V verrechnen" meine ich NICHT, dass die Elemente aus V stammen, sondern dass ich Elemente aus U nehme, diese aber mit den Regeln aus V verrechne, ich verrechne also Elemente aus dem möglichen Unterraum mit den Vektorraumregeln (die ja auch für die Elemente aus U gelten)! Und das Ergebnis, dass ich dann bekomme überprüfe ich auf "enthaltensein" in U.
So hatte ich es aus iks Antowrt entnommen:
> Naja du zeigst zunächst das die Rechenregel in $ V $ gilt. Da nun $
> [mm] U\subset [/mm] V $ gilt kannst du sie auch auf alle Elemente in $ U $
> anwenden und erhältst eigentlich nur ein Ergebnis, das nur auf
> "enthaltensein" in $ U $ geprüft wird.
Das habe ich gemeint
Das stimmt doch, oder?
> Wenn du magst, noch ein Bsp., an dem du es ausprobieren kannst
> Ist $ [mm] U=\left\{\vektor{x\\y\\z}\in\IR^3\mid x+y+z=0\right\} [/mm] $ ein
> Unterraum des $ [mm] \IR^3 [/mm] $?
So, nun zum Beispiel.
x,,y,z kommen doch aus [mm] \IR [/mm] oder und die 0 in der Summe $x+y+z=0$ ist auch die 0 aus [mm] \IR [/mm] oder?
1) Liegt die [mm] 0_V [/mm] in U?
Die [mm] 0_V [/mm] im [mm] \IR^3 [/mm] ist ja [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Damit [mm] 0_V=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] in U enthalten ist, muss gelten: $0+0+0=0$ in [mm] \IR [/mm] und das stimmt.
Also liegt die [mm] 0_V [/mm] in U.
2) Für $a,b [mm] \in [/mm] U$ soll gelten: $a+b [mm] \in [/mm] U$
Sei [mm] $a=\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} \in [/mm] U$ und [mm] $b=\vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} \in [/mm] U$
Für a gilt [mm] $x_1+y_1+z_1=0$ [/mm] und für b gilt [mm] $x_2+y_2+z_2=0$.
[/mm]
$a+b$ ist [mm] \vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2}. [/mm] Damit der in U liegt, muss dafür gelten: [mm] $x_1+x_2+y_1+y_2+z_1+z_2=0$
[/mm]
[mm] $x_1+x_2+y_1+y_2+z_1+z_2=(x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2)$ [/mm] (nach dem Assoziativgesetz, was für Elemente aus [mm] \IR [/mm] gilt, da [mm] \IR [/mm] Körper ist)
[mm] $x_1+y_1+z_1$ [/mm] ist 0 und [mm] $x_2+y_2+z_2$ [/mm] ist auch 0, also ist [mm] $x_1+x_2+y_1+y_2+z_1+z_2=(x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2)=0+0=0$
[/mm]
Damit gilt für [mm] $a+b=\vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2}$, [/mm] dass [mm] $x_1+x_2+y_1+y_2+z_1+z_2=0$, [/mm] und somit liegt $a+b$ auch in U.
3) Für $a [mm] \in [/mm] U$ und $k [mm] \in \IR$ [/mm] [Muss ich hier [mm] \IR [/mm] als den Körper wählen, oder könnte ich auch [mm] \IQ [/mm] nehmen z.B.?] soll gelten: $k*a [mm] \in [/mm] U$
Sei [mm] $a=\vektor{x \\ y \\ z} \in [/mm] U$.
Für a gilt $x+y+z=0$ .
$k*a$ ist [mm] \vektor{kx \\ ky \\ kz}. [/mm] Damit der in U liegt, muss dafür gelten: $kx+ky+kz=0$
$kx+ky+kz=k*(x+y+z)$ (nach dem Distributivgesetz, was für Elemente aus [mm] \IR [/mm] gilt, da [mm] \IR [/mm] Körper ist)
$x+y+z$ ist 0, also ist $kx+ky+kz=k*(x+y+z)=k*0=0$
Damit gilt für [mm] $k*a=\vektor{kx \\ ky \\ kz}$, [/mm] dass $kx+ky+kz=0$, und somit liegt $k*a$ auch in U.
