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| Aufgabe | Es sei [mm] U:=\{(x_{1},x_{2},.....,x_{n}\} \in \IR^{n} [/mm] : [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i}=0 \subseteq \IR^{n}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass U ein linearer Unterraum des [mm] \IR^{n} [/mm] ist.
b) Bestimmen Sie eine Basis für U. Welche Dimension hat damit U? |
Hallo,
stecke an dieser Aufgabe fest und zwar ist mir nicht klar wie ich zeigen soll, dass U ein Unterraum ist. Ich muss ja nachweisen, dass der Nullvektor in da drinnen ist und, dass Addition darin vorkommt.
Lese ich das übrigens richtig, dass wenn ich die Vektoren aufsummiere immer 0 raus kommt?
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 So 06.06.2010 | | Autor: | max3000 |
Ein Unterraum zeichnet sich aus durch
a) Homogenität, d.h. für [mm] $u\in [/mm] U$ muss für beliebiges [mm] \lambda\in\IR [/mm] auch [mm] $\lambda*u\in [/mm] U$ sein. Also das ganze mal in die Definition eingesetzt, da steht dann
[mm] \summe_{i=0}^{n}\lambda*x_i=\lambda*\summe_{i=0}^{n}x_i=\lambda*0=0
[/mm]
b) Linearität, d.h. für [mm] $u,v\in [/mm] U$ muss auch [mm] $u+v\in [/mm] U$ sein. Wieder Definition hernehmen:
[mm] \summe_{i=0}^{n}(u_i+v_i)=\summe_{i=0}^{n}u_i+\summe_{i=0}^{n}v_i=0+0
[/mm]
Dass dann [mm] $0\in [/mm] U$ gilt folgt damit auch automatisch.
Und ja, U beinhaltet alle Vektoren, die als Summe der Komponenten 0 ergeben.
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Bedeutet das dann, dass die Basis dieses UV der Nullvektor ist? Dimension 0.
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Hallo Dario,
> Bedeutet das dann, dass die Basis dieses UV der Nullvektor
> ist? Dimension 0.
Dann wäre $U$ der Nullraum [mm] $U=\{(0,0,\ldots,0)\}$
[/mm]
Kommt also nicht hin.
Du hast als definierende Bedingung doch [mm] $\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in [/mm] U$, wenn [mm] $x_1+x_2+\ldots+x_n=0$
[/mm]
Das ist ein LGS mit einer Gleichung in $n$ Unbekannten [mm] $x_i$.
[/mm]
Stelle die Gleichung nach [mm] $x_1$ [/mm] um: [mm] $x_1=-x_2-x_3-\ldots-x_n$
[/mm]
Du kannst dir also $n-1$ Variablen [mm] $x_2,x_3,\ldots,x_n$ [/mm] frei wählen.
Damit ergibt sich als Basis und folglich als Dimension von U was?
Gruß
schachuzipus
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Hey Schachuzipus,
dann wäre ja der einzige feste Vektor [mm] x_{1} [/mm] und somit auch die Basis wenn ich die anderen frei wählen kann. Dimension 1.
Richtig?
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Hallo nochmal,
> Hey Schachuzipus,
>
> dann wäre ja der einzige feste Vektor [mm]x_{1}[/mm] und somit auch
> die Basis wenn ich die anderen frei wählen kann. Dimension
> 1.
>
> Richtig?
Nein, schreib doch mal ne Basis hin!
Jeder Vektor [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_n}\in [/mm] U$ lässt sich mit dem oben Gesagten doch schreiben als
[mm] $\vec{x}=\vektor{-x_2-x_3-\ldots-x_n\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_n}=\vektor{-x_2\\x_2\\0\\0\\\vdots\\0}+\vektor{-x_3\\0\\x_3\\0\\\vdots\\0}+\ldots+\vektor{-x_n\\0\\0\\0\\\vdots\\x_n}$ [/mm] mit [mm] $x_2,x_3,\ldots,x_n\in\IR$ [/mm] beliebig.
Wie schaut's also mit einer Basis aus?
Und dann mit der Dimension?
Gruß
schachuzipus
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