Alle drei Bedingungen sind erfüllt, also ist die Menge U ein Unterraum von V
Stimmt das so?
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo schachuzipus!
>
>
>
> >
> >
> > Wieso das? Du willst doch prüfen, ob [mm]U[/mm] ein UVR ist, ich
> > hatte doch oben geschrieben, dass du zeigen musst, dass die
> > Verknüpfung zweier beliebiger Elemente [mm]a, b[/mm] aus [mm]U[/mm], also
> > [mm]a\oplus b[/mm] wieder in [mm]U[/mm] sein muss und ebenso für beliebiges
> > [mm]\lambda\in\IK[/mm] und [mm]a\in U[/mm] auch [mm]\lambda\odot a\in U[/mm] sein
> > muss.
> >
> > Das nennt man Abgeschlossenheit, das kennst du doch sicher
> > ...
> >
> >
> >
> > ;-(
>
>
>
> > Nein, du verrechnest die Elemente aus V, die auch in U
> > liegen, das sind genau die Elemente aus U
>
>
>
> STOP
>
> Mit "Elemente in V verrechnen" meine ich NICHT, dass die
> Elemente aus V stammen, sondern dass ich Elemente aus U
> nehme, diese aber mit den Regeln aus V verrechne, ich
> verrechne also Elemente aus dem möglichen Unterraum mit
> den Vektorraumregeln (die ja auch für die Elemente aus U
> gelten)! Und das Ergebnis, dass ich dann bekomme
> überprüfe ich auf "enthaltensein" in U.
Ja, dann habe ich dich falsch verstanden, tut mir leid.
So, wie du es jetzt schreibst, ist es richtig.
Es gelten in U natürlich dieselben Verknüpfungen und Regeln wie in V, es ist ja [mm] $U\subset [/mm] V$
>
> So hatte ich es aus iks Antowrt entnommen:
>
> > Naja du zeigst zunächst das die Rechenregel in $ V $ gilt.
> Da nun $
> > [mm]U\subset[/mm] V $ gilt kannst du sie auch auf alle Elemente in $
> U $
> > anwenden und erhältst eigentlich nur ein Ergebnis, das nur
> auf
> > "enthaltensein" in [mm]U[/mm] geprüft wird.
>
> Das habe ich gemeint
>
> Das stimmt doch, oder?
Ja, das ist halt die Abgeschlossenheit.
>
>
>
> > Wenn du magst, noch ein Bsp., an dem du es ausprobieren
> kannst
>
> > Ist [mm]U=\left\{\vektor{x\\y\\z}\in\IR^3\mid x+y+z=0\right\}[/mm]
> ein
> > Unterraum des [mm]\IR^3 [/mm]?
>
> So, nun zum Beispiel.
>
> x,,y,z kommen doch aus [mm]\IR[/mm] oder und die 0 in der Summe
> [mm]x+y+z=0[/mm] ist auch die 0 aus [mm]\IR[/mm] oder?
>
>
>
> 1) Liegt die [mm]0_V[/mm] in U?
>
> Die [mm]0_V[/mm] im [mm]\IR^3[/mm] ist ja [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}.[/mm]
>
> Damit [mm]0_V=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] in U enthalten ist, muss
> gelten: [mm]0+0+0=0[/mm] in [mm]\IR[/mm] und das stimmt.
>
> Also liegt die [mm]0_V[/mm] in U.
>
>
>
> 2) Für [mm]a,b \in U[/mm] soll gelten: [mm]a+b \in U[/mm]
>
> Sei [mm]a=\vektor{x_1 \\ y_1 \\ z_1} \in U[/mm] und [mm]b=\vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2} \in U[/mm]
>
> Für a gilt [mm]x_1+y_1+z_1=0[/mm] und für b gilt [mm]x_2+y_2+z_2=0[/mm].
>
> [mm]a+b[/mm] ist [mm]\vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2}.[/mm] Damit der
> in U liegt, muss dafür gelten: [mm]x_1+x_2+y_1+y_2+z_1+z_2=0[/mm]
>
> [mm]x_1+x_2+y_1+y_2+z_1+z_2=(x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2)[/mm] (nach
> dem Assoziativgesetz, was für Elemente aus [mm]\IR[/mm] gilt, da
> [mm]\IR[/mm] Körper ist)
>
> [mm]x_1+y_1+z_1[/mm] ist 0 und [mm]x_2+y_2+z_2[/mm] ist auch 0, also ist
> [mm]x_1+x_2+y_1+y_2+z_1+z_2=(x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2+z_2)=0+0=0[/mm]
>
> Damit gilt für [mm]a+b=\vektor{x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2}[/mm],
> dass [mm]x_1+x_2+y_1+y_2+z_1+z_2=0[/mm], und somit liegt [mm]a+b[/mm] auch in U.
Ja, sehr schön!
>
>
>
> 3) Für [mm]a \in U[/mm] und [mm]k \in \IR[/mm] [Muss ich hier [mm]\IR[/mm] als den
> Körper wählen, oder könnte ich auch [mm]\IQ[/mm] nehmen z.B.?]
> soll gelten: [mm]k*a \in U[/mm]
Jo, ich habe implizit [mm] $\IR^3$ [/mm] als [mm] $\IR$-VR [/mm] vorausgesetzt, über [mm] $\IQ$ [/mm] läuft der Beweis analog ...
>
> Sei [mm]a=\vektor{x \\ y \\ z} \in U[/mm].
>
> Für a gilt [mm]x+y+z=0[/mm] .
>
> [mm]k*a[/mm] ist [mm]\vektor{kx \\ ky \\ kz}.[/mm] Damit der in U liegt, muss
> dafür gelten: [mm]kx+ky+kz=0[/mm]
>
> [mm]kx+ky+kz=k*(x+y+z)[/mm] (nach dem Distributivgesetz, was für
> Elemente aus [mm]\IR[/mm] gilt, da [mm]\IR[/mm] Körper ist)
>
> [mm]x+y+z[/mm] ist 0, also ist [mm]kx+ky+kz=k*(x+y+z)=k*0=0[/mm]
>
> Damit gilt für [mm]k*a=\vektor{kx \\ ky \\ kz}[/mm], dass
> [mm]kx+ky+kz=0[/mm], und somit liegt [mm]k*a[/mm] auch in U.
>
>
>
> Alle drei Bedingungen sind erfüllt, also ist die Menge U
> ein Unterraum von V
>
> Stimmt das so? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, ich bin begeistert, strukturell und formal ein sehr schöner Beweis!
Mache noch ein paar solcher Beweise (dann aber mit "schwierigeren" VRen ), dann sitzt es bombensicher bei dir!
>
>
>
> LG, Nadine
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Oh man, war das eine schwere Geburt, aber ich denke, jetzt hab ichs
Ganz ganz lieben Dank euch allen für eure Mühe und Hilfe!
LG, Nadine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Fr 02.10.2009 | | Autor: | iks |
Hallo nochmal!
> Zum einen versteh ich generell nicht, warum ich einfach auf
> beiden Seiten etwas draufaddieren darf. Das ändert zwar an
> der Gleichheit nix, aber ja doch an dem Wert.
>
Es ist doch aber wichtig, das der Wahrheitsgehalt der Aussage nicht verändert wird. Letzten Endes führt das zu den Rechenregeln, die du aus der Schule schon kennst
[mm] $x+1=4\gdw x+1+(-1)=4+(-1)\gdw [/mm] x=3$
hier dürftest du auch eine andere (von $(-1)$ verschiedene) Zahl auf beiden Seiten addieren also
[mm] $x+1=4\gdw x+1+3=4+3\gdw [/mm] x+4=7$
nur hätte es dich deiner Lösung keinen Schritt näher gebracht.
> Zum anderen versteh ich nicht, dass ich da gerade [mm](a \odot 0_V)^{-1}[/mm]
> draufaddierern darf.
>
Weil es zur Lösung führt ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Achtung mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] wird im Allgemeinen das multiplikativ Inverse bezeichnet und das muß in einem VR nicht existieren - während das additiv Inverse in einem VR immer existiert.
[mm] $(a\odot [/mm] v)$ ist ein Element des VR $V$ nach Definition von [mm] $\odot$.
[/mm]
mFg iks
